![](/user_photo/_userpic.png)
книги / Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций. Ч. 1
.pdfВозведем в квадрат равенство (4.34) и, преобразовав, получим
dy1 |
2 |
1 |
(c1 |
+c2 |
2 |
)(c2 |
2 |
). |
(4.35) |
||
|
dx |
|
= |
2 |
−2y1 |
−2c1 + y1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для уравнения (4.35) введем следующие обозначения
c1 +c2 = a,c2 −2c 1=b.
С учетом введенных обозначений уравнение (4.35) запишется как
( y′)2 |
= y4 |
− |
a |
+b |
y2 |
+ ab . |
(4.36) |
||
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если теперь ввести ещё дополнительные обозначения
|
a |
|
= A, |
|
|
− |
2 |
+b |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
= B, |
|
|
||
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
то равенство (4.36) можно записать кратко |
|
||||
( y1′)2 = y14 + Ay12 + B. |
(4.37) |
Выражение (4.37) есть нелинейное дифференциальное уравнение специального типа, которое сводится специальными математическими построениями к эллиптическим функциям (см. п. Д. 2.6). Техника таких построений приводится в п. 4.4.4.
Остановимся пока на частных случаях полученного уравнения (4.35). Перепишем его так:
dy1 |
2 |
a |
2 |
|
2 |
). |
||
|
dx |
|
= |
2 |
− y1 |
|
(b − y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
151
![](/html/65386/197/html_LUpDmjocdR.GUAc/htmlconvd-ew5EP2152x1.jpg)
Пусть |
a |
= b, тогда можно записать |
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy1 |
2 |
2 |
) |
2 |
или |
dy1 |
2 |
), |
(4.38) |
|
|
|
dx |
|
=(b − y1 |
|
dx |
= ±(b − y1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и уравнение распадается на два уравнения (случай кратных корней):
dy1 |
=b − y2 |
, |
(4.39) |
|
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dy1 |
= y2 |
−b. |
(4.40) |
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Решаем сначала уравнение (4.39):
∫ ydy2 −1 b = −∫ dx +c3′
1
(интеграл типа ∫ u2du−a2 = 21a ln uu +−aa +c* ).
Отсюда |
|
1 |
ln |
y1 |
− |
b |
= −x +c′. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
b |
|
y1 |
+ |
b |
3 |
||
|
|
Выразим y1:
y1 = |
1 |
+c e−2 |
bx |
|
|
|
3 |
|
, |
(4.41) |
|
1 |
−c e−2 |
bx |
|||
|
|
3 |
|
|
|
где c3 = ec3′ 2 b .
Функция y1 будет существовать при условии, что
1−c e−2 bx ≠ 0, отсюда |
c e−2 bx ≠1. |
3 |
3 |
С учетом введенного обозначения b = c2 −2c1 окончательно получим
y1 |
= |
1+c3e |
−2 c2 |
−2c1x |
. |
(4.42) |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
1−c3e |
−2 |
c2 |
−2c1x |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
152
![](/html/65386/197/html_LUpDmjocdR.GUAc/htmlconvd-ew5EP2153x1.jpg)
Исследуем теперь предельные случаи выражения (4.42):
|
|
= |
1+c e0 |
= |
1+c |
= c* = const, |
||
lim y |
|
|
3 |
|
3 |
|||
|
1−c3e0 |
1−c3 |
||||||
x→0 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.43) |
lim y |
=1 |
+0 |
=1. |
|
|
|||
x→+∞ |
1 |
1 |
−0 |
|
|
|
|
Здесь c* – есть некоторая первоначальная постоянная для концентрации вещества C1. Попутно заметим, что если c2 −2c1 > 0, то функция y1 является функцией действительного переменного x, если c2 −2c1 < 0 – функцией комплексного переменного x.
Найденное по формуле (4.42) значение y1 подставим в (4.32) и (4.33) и получим окончательные выражения для y2 и y3:
y2 = |
c |
− |
2c |
+ |
1 |
|
1 |
+c e−2 c2 |
−2c1x |
|
||||||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
, |
(4.44) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−c e−2 c2 |
|
|
||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
1 |
−2c1x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
c c |
|
1 |
|
1 |
+c e−2 c2 |
−2c1x |
|
||||||||||||
y = |
1 |
+ |
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
. |
(4.45) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
6 6 3 |
|
1 |
−c e−2 c2 |
−2c1x |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Аналогично решается второе уравнение (4.40). Его решения имеют такой же вид, как и (4.42), (4.44) и (4.45), но отличаются только знаками.
