книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1
.pdfсистему (2.2) линейной однородной системой, в противном случае – линейной неоднородной.
2.2.1. Основные теоремы для однородных систем дифференциальных уравнений первого порядка
Пусть однородная система уравнений имеет m решений:
|
|
|
|
dyi |
= ∑ aij (x) y j , |
|
|
|
(2.2′′) |
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
y(1) |
(x) |
|
|
y(2) |
(x) |
|
y(m) |
(x) |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
y(1) (x) = y2(1) |
(x) |
, |
y(2) (x) = y2(2) |
(x) |
, ..., |
y(m) (x) = y2(m) |
(x) |
. (2.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
(m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
yn |
(x) |
|
|
yn |
(x) |
|
yn |
(x) |
|
Линейной комбинацией назовем векторную функцию
|
m |
|
∑Ck y(k ) (x), |
|
k=1 |
где C1, |
C2 , ... , Cm – некоторые постоянные. Если C1 = C2 = |
=... =1, |
то говорят о сумме простых решений. Приведем неко- |
торые теоремы из работы [21].
Теорема 1. Линейная комбинация решений однородной линейной системы является также решением этой системы.
Определение: m векторных функций (2.3) называются линейно зависимыми между собой, если существуют такие постоянные C1, C2 , ..., Cm (среди которых есть, по крайней
мере, одна постоянная, отличная от нуля), при которых имеет место тождество
m
∑Ck y(k ) (x) ≡ 0.
k=1
41
Определитель системы (2.3), записанный в виде
|
y(1) |
(x) |
y(2) |
(x) |
y(m) (x) |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
W (x) = |
y(1) |
(x) |
y(2) |
(x) |
y(m) (x) |
, |
(2.4) |
2 |
|
2 |
|
m |
|||
|
y(1) |
(x) |
y(1) |
(x) |
y(m) (x) |
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
называется определителем Вронского для указанной системы векторных функций:
y(1) |
(x) |
|
y(2) |
(x) |
y(n) |
(x) |
|
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
y(1) (x) = y2(1) |
(x) |
, y(2) |
(x) = y2(2) |
(x) |
,..., y(n) (x) = y2(n) |
(x) . |
(2.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
(2) |
|
|
(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
yn |
(x) |
|
yn |
(x) |
yn |
(x) |
|
Теорема 2. Если функции (2.5) линейно зависимы, то оп-
ределитель W(x)≡0 [22,23].
Теорема 3. Если W(x) для системы функций (2.5), являющихся решением системы (2.2′′) равен нулю хотя бы в одной точке x = x0 , то функции (2.5) линейно зависимы на некотором
интервале (a,b) x = x0.
Определение: система n линейно независимых решений системы (2.2′′) называется ее фундаментальной системой решений.
Теорема 4. Если функции (2.5) составляют n линейно независимых решений системы (2.2′′), то всякое решение этой системы можно представить как линейную комбинацию этих решений в виде
n
y(x) = ∑Ck y(k ) (x),
k=1
где Ck – постоянные.
42
Вывод: совокупность решений системы (2.2′′) образует n- мерное линейное пространство. Фундаментальная система решений – базис в этом пространстве [21, 23].
Общий вывод: общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений есть линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами из решений, составляющих фундаментальную систему.
В рассматриваемом случае при фиксированных индексах i получим
при i =1: |
k0C0 = f1(x) ≡ 0 |
||||||
при i = 2 : |
k1C1 = f2 (x) |
|
|
||||
|
|
||||||
при i = 3: |
k2C2 = f3 (x) |
|
|
||||
|
|
||||||
................................................. |
|
||||||
|
|||||||
при i = n : |
|
|
= f |
|
|
||
k |
C |
n |
(x). |
||||
|
|
n−1 n−1 |
|
|
|
С учетом обозначений уравнение (2.1) примет вид
dy n ( ) ( )
dxi = ∑ aij x y j + fi x .
