книги / Метод конечных элементов для решения электротехнических задач
..pdfВыражение для текущегорадиуса по границеобласти имеет вид
r N R Ni Ri N j Rj . |
(5.82) |
С
k ( g ) ,
разом:
учетом выражения (5.82) локальная матрица коэффициентов
вектор-столбцы f ( g ) |
|
и f (qg ) определятся следующим об- |
|||||||||||||||||||||||||
|
k ( g ) |
|
N |
i |
|
Ni |
|
|
|
|
N j |
Ni Ri |
N j Rj dL |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
L( g ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
N 3 R |
N |
2 N |
R |
|
|
|
|
N |
2 N R |
N N 2 R |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 i |
|
i |
|
i |
|
|
j |
2 j |
|
|
|
i |
|
j |
2 i |
|
i 3j |
|
j dL |
|
|
|||
|
( g ) Ni |
N j Ri Ni N j |
|
Rj |
|
Ni N j Ri N j Rj |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L( g ) |
3Ri Rj |
Ri |
Rj |
; |
|
|
|
(5.83) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ri |
Rj |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
Ri 3Rj |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
( g ) |
|
|
|
|
|
N |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
Ni Ri N j Rj dL |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( g ) N j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
N |
2 R N |
N |
j |
R |
|
|
|
|
|
( g ) |
2R |
R |
|
|
||||||||||
t0 |
|
|
|
i |
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
j |
|
t L |
|
i |
j |
|
(5.84) |
|||||
|
N |
N R |
N |
|
2 |
R |
dL |
|
0 |
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
( g ) |
|
j |
|
|
j |
|
|
6 |
Ri |
2Rj |
|
|
|||||||||||||
|
|
L |
|
i |
|
j i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( g ) |
|
|
N |
|
|
q L( g ) 2Ri Rj |
|
|||||
|
|
|
i |
Ni Ri N j Rj dL |
S q |
|
|
|
|
|
||
f q |
qS |
|
|
|
|
R |
2R |
|
. (5.85) |
|||
6 |
||||||||||||
|
|
( g ) N j |
|
|
j |
|
||||||
|
|
Lq |
|
|
|
|
i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71
6.РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЗАДАЧ
СГАРМОНИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ПО ВРЕМЕНИ ПОЛЕМ МКЭ
6.1.Уравнения в переменном электромагнитном поле
В электротехнике большое внимание уделяется процессам с гармонически изменяющимся по времени полем. Например, напряжение в промышленных сетях изменяется во времени по закону синуса или косинуса с частотой 50 Гц. С такой же частотой может изменяться и электромагнитное поле в электротехническом устройстве и вокруг него. Кроме того, любой сигнал можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Поэтому исследование гармонически изменяющихся во времени электромагнитных полей представляет большой интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения. Гармонически изменяющиеся во времени поля называют также монохроматическими.
Пусть вектор напряженности электрического поля E( ) в неко-
торой точке пространства изменяется во времени по косинусоидальному закону, причем фазы всех трех прямоугольных проекций одинаковы, т.е. волна линейно поляризована, тогда выражение для E( ) запишется как [7, 12, 13]
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E xEmx cos yEmy cos |
|
|||
|
|
|
|
(6.1) |
|
|
|
zEmz cos , |
где x, y, z – единичные векторы в декартовой системе координат по направлениям x , y , z соответственно; Emx , Emy , Emz – проекции амплитуды на оси x, y, z ; – фаза (примем, что фазы всех
трех проекций одинаковы), рад; – круговая (циклическая) частота гармонических колебаний, рад/с.
72
Амплитуды и фаза зависят не от времени, а только от координат x, y, z .
Обозначим
|
|
Ex ( ) Emx cos Re Emx ei ei ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ey ( ) Emy cos Re Emy ei ei ; |
(6.2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ez ( ) Emz cos Re Emz ei ei , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
где i – мнимая единица; Re |
– реальная часть комплексного чис- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Комплекснойамплитудойвектора |
|
( ) |
|
назовемвектор[7, 12, 13] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
E |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Em e |
. |
(6.3) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
E xEmx yEmy zEmz e |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогдамгновенное значение вектора |
|
|
(t) |
|
определитсяпоформуле |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
E |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) Re |
E |
ei . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
|||||||||||
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Аналогично можно записать комплексную амплитуду напря- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
женности магнитного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
i |
e |
i |
|
(6.5) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
H xHmx |
yHmy zHmz |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
и мгновенное значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) Re H |
ei . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.6) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Рассмотрим первое уравнение Максвелла: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
, |
|
|
|
(6.7) |
|||||||||
|
|
|
|
|
rot H |
( ) E( ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где – удельная электропроводность, 1/(Ом·м). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) величину |
H |
ei , реальная часть кото- |
||||||||||||||||||||||||||||
Подставив вместо H |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
– величину |
E |
ei , получим |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
рой равна H |
( ) , а вместо E( ) |
|
73
ei rot H ei E ei i a E .
