книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы
.pdfчальных условий (iL (0 ) 0) индуктивности заменяются содейст-
вующимиисточникамитокасзадающимитоками, равными iL (0 ) . Емкости с нулевыми начальными условиями (uC(0–) = 0) заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями (uC (0 ) 0) заменяются противодействующими источ-
никаминапряжения с задающимиЭДС, равнымиuC(0–). Параметры всех подключенных в исходной цепи источников
и номиналы резисторов остаются неизменными.
Полученная резистивная цепь называется схемой замещения в 0+ (или первой схемой замещения). С помощью построенной вспомогательной цепи, применив любой известный расчетный метод, определяют значения искомых величин в момент времени t = 0+, а для цепей высших порядков (начиная со второго) также находят iC (0 ) и uL (0 ), которые необходимы для определения первых
производных от независимых начальных условий iL (0 ) |
uL (0 ) |
|
||||||||
L |
||||||||||
|
|
|
|
i |
(0 |
) |
|
|||
и uC |
(0 |
|
) |
, используемых в дальнейшем. |
||||||
|
C |
|
|
|||||||
|
|
C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Далее строится схема замещения для определения значений |
производных от искомых величин в момент времени t = 0+ (назы-
ваемая схема замещения для производных в 0+ или вторая схема замещения). Токи и напряжения в такой цепи составляют производные от искомых величин в момент t = 0+. В такой цепи источники заменяются на аналогичные источники с ЭДС или задающим током, равными соответственно производной от данных в задании. Номиналы резисторов остаются неизменными.
Емкости и индуктивности заменяются в соответствии со следующим правилом. Емкости с нулевыми начальными усло-
виями (uC (0 ) 0) заменяются короткозамкнутыми участками, а с ненулевыми начальными условиями (uC (0 ) 0) заменяются противодействующими источниками ЭДС с EC uC (0 ) . Ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия (iL (0 ) 0) , размыкаются, в случае ненулевых начальных
21
условий (iL (0 ) 0) индуктивности заменяются на содействующие источники тока с JL iL (0 ).
Далее процедура расчета продолжается аналогично описанной выше до получения начальных значений высших производных. Исходной информацией для построения каждой i-й последующей вспомогательной цепи служат значения i-й производной напряжений на емкостях и токов в индуктивностях, определяемых через значения (i – 1)-й производной соответствующих токов в емкостях и напряженийна индуктивностях. В соответствии с соотношениями
u |
i |
|
i |
i 1 |
, |
i |
|
u i 1 |
|
C |
i |
L . |
|||||
|
C |
|
|
C |
|
L |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что для неизменных во времени воздействий во всех вспомогательных схемах, начиная со схемы, соответствующей первым производным сигналов, источники напряже-
ния заменяются короткозамкнутыми участками E 0 , а ветви с источниками тока размыкаются J 0 .
Это замечание справедливо и для источников, которые замещают реактивные элементы при нулевых начальных условиях
(iL 0 0 и uC 0 0).
Таким образом схемно осуществляется операция дифференцирования, адекватная дифференцированию системы уравнений Кирхгофа. Описанный способ определения начальных значений выходных сигналов и их производных легко формализуется и может быть автоматизирован, что делает его более привлекательным в сравнении с традиционным.
1.6. Переходные процессы в цепях I порядка
Рассмотрим примеры расчета переходных процессов в неразветвленных электрических цепях, с достаточной степенью наглядности иллюстрирующие физические явления, происходящие в них в переходных режимах.
22
1.6.1.Разряд заряженной емкости через сопротивление R
1.Запишем правило коммутации для цепи на рис. 1.6:
uC (0 ) uC (0 ) U0 . |
|
|
|
|
|
|
2. Составим дифференциальное уравнение цепи: |
|
|
|
|
|
|
iR uC 0 ; |
C |
|
|
|
+ U0 |
|
CuC R uC 0 . |
|
|
|
|||
|
|
|||||
Характеристическое уравнение пер- |
|
|
|
|
|
|
i |
uC |
|
||||
|
||||||
вого порядка: |
|
|
|
|
|
|
pCR 1 0 |
, |
R |
|
|
корень которого p |
1 |
. |
Рис. 1.6 |
|
|
||
|
RC |
|
3. Полное решение дифференциального уравнения: uC (t) uCпр uCсв .