j=1
Запишем полученную систему в развернутом виде
dy1 |
|
n |
|
|
||
|
= ∑ a1 j (x) y j + f1 (x), |
|
||||
dx |
|
j=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
= ∑ a2 j (x) y j + f2 (x), |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||
dx |
|
j=1 |
|
|
||
dy |
|
|
n |
|
|
|
|
3 |
|
= ∑ a3 j (x) y j + f3 |
(x), |
(2.6) |
|
|
|
|||||
dx |
|
j=1 |
|
|
||
......................................... |
|
|||||
|
dyn |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= ∑ anj (x) y j + fn |
(x). |
|
|||
|
|
|
||||
dx |
|
j=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
43
Полученная линейная неоднородная система уравнений может быть записана также в матричном виде:
dydx = A(x) y + f (x) ,
где A(x) – квадратная матрица размером n×n:
a11(x) |
a12 (x) |
a13 (x) |
a1n |
|||||
a (x) a (x) a (x) |
a |
|||||||
|
21 |
|
|
22 |
|
23 |
|
2n |
A(x) = a (x) a (x) a (x) |
a |
|||||||
|
31 |
|
|
32 |
|
33 |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
(x) a |
n2 |
(x) a |
(x) |
a |
|||
|
n1 |
|
|
|
n3 |
|
nn |
тогда матрицы-столбы имеют следующий вид:
(2.6′)
(x) (x)
(x) , (2.7)
(x)
|
f1 |
(x) |
|
y1 |
(x) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 (x) |
|
y2 |
(x) |
|||
f (x) = |
f |
|
(x) |
, |
y(x) = y (x) . |
||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fn (x) |
|
yn |
(x) |
2.2.2. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
Запишем систему (2.6) для случая fi ≡ 0 в виде
dy n
dxi = ∑ aij (x) y j .
j=1
Пусть однородная система имеет m решений:
44
y(1) |
(x) |
|
y(2) |
(x) |
||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
y2(1) |
(x) |
|
y2(2) (x) |
|||||
y(1) = y(1) |
(x) |
; y(2) |
= y(2) |
(x) ; |
||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
(2) |
|
|
|
yn |
(x) |
|
yn |
(x) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
y(3) |
(x) |
|
|
y(m) |
(x) |
|||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
y2(3) |
(x) |
|
|
y2(m) |
(x) |
|||
y(3) = y(3) |
(x) ; …; y |
(m) = y(m) |
(x) . |
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
(m) |
|
yn |
(x) |
|
|
yn |
(x) |
Составим линейную комбинацию
m
∑Ck y(k ) (x) = C1 y(1) (x) +C2 y(2) (x) + C3 y(3) (x) + ... + Cm y(m) (x), k=1
где C1, C2 , C3,…, Cm – некоторые константы, определяемые по
работе [24].
Составим определитель Вронского:
y1(1) (x)
y1(2) (x)
W(x) = y1(3) (x)
yn(1) (x)
y1(2) (x) y2(2) (x) y3(3) (x)
yn(2) (x)
y1(3) (x) y2(3) (x) y3(3) (x)
yn(3) (x)
y1(m) y2(m) y3(m)
yn(m)
(x) (x) (x)
(x)
2.2.3. Определитель Вронского
Если векторная функция (2.8) представляет собой n решений однородной линейной системы (2.6), то между значениями в точках x и x0 и определителем W(x) существует следующая зависимость [21, 22]:
45
W(x) = W (x0 ) exp ∫x [a11(ξ) + a22 (ξ) + a33 (ξ) +... + ann (ξ)dξ]. (2.9)
x0
Заметим прежде всего, что не всякие n векторных функций y(k ) (x), имеющие непрерывные первые производные, яв-
ляются фундаментальной системой решений некоторой системы вида
dy |
−A(x) y = 0 |
(2.9′) |
dx |
|
|
с непрерывными коэффициентами.
По теореме 3 необходимо, чтобы их определитель W≠0. Это условие является достаточным. Для доказательства составим следующие n линейных дифференциальных уравнений относительно функций y1(x), y2 (x), ..., yn (x), с определителем
y |
y(1) |
... |
y(n) |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
y |
2 |
y(1) |
... |
y(n) |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
... |
..... ... ....... |
|
= 0, где i = 1, 2, ..., n. |
(2.10) |
|||
y |
n |
y(1) |
... |
y(n) |
|
||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
dy |
dy(1) |
|
dy(n) |
|
|
|
|
|
i |
i |
|
i |
|
|
|
dx |
dx |
|
dx |
|
|
|
Легко видеть, что этим уравнениям удовлетворяют функции, записанные в столбцах (2.5). Кроме того, так как определитель, составленный из функций (2.5), нигде не обращается в нуль, то все эти уравнения можно разрешить относительно
dydxi , где i = 1, 2, …, n. Полученная система и будет удовлетво-
рять всем требуемым свойствам, описанным выше.
46
2.2.4. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений первого порядка
Сформулируем сначала теорему о структуре общего решения [23].
Теорема. Пусть векторная функция φ(x) представляет собой одно какое-либо частное решение неоднородной системы (2.2′), тогда всякое решение этой системы можно представить в следующем виде: y(x) = v(x) + φ(x), где функции φ(x) и v(x) удовлетворяют однородной системе (2.9′).
Справедливо и обратное утверждение: всякая функция y(x) рассмотренного вида удовлетворяет системе (2.2).