После сокращения на ei получается первое уравнение Максвелла в комплексной форме записи (для комплексных амплитуд)
rot H |
i a |
E |
. |
(6.8) |
Аналогично получается и второе уравнение Максвелла в комплексной форме записи
rot |
E |
i а H |
. |
(6.9) |
Решив эти уравнения и определив комплексные амплитуды E и H , легконайтимгновенныезначениявекторовполяизсоотношений
E( ) Re E ei , H ( ) Re H ei .
Преимущество комплексной формы записи уравнений Максвелла заключается в том, что время исключается из этих уравнений, что значительно упрощает решение электродинамических задач.
Рассмотрим электродинамические задачи с гармонически изменяющимся во времени электромагнитным полем, в которых можно пренебречь токами смещения. Тогда первое и второе уравнения Максвелла запишутся как
rot H |
|
J |
; |
|
(6.10) |
|||
rot |
E |
i |
B |
, |
(6.11) |
где J – комплексная амплитуда вектора плотности тока проводимости; H – комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного поля; E – комплексная амплитуда вектора напряженности
электрического поля; B – комплексная амплитуда вектора магнитной индукции; – круговая частота.
Вектор магнитной индукции связан с векторным потенциалом магнитного поля следующим соотношением:
74
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
rot |
A |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.12) |
||||||
|
После подстановки уравнения (6.12) в уравнение (6.10) с уче- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
том того, что H |
|
B |
a , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot rot |
A |
a |
J |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(6.13) |
|||||||||||
где a – абсолютная магнитная проницаемость; |
– относительная |
|||||||||||||||||||||||||||||||
магнитная проницаемость, a |
0 |
; 0 – магнитная постоянная, |
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
4 10 7 . Будем |
считать, |
что |
const |
и, соответственно, |
|||||||||||||||||||||||||||
a |
const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Тогда, пренебрегая токами смещения и используя калибровку Ку- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
лона, уравнение (6.13) можно записать следующимобразом[7, 14]: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
divgrad |
A |
a |
J |
, |
|
|
|
|
|
|
(6.14) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
A |
a |
J |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.15) |
||||||||||
|
После подстановки (6.12) в уравнение (6.11) получим |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot |
E |
i rot |
A |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(6.16) |
|||||||||||
|
В уравнении (6.16) в левой и правой частях роторы от |
E |
и |
A |
и |
|||||||||||||||||||||||||||
rot grad 0 , из чего следует, |
что |
E |
|
|
и |
A |
равны с точностью до |
|||||||||||||||||||||||||
grad [7, 14]. Здесь |
– комплексная амплитуда электрического |
|||||||||||||||||||||||||||||||
потенциала. Таким образом, можно записать |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
E |
i |
A |
grad или |
E |
i |
A |
. |
(6.17) |
||||||||||||||||||||||
|
При переходе к статическим полям |
A |
0 |
и уравнение (6.17) |
||||||||||||||||||||||||||||
преобразуется к виду |
|
|
|
grad . В уравнении (6.17) компонента |
||||||||||||||||||||||||||||
|
E |
i A является вихревой составляющей и определяется действием
75
переменного магнитного поля, а вторая компонента grad пред-
ставляет собой потенциальную или кулоновскую составляющую и обусловлена действием зарядов [7].
Используя закон Ома в дифференциальной форме, можно запи-
сать [14]:
J |
|
E |
i |
A |
|
Je |
Js , |
(6.18) |
где Js – вектор плотности источника переменного тока, Js ; Je – векторплотности вихревого тока, Je i A .
Следует отметить, что только суммарная плотность тока J может быть измерена физически, а величины Js и Je введены для ма-
тематического удобства. Составляющая Js в пределах одного про-
водника есть величина постоянная.
С учетом выражения (6.18) уравнение (6.15) запишется как [14]
2 |
A |
i a |
A |
a |
Js 0 . |
(6.19) |
Уравнение (6.19) необходимо дополнить уравнением для заданной величины тока в проводнике. Заданный ток в проводнике определится по формуле
I |
J |
ds i |
A |
|
Js ds , |
(6.20) |
SC |
|
SC |
|
где SC – площадь поперечного сечения проводника. Введем новую переменную G [14]:
|
Js |
|
|
G |
|
. |
(6.21) |
i |
Тогда уравнения (6.19) и (6.20) можно записать следующим образом:
2 |
A |
i a |
A |
i a G |
0 ; |
(6.22) |
76
i a |
A |
i aG |
ds a I . |
(6.23) |
SC |
|
В результате решения сформированной системы уравнений в каждом узле расчетной области вычисляется вектор комплексной
амплитуды магнитного потенциала A и для каждого из проводников – комплексная величина G .
6.2. Решение одномерной осесимметричной магнитодинамической задачи
Рассмотрим магнитодинамическую задачу определения векторного магнитного потенциала (рис. 6.1) при протекании переменного тока заданной частоты по круглому проводнику. На рис. 6.1: Ra –
радиус проводника; Rb – внешний радиус. В диапазоне изменения радиуса от Ra до Rb – диэлектрическая среда. При решении магни-
тодинамической задачи, кроме определения векторного магнитного потенциала, необходимо найти распределение плотности тока по сечению проводника.