Из общих решений (4.42). (4.44) и (4.45) выделим какиелибо частные решения системы (4.26). Для этого решим задачу
Коши, например, при таких начальных условиях: y1 x=0 =1;
y2 x=0 =1; y3 x=0 =1.
Подставив их в выражения (4.42). (4.44) и (4.45), получим систему для определения c1, c2 и c3.
153
![](/html/65386/197/html_LUpDmjocdR.GUAc/htmlconvd-ew5EP2154x1.jpg)
|
= |
1 |
+с3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−с3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
1 |
c2 |
− |
2 |
c1 |
+ |
1 |
, |
(4.46) |
1 |
|
|
3 |
3 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
|
1 c |
+ |
1 c |
− |
1 . |
|
|||
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
6 |
1 |
|
6 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение системы |
(4.46) |
дает |
значения c1 = 2; |
c2 = 6; |
||||||||
c3 = 0. Найденные значения |
c1, c2 , c3 |
подставим в уравнения |
(4.42), (4.44) и (4.45) и окончательно получим частные решения системы (4.26). Они имеют вид
y1 = y2 = y3 =1.
Таким образом, выбранные начальные условия (4.46) дали самый простой вариант частных решений (они оказались не функциями, а константами).
Задача 4.5. Используя условия и схему решения задачи 4.4, рассчитать концентрации реагирующих веществ для уравнений нелинейной системы типа IV (см. табл. 1.4) и получить частные решения при произвольно выбранных начальных условиях.
Решение. В этом случае нелинейная система (1.23) имеет
вид
dy1 |
= y1 (y22 − y32 ), |
|
||
dx |
|
|
||
|
|
|
|
|
dy |
2 |
= y2 (y32 − y12 ), |
(4.47) |
|
|
|
|||
dx |
|
|
||
dy |
|
= y3 (y12 − y22 ). |
|
|
|
3 |
|
||
dx |
|
|
Система вполне разрешима (случай аналогичен задаче 4.4). Решение системы (4.47) опять ищем методом интегрируемых комбинаций.
154
![](/html/65386/197/html_LUpDmjocdR.GUAc/htmlconvd-ew5EP2155x1.jpg)
Для составления первой интегрируемой комбинации умножим обе части уравнений системы (4.47) последовательно на y1, y2 и y3 и сложим полученные уравнения. Тогда
y |
dy1 + y |
dy2 + y |
dy3 = 0. |
||
1 |
dx |
2 dx |
3 |
dx |
|
После ее интегрирования имеем |
|
|
|||
|
y2 + y2 + y2 = c . |
(4.47′) |
|||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
|
Для составления второй комбинации сначала поделим |
|||||
уравнения системы (4.47) на y1 y2 y3 ≠ 0, |
затем опять после- |
||||
довательно помножим на |
y1, y2 |
и y3 и сложим полученные |
уравнения, получим вторую интегрируемую комбинации вида
1 |
|
y1dy1 |
+ |
|
y2dy2 |
+ |
y3dy3 |
|
= 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
dx |
||||||
|
y1 y2 y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
После интегрирования второй комбинации получим |
|||||||||||||||
|
|
|
|
y1 y2 y3 = c2. |
|
|
(4.47′′) |
||||||||
Объединение (4.47′) и (4.47′′) дает систему |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
= c1, |
|
|
||||
|
|
y1 |
+ y2 |
|
+ y3 |
|
(4.48) |
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
y = c . |
|
|
|||||
|
|
y |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
Нелинейную систему (4.48) можно решить, например, методом замены переменной. Тогда относительно y22 и y32 получим следующие выражения:
|
2 |
|
(c1 − y12 ) |
|
(c1 − y12 )2 |
|
|
c2 |
|
|||
|
= |
|
|
+ |
|
|
− |
2 |
|
, |
||
y2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
4 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.48′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(c1 |
− y12 ) |
|
(c1 |
− y12 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|||||
y2 |
= |
|
|
− |
|
|
− |
|
2 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
y12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155
![](/html/65386/197/html_LUpDmjocdR.GUAc/htmlconvd-ew5EP2156x1.jpg)
Составив разность квадратов (4.48′), получаем
y2 |
− y2 |
= 2 |
(c1 − y12 )2 |
− |
c2 |
(4.48′′) |
|
|
2 |
. |
|||||
4 |
|
||||||
2 |
3 |
|
|
y2 |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Затем, подставив в (4.48′′) первое уравнение системы (4.47), получим
dy |
= y 2 |
(c1 |
− y12 )2 |
− |
c2 |
(4.48′′′) |
|
1 |
|
|
2 |
. |
|||
dx |
|
4 |
|
||||
1 |
|
|
y2 |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Возведя в квадрат обе части (4.48′′′) и выполнив тождественные преобразования, приходим к уравнению вида
dy1 |
2 |
= y6 |
−2c y4 |
+c2 y2 |
−4c . |
(4.49) |
|
|
dx |
|
1 |
1 1 |
1 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом замечания к задаче 4.4 для нахождения общего решения (4.49) опять (общий случай) приходится строить систему решений в эллиптических функциях. Построение таких решений (4.49) в эллиптических функциях приведены в п. 4.4.4.
