5.Действия над матрицами

1) Сложение матриц: С_mn=A_mn+B_mn, если элементы вычисляются по формуле: c_ij = a_ij + b_ij. Свойства:

а) А+В = В+А – свойство коммутативности

б) А+(В+С) = (А+В)+С; в) А+ 0 = А

г) А+(-А) = 0

2) умножение матрицы на число: Произведение матрицы А х λ называется матрица С того же размера C_mn = λ x A_mn, если c_ij=λ x a_ij. Свойства:

а) (λ+в)А= λА+вА; б) λ(А+В) = λА+λВ;

в) -1 х А = -А; г) 1 х А = А; д) А х 0 = 0;

е) λ х 0=0.

3) Умножение матриц: произведением матрицы А_mn на матрицу B_mn называется матрица C_mn

A_mn x B_mn = C_mn. Элементы результирующей матрицы равны сумме произведений элементов строки первой матрицы на элементы второй матрицы соответствующего столбца. Свойства

а) А х В не равно В х А – не коммутативно

б) А(В х С) = (А х В) С; в) А х Е = Е х А = А

4) А^т называется транспонированной к матрице А если строчки и столбцы поменять местами. Свойства:

а) (А^т)^т = А; б) λ х А^т = (λ х А)^т; в) А^т + В^т=(А+В)^т

г) (А х В)^т = А^т х В^т

6.Обратная матрица, алгоритм ее нахождения

Матрицей, обратной матрице А, называется матрица A^-1 такая, что A^-1 х A = A х A^-1 = E.

1) Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы.

2) Матрица А не вырожденная.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. для матрицы А найти определитель

2. составить присоединенную матрицу А_пр состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А

3. транспонировать присоединенную матрицу

4. Найти А^-1 = 1/ detA x A^Т_пр

7.Ранг матрицы. Метод нахождения ранга матрицы. Теорема Кронекера – Капели

Пусть задана матрица Amn. В данной матрице можно вычеркнуть k строк и столбцов, k ≤ min (m,n). Из вычеркнутых элементов можно получить подматрицы 1,2,3 порядка. Определители таких подматриц называются минорами матриц. Рангом матрицы r(A) называется наивысший порядок отличного от 0 минора матрицы. Способы вычесления ранга матриц:

1) метод окаймляющих миноров:

а) среди элементов матрицы выбирается любой неравный нулю (минор первого порядка)

б) около него строим минор 2-порядка. Если он не равен 0, то строим минор третьего порядка.

в) если определитель 3-порядка не равен 0, то выбирают новый элемент

г) если все опред-ли равны 0, то ранг матрицы равен предыдущему порядку минора неравному 0.

2) Метод элементарных преобразований матрицы. Элементарные преобразования: а) Отбрасывание нулевой стр. или стл.; б) умножение стр. или стл. на число не равное 0; в) изменение порядка стр. или стл.

г) прибавление к эл-там стр. или стл. эл-тов другой стр. или стл. д) транспонирование.

Теорема Кронекера-капелли: Система линейных уравнений совместна тогда, когда ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы системы.

8.Решение системы линейных уравнений матричным методом

Пусть задана система m уравнений сm неизвестных.

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+….+а_1mx_m=b₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…..+а_2mx_m=b₂

…………………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_m=b_m

1) Введем матрицу А= а₁₁ а₁₂…..а_1m

………………

a_m1a_m2…a_mm

2) X= x₁ 3) B = b₁

x₂ b₂

… …

x_m b _m

AX=B –матричный вид

A^-1AX=A^-1B

EX=A^-1B

X=A^-1B

1. если detA не равен 0 – 1 решение

если detA= 0, матричный метод не пригоден