Ra |
Rb |
r |
0 |
|
|
Рис. 6.1. Область исследования |
|
77
Уравнение (6.19) для комплексной амплитуды векторного магнитного потенциала в одномерной осесимметричной постановке запишется как
1 d |
|
dA |
|
i a Az a Js 0 , |
|
|
|
|
r |
z |
(6.24) |
||
|
|
|||||
r dr |
dr |
|
|
|
где Az – проекция комплексной амплитуды векторного магнитного потенциала на ось z .
Примем, что на оси симметрии dAdrz 0 , а на бесконечном уда-
лении магнитный потенциал равен нулю.
Уравнение (6.24) с переходом к переменной G преобразуется к виду
1 d |
|
|
|
|
|
||
r dAz |
i a Az i aG 0 . |
(6.25) |
|||||
|
|
||||||
r dr |
dr |
|
|
|
Для заданного тока уравнение (6.25) дополним следующим выражением:
i a Az i aG ds a I , |
(6.26) |
SC |
|
где SC – площадьпоперечногосеченияпроводника; I – заданныйток. Алгебраическая форма записи комплексных величин амплитуды магнитного потенциала Az , параметра G и заданного тока I
имеет вид
|
|
A |
R |
iA |
I |
|
R |
iG |
I |
; |
|
I |
R |
iI |
I |
, |
(6.27) |
|
A |
|
|
; G G |
|
|
I |
|
|
||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
AR , GR , I R |
– реальные части комплексных величин; |
AI , GI , |
||||||||||||||
I I |
– мнимые части. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Врезультате подстановки выражений (6.27) в уравнения (6.25)
и(6.26) имеем:
78
1 d |
|
R |
I |
|
|
|
||
r |
d A |
|
iA |
|
i a AR iAI |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
r dr |
|
dr |
|
|
|
|||
|
|
|
|
i a GR iGI 0; |
(6.28) |
i a AR iAI i a GR iGI ds a I R iI I . |
(6.29) |
SC |
|
После разделения в уравнениях (6.28) и (6.29) реальной и мнимой частей запишем [4]:
|
|
1 d |
|
|
|
dAR |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
r |
|
dr |
|
|
a A |
|
|
aG |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
r dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
1 d |
dAI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
(6.30) |
||||||
i |
a |
A |
|
|
|
|
|
|
|
r |
dr |
|
aG |
|
0; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
AI |
a |
GI |
|
ds |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
SC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
GR |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
AR |
|
ds |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
SC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a I R i a I I . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.31) |
В результате получим систему из четырех уравнений:
|
d |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||
1 |
r dA |
|
a AI aGI 0 ; |
|
(6.32) |
|||||||
|
|
|
||||||||||
r dr |
dr |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
I |
|
|
|
a AR |
1 |
r dA |
|
aGR 0 |
; |
(6.33) |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
r dr |
dr |
|
|
|
|||
|
a AI aGI ds a I R ; |
|
(6.34) |
|||||||||
|
SC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a AR aGR ds a I I . |
|
(6.35) |
|||||||||
|
SC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79
Рассмотрим применение метода Галёркина к уравнению (6.32):
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
du |
R |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
r |
dr |
au |
|
a g |
|
dV 0 , |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
r dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где uR , uI , |
|
g R |
и g I |
– приближенные решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 d |
|
|
T |
|
|
|
R |
|
|
|
T |
1 |
d |
|
|
|
R |
|
d |
|
N |
T |
|
R |
|
||||||||||
|
|
N |
|
r du |
|
|
N |
r du |
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
r dr |
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
r dr |
|
dr |
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 1 d |
|
duR |
|
|
|
1 d |
|
T |
|
duR |
|
|
d |
N T duR |
|
|
|
|||||||||||||||||||
N |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
r dr |
|
|
|
|
|
dr |
|
|
dr |
|
|
dr |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dr |
|
|
|
r dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.36)
(6.37)
Тогда первое слагаемое выражения (6.36) преобразуется к виду
T 1 d |
|
duR |
|
|
|
|
|
1 d |
|
T |
duR |
||||||
N |
|
|
r |
dr |
dV |
|
|
|
|
|
N |
r |
dr |
dV |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
V |
r dr |
|
|
|
V |
r dr |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
N |
T |
|
|
R |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
dV . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
dr |
|
|
|
|
По теореме Остроградского – Гаусса имеем
|
1 d |
|
T |
duR |
|
T duR |
||||||
|
|
|
|
N |
r |
dr |
dV |
N |
|
dr |
dS, |
|
|
|
|||||||||||
V |
r dr |
|
|
|
S |
|
|
|
(6.38)
(6.39)
где |
T duR |
|
– интеграл по замкнутой поверхности тела. |
|||||
N |
dS |
|
||||||
S |
|
dr |
|
|
|
|
|
|
Тогда для одномерной осесимметричной задачи интеграл через |
||||||||
боковую поверхность определится как |
|
|
||||||
|
|
T |
duR |
2 Lz |
T duR |
|
||
|
|
N |
|
dS |
N |
|
Rb d dz |
|
|
|
S |
|
dr |
0 0 |
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
T duR |
(6.40) |
|
|
|
|
|
2 Lz Rb N |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|