Остановимся пока на некоторых частных случаях найденных решений.
Случай 1. Пусть c2 → 0. Тогда уравнение (4.49) можно записать как
dy1 |
= ±y1 (y12 −c1 ). |
(4.49′) |
dx |
|
|
Уравнение (4.49′) распадается на два простейших дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим первое из них:
dy1 |
= y1 (y12 −c1 ) . |
(4.49′′) |
dx |
|
|
156
![](/html/65386/197/html_LUpDmjocdR.GUAc/htmlconvd-ew5EP2157x1.jpg)
Разделяя переменные в (4.49′′) и интегрируя методом неопределенных коэффициентов, получим
dy1 |
|
dy1 |
* |
|
|
|
= dx, |
∫ |
|
= x +c |
. |
y1 (y12 −c1 ) |
y1 (y1 − c1 )(y1 + c1 ) |
Пусть для определенности c1 > 0. Методом неопределенных коэффициентов находим его неявное решение в виде
y2 |
−c |
= c e |
−2c x |
|
1 |
1 |
1 . |
||
y2 |
||||
3 |
|
|||
|
1 |
|
|
Перейдем теперь от неявного вида решения к явному:
y2 |
= |
|
|
|
c1 |
. |
(4.50) |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1 |
−c |
|
e−2c1x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Далее находим y2 |
и y3 |
путем подстановки (4.50) в (4.48′) |
||||||
и с учетом того, что с2 = 0. |
|
|
|
|
|
|||
y2 |
= |
c1 c2 |
, |
y2 |
= 0. |
(4.50′) |
||
c |
−e2c1x |
|||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Извлекая квадратные корни из (4.50) и (4.50′), окончательно получим ответ первого случая (при арифметических значениях квадратных корней):
y = |
|
|
|
|
c1 |
|
|
; y |
2 |
= |
|
c1 c2 |
|
; |
y = 0, |
(c |
= 0). |
(4.50′′) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
1 |
−c e−2c1x |
|
|
|
c |
−e2c1x |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции |
|
(4.50′′) |
будут |
исследованы |
на |
экстремум |
|||||||||||||||
в п. 4.4.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зададим |
|
теперь начальные |
условия, |
например, |
в |
виде |
|||||||||||||||
y1 (0) = y2 (0) = |
1 |
(задача |
|
Коши). |
Тогда |
получим |
c1 |
= 1 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
c2 = 0, c3 = −1.