Докажем сначала прямое утверждение:
dν −A(x)ν = dy −A(x) y − |
dϕ |
−A(x)ϕ |
= f (x) − f (x) = 0. |
|
dx |
dx |
|
|
|
dx |
|
|
Следствие. Всякое решение неоднородной линейной системы можно представить в виде
y = ϕ+ ∑Ck y(k ), где k = 1, 2, …, n.
k
Функции y(k ) образуют фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы, а Ck – некоторые од-
нозначно определяемые для этого решения постоянные. Справедливо и обратное утверждение.
Для нахождения коэффициентов Ck используют обычно метод вариации произвольных постоянных.
Метод вариации постоянных: пусть функции y(k ) (x)
образуют фундаментальную систему решений системы (2.9′). Попытаемся теперь удовлетворить системе (2.2′), для чего положим
n
y(x) = ∑Ck (x) y(k ) (x), (2.11)
k=1
47
где Ck (x) |
– необязательно являются постоянными. Подставим |
||
это выражение для y в (2.2′) и найдем эти Ck (x): |
|
||
∑Ck′(x) y(k ) (x) +∑Ck (x) y(k )′(x) −∑A(x)Ck (x) y(k ) (x) = |
|||
k |
k |
k |
|
= ∑Ck′(x) y(k ) (x) +∑Ck (x)[ y(k )′(x) −A(x) y(k ) (x)] = |
|
||
k |
k |
|
|
|
∑Ck′(x) y(k ) (x) = f (x). |
|
|
|
k |
|
|
Запишем теперь это равенство в проекциях на координат- |
|||
ные оси аналогично векторам: |
|
|
|
|
∑Ck′(x) yi(k ) = fi (x), где i = 1, 2, …, n. |
(2.12) |
|
|
k |
|
|
На основании этого можно сделать следующий вывод: из системы (2.12) можно единственным образом определить Ck′(x).
Пусть Ck′ (x) = ϕk (x) – некоторые функции. Отсюда, интегрируя, получим
Ck (x) = ∫ϕk (x)dx = ψk (x) +Ck , |
(2.13) |
где Ck – совокупность некоторых постоянных.
Так как достаточно найти только одно частное решение системы (2.2′), то эти постоянные можно считать, например, равными нулю. Тогда искомое решение имеет следующий вид:
y(x) = ∑ψk (x) yi(k ) (x).
k
Отсюда следует утверждение [24]: если оставить Ck про-
извольными, то после подстановки (2.13) в (2.11) получим общее решение системы (2.2).
48
2.2.5. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Будем рассматривать линейные системы дифференциальных уравнений, у которых неизвестные функции, свободные члены и коэффициенты – комплексные, а независимая переменная – действительная.
При комплексных |
Cj и ϕj (x) имеет место следующее |
||
равенство: |
|
|
|
|
∑C jϕj (x) ′ |
= ∑Cjϕ′j (x), где j = 1, 2, …, n, |
|
|
j |
х |
j |
(дифференцирование идет по x).
Линейную систему с постоянными коэффициентами запишем в следующем матричном виде:
dy = Ay + f (x), |
(2.14) |
dx |
|
где A – квадратная матрица, составленная из коэффициен- |
|
тов; f (x) и y(x) – заданная и искомая матрицы – |
столбцы |
(векторы).
Основная идея решения системы (2.14) состоит в том, чтобы с помощью линейного преобразования искомого вектора привести эту систему к наиболее простому виду [24]. Покажем это.
Пусть дано линейное преобразование в виде
n
zi = ∑ kij y j , где i = 1, 2, …, n,
j=1
тогда его можно коротко записать в матричной форме
z = K · y,
где z(x) – новая искомая матрица-столбец, зависящая от x, а K – квадратная матрица выбранного преобразования.
49
Будем рассматривать невырожденные преобразования, т.е. такие, для которых выполняются условия
det K ≠ 0 и y = K−1 z.
Подставляя это выражение в равенство (2.14), получим
K−1 dxdz = A K−1 z + f (x).
Откуда после несложных преобразований получим dxdz = K A K−1 z + K f (x)
или с учетом обозначений
B = K A K−1; g (x) = K f (x)
окончательно |
|
|
dz |
= B z + g (x). |
(2.15) |
dx |
|
|
Система (2.15) имеет тот же вид, что и система (2.14), но матрица коэффициентов изменилась по следующей формуле:
B = K A K−1 .
Подберем матрицу преобразования в жордановой нормальной форме и обозначим ее через B = K A K−1 . Эта форма распишется так: вдоль диагонали матрицы B стоят жордановы
клетки П1, П2 , ..., Пk (1 ≤ k ≤ n), |
а остальные элементы матри- |
||
цы B равны нулю: |
|
|
|
П1 |
|
0 |
|
|
П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Пn |
50