Поскольку уравнение имеет первый порядок, свободная составляющая содержит одну экспоненту:
1 t
uC (t) uCпр Ae pt uCпр Ae RC .
4.Определим принужденную составляющую: uCпр 0 .
5.Для определения постоянной интегрирования A запишем полное решение для момента t = 0+
uC (0 ) uCпр A .
Применив правило коммутации, получим:
uCпр A uC (0 ) U0 , |
A U0 , |
23
окончательное решение:
1 t
uC (t) U0e RC .
Ток в цепи определяется с помощью дифференциального закона Ома:
iC CuC |
|
|
1 |
t |
|
1 |
|
|
1 |
t |
|
U0 |
|
|
1 |
t |
|
C U0e |
|
RC |
C |
U0e |
|
RC |
|
|
e |
|
RC |
, |
|||||
|
RC |
|
|
R |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iC (0 ) UR0 , iC (0 ) 0 .
Итак, имеем две экспоненты, описывающие изменения uC и iC . Графики изменения uC (t) и iC (t) представлены на рис. 1.7.
U0
uC
t
iC
UR0
Рис. 1.7
Напряжение на конденсаторе непрерывно в момент коммутации и уменьшается по экспоненциальному закону от начального значения U0. Знак «минус» в выражении для тока означает то, что ток при разряде конденсатора направлен противоположно току при его заряде. В начальный момент значение тока максимально, его спад связан с уменьшением напряжения на элементах цепи. Ток на емкости меняется скачком.
Определим величину, характеризующую скорость изменения электрической величины в переходном режиме, называемую
постоянная времени ( ).
24
Величина показывает, за какой промежуток времени свободная составляющая переходногопроцессауменьшается в e раз:
u |
|
(t) |
|
U |
e |
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|||||||
C |
|
|
e RC |
e . |
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
uC (t ) |
U0e |
1 |
|
(t ) |
||||||||
|
RC |
|
|
|
Чем больше , тем медленнее переходный процесс, тем больше tпп . Хотя полученные выше выражения определяют бес-
конечную длительность переходного процесса – свободные составляющие лишь асимптотически стремятся к нулю, практически можно считать, что переходный процесс заканчивается за время, равное (3 5) .
Постоянную времени можно графически определить по длине подкасательной, проведенной в любой точке свободной составляющей переходного процесса (рис. 1.8).
uC
t
Рис. 1.8
Постоянная времени измеряется в секундах и для цепей первого порядка связана с корнем характеристического уравнения
|
|
|
1 |
|
|
. |
(1.11) |
|
|
p |
|
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Для цепи (см. рис. 1.6) RC , следовательно, p RC1 .
25
Рассмотрим энергетические соотношения, описывающие работу цепи после коммутации.
Энергия электрического поля конденсатора до коммутации опре-
деляетсякак Wэ 0 |
|
CU02 |
, |
врезультатеполногоразряда lim Wэ 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
Покажем, что вся энергия, запасенная в конденсаторе, выде- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ляется в виде тепловой энергии на резисторе R: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
U |
0 |
2 |
|
|
2 |
t |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Wтепл pdt |
uRiC dt RiC dt R |
|
|
|
e |
|
RC |
|
dt |
|
|||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
U0 |
e |
|
|
|
t |
|
|
U0 |
|
|
e |
|
|
RC |
|
|
|
CU0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
CU0 |
|
||||
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
. |
||
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6.2. Подключение RС-цепи к источнику |
||||||||||
|
|
|
постоянного напряжения |
|
|
||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
1. Запишем правило комму- |
|||
|
|
|
|
|
тации для цепи на рис. 1.9: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
iC |
|
uC |
+ |
|
|
uC (0 ) uC (0 ) 0 . |
||||
|
|
|
|
C |
|
|
2. Получим |
дифференциаль- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рис. 1.9 |
|
|
|
ноеуравнение цепи: |
||||||
|
u |
R |
u |
C |
E , i R u |
C |
E , i C duC , |
||||
|
|
|
|
C |
|
C |
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CuC R uC E .