157
![](/html/65386/197/html_LUpDmjocdR.GUAc/htmlconvd-ew5EP2158x1.jpg)
Подставив значения c1, c2 и c3 в (4.50′′), приходим к частным решениям вида
y1 = |
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
y2 = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
y3 = 0. |
(4.50′′′) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||
|
2 2 1+e− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 1+e |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Исследуем сначала предельные случаи для (4.50′′′): |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
lim y = lim y |
|
= 1 ; |
|
|
lim |
y |
= |
|
|
1 |
; |
|
|
lim |
y |
|
= 0. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x→0 1 |
x→0 |
2 |
4 |
|
|
|
|
x→+∞ 1 |
2 |
|
|
x→+∞ |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
Если теперь рассмотреть случай c1 < 0, |
|
то получим общие |
|||||||||||||||||||||||||||||||
решения уравнения (4.49′′) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y1 = |
|
|
c1 |
|
|
|
|
; y2 = |
|
|
|
c1 c2 |
; y3 = 0. |
|
|||||||||||||||||||
1−c |
e2c1x |
|
c −e−2c1x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При начальных условиях, например y1 ( |
0) = |
1 |
; y2 ( |
0) = 3 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
частные решения имеют следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
y = |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
; |
y |
|
= |
|
|
36.1 |
|
|
; |
y |
|
= 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
145e−18x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
e18x −145 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
при допустимых ограничениях 145e18x −1 ≠ 0 и e18x −145 > 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Случай 2. Пусть |
c1 → 0 (с2 ≠ 0). |
Тогда уравнение |
(4.49) |
||||||||||||||||||||||||||||||
запишется как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dy1 |
2 |
= y6 |
−4c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Преобразуем его к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy1 |
|
|
|
= dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(здесь опять выбраны арифметические значения корней).
158
![](/html/65386/197/html_LUpDmjocdR.GUAc/htmlconvd-ew5EP2159x1.jpg)
Проинтегрируем его:
|
|
∫ |
|
|
|
|
dy1 |
|
= x +с3. |
(4.51) |
||||
|
|
|
|
y6 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
−4c |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Если в (4.51) принять |
|
−4с2 =1, то интеграл левой части |
||||||||||||
(4.51) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
dy1 |
|
|
= |
1 |
F(ϕ,k), |
|
(4.51′) |
|||
|
|
y16 +1 |
24 3 |
|
||||||||||
где ϕ(x) = arccos |
(1− |
3)x2 |
+1; |
k = sin 5π = |
2 + 3 |
, а F(ϕ,k) – |
||||||||
( |
|
) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
12 |
2 |
|
|||||
|
1+ |
3 |
|
|
x |
+1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функция, зависящая от |
|
ϕ и k |
и являющаяся эллиптическим |
интегралом 1-го рода (см. формулу (2.60) п. Д. 2.2.6.). Таким образом, случай 2 сразу приводит к построению эллиптических интегралов.
В заключение этого пункта проиллюстрируем на графике поведение кривых y1 и y2 , полученных при начальных усло-
виях y1 (0) = y2 (0) = 14 по формуле (4.50′′′) случая 1. Графики
зависимости концентраций веществ с1 и с2 ( y1 и y2 ) от времени t (x) при с3 = 0 ( y3 = 0) приведены на рис. 4.2.
y
y3 = 0
1,0
0,5
0,36
0,25
y1 y2
|
x |
0 |
Рис. 4.2
159
4.4.1. Исследование некоторых физико-химических параметров реакции сложного типа
Характеристика и общие свойства физико-химических параметров сложной реакции приведены в п. 1.3, там же рассмотрен пример математического описания, для которого выбраны параметры динамической системы с учетом процесса диффузии. В этом пункте приводятся результаты исследований физи- ко-химических параметров на примерах реакций III и V типов табл. 1.4. Для всех типов реакций, приведенных в табл. 1.4, получены аналитические решения системы (1.23) методом интегрируемых комбинаций. Метод подробно рассмотрен на примере реакции второго типа, для которой проведен детальный анализ полученных результатов (см. п. 2.3.2).
Результаты аналитических решений сведены в табл. 4.2.
|
|
|
|
|
Таблица 4.2 |
|
Результаты аналитических решений |
||||
|
|
|
|
||
Типы реакций |
|
Аналитические решения или дифференциальные |
|||
системы |
|
|
уравнения, полученные из системы (1.23′) |
||
(1.23′′) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
I |
|
y1 = c1 + c2e−x , y2 = c12 +(2c1c2 x + c3 )e−x −c22e−2x , |
|||
|
y3 = c12 + (2c1c2 x −c2 + c3 )e−x −c22e−2x |
||||
|
|
||||
II |
|
y1′2 = |
|
1 |
(c1 + c2 − 2 y12 )(c2 − 2c1 + y12 ) |
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
III |
|
y1′2 = |
|
1 |
y1 (4 y13 − 2c1 y12 + c12 y1 − 4c2 ) |
|
4 |
||||
|
|
|
|
||
IV |
|
y1′2 = y12 (y14 − 2c1 y12 + c12 )− 4c2 |
|||
V |
|
y1′2 = y12 (y14 − 2(c1 + 2c22 ) y12 + c12 ) |
160