Характеристическое уравнение цепи:
pCR 1 0 ,
корень которого
p R1C .
26
Постоянная времени 1p RC . 3. Запишем полное решение:
1 t
uC (t) uCпр uCсв uCпр Ae RC .
Здесь свободная составляющая также включает только одну экспоненту, поскольку цепь имеет первый порядок.
4. Определим uCпр , при t напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС источника:
uCпр E .
5. Подставив в полное решение t = 0+, определим постоянную интегрирования на основании правил коммутации: A E .
Таким образом, окончательный результат имеет вид
u (t) E 1 e RC1 t . C
Ток в цепи
iC t CuC |
|
|
1 |
|
1 |
t |
|
E |
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
E |
|
|
Ce |
|
RC |
|
|
e |
|
RC |
. |
|||
|
|
R |
|
|||||||||||
|
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Графики изменения uC (t) и iC (t) представлены на рис. 1.10.
uC , iC
E
ER
uC(t)
iC(t)
t
Рис. 1.10
27
Значение тока, содержащее лишь свободную составляющую, максимально в начальный момент времени, когда оно скачком достигает значение ER, и все напряжение источника приложено к
резистору. По мере зарядки конденсатора напряжение на нем повышается, что ведетк соответственному уменьшению тока вцепи.
1.6.3. Подключение RL-цепи к источнику постоянного напряжения
1. Запишем правило коммутации для цепи, изображенной на рис. 1.11:
|
|
iL (0 ) iL (0 ) 0 . |
|
R |
|
|
2. Получим дифференциальное |
|
|
|
уравнение цепи: |
E |
iL |
L |
RiL uL E , RiL LiL E , |
|
|
|
характеристическое уравнение: |
Рис. 1.11 |
|
|
Lp R 0 . |
Корень характеристического уравнения и постоянная времени соответственно имеют вид:
p RL , RL .
3. Полное решение имеет следующий вид:
R t
iL (t) iLпр iLсв iLпр Ae L .
4.Принужденная составляющая iLпр ER .
5.Подставив t = 0+ в iL(t), на основании правила коммутации определим постоянную интегрирования:
A ER .
28
Таким образом,
|
E |
|
|
|
R |
t |
|
|
|
||||
iL (t) |
|
e |
|
L |
||
|
|
|||||
|
1 |
|
|
. |
||
|
R |
|
|
|
|
Напряжение на индуктивности
|
|
E |
|
R |
|
R |
t |
|
|
R |
t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
uL t Lil L |
|
|
|
|
|
e |
|
L |
Ee |
|
L |
. |
||
|
|
|
||||||||||||
|
|
R |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
Графики изменения uL(t), iL(t) приведены на рис. 1.12.
E |
uL, iL |
|
|
E R |
iL(t) |
|
|
|
uL(t) |
t
Рис. 1.12
1.6.4.Подключение RC-цепи к источнику гармонического напряжения
Рассмотрим случай, когда в цепи (рис. 1.13) действует источник синусоидальной ЭДС:
e(t) Em sin( t e ) .
Здесь e – фаза включения, так
как она определяется моментом срабатывания коммутатора. Интуитивно следует ожидать влияние e на качественную и коли-
чественную картину протекания переходного процесса.
|
R |
|
e(t) |
i(t) |
C |
|
Рис. 1.13 |
|
29
Порядок расчета переходных процессов, описанный выше, не претерпевает никаких изменений.
1. Запишем правило коммутации:
uC (0 ) uC (0 ) 0 .
2. Дифференциальное уравнение и соответствующее ему характеристическое уравнение имеют вид:
uC uR e(t), uC CuC R e(t), 1 RpC 0.
Корень характеристического уравнения p RC1 .
3. Полное решение для рассматриваемой цепи первого порядка:
i(t) i |
i |
i |
Ae pt i |
|
Ae |
1 |
t . |
пр |
RC |
||||||
пр |
св |
пр |
|
|
|
|
4. Расчет принужденной составляющей произведем символическим методом:
Im |
Em |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eme j e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R j |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
jarctg |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
e |
CR |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Em |
|
|
|
|
|
j |
|
e arctg |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
CR |
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
UC |
j |
C |
I ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30