- •Колебания. Волны. Оптика
- •1.Колебания
- •1.1.Гармонические колебания
- •1.1.1. Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний
- •1.1.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Комплексная форма представления гармонических колебаний
- •1.1.3. Примеры колебательных движений различной физической природы
- •1.1.3.1. Колебания груза на пружине
- •Где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени ,- смещение от положения равновесия.
- •1.1.3.2. Маятники
- •1.1.4. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Векторное описание сложения колебаний
- •1.1.5. Энергия колебаний
- •1.2. Ангармонический осциллятор
- •1.2.1. Линейность и принцип суперпозиции. Границы его применимости
- •1.2.2. Ангармонический осциллятор
- •1.3. Свободные затухающие колебания осциллятора с потерями
- •Она пропорциональна числу колебаний за время релаксации.
- •1.4. Вынужденные колебания. Время установления вынужденных колебаний. Его связь с добротностью осциллятора
- •1.5.Электромагнитные процессы в колебательном контуре с током
- •1.5.1. Свободные колебания в контуре
- •1.5.2. Свободные затухающие колебания в контуре
- •1.5.3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс в последовательном контуре
- •1.5.4.Резонанс в параллельном контуре
- •1.5.5.Переменный ток
- •1.6.Связанные колебания. Нормальные моды связанных осцилляторов
- •1.6.1.Системы с двумя степенями свободы Нормальные моды колебаний
- •1.6.2.Общее решение для мод
- •2.Волны в упругой среде
- •2. 1. Волновое движение. Продольные и поперечные волны
- •2.2. Волновое уравнение в пространстве. Плоская гармоническая волна. Длина волны, волновое число, фазовая скорость. Одномерное волновое уравнение. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах
- •2.3.Энергия волны
- •2.4.Принцип суперпозиции волн
- •2.5.Образование стоячих волн
- •2.6.Свободные колебания системы со многими степенями свободы. Волны – колебания непрерывных систем
- •2.7. Стоячие волны как нормальные моды колебаний
- •2.8. Моды поперечных колебаний непрерывной струны
- •2.9. Эффект Доплера
- •2.10. Электромагнитные волны
- •2.10.2. Энергетические характеристики электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга
- •2.10. 2.1.Энергия и импульс электромагнитного поля. Сохранение энергии и импульса в изолированной системе произвольно движущихся зарядов
- •2.10.2.2. Работа, совершаемая полем при перемещении зарядов
- •2.10.2.3.Энергия электромагнитного поля. Плотность и поток энергии. Закон изменения энергии
- •2.10.2.4. Закон сохранения энергии для изолированной системы «поле- заряды»
- •2.10.2.5. Импульс электромагнитного поля. Закон сохранения импульса и момента импульса
- •2.10.3 Излучение диполя
2.10.2.3.Энергия электромагнитного поля. Плотность и поток энергии. Закон изменения энергии
Найдем энергию электромагнитного поля по заданным значениям векторов и. Для этого используем уравнения Максвелла
Умножим первое уравнение на , второе – наполучаем
Из равенства (2.39) вычтем (2.40), имеем
(2.41)
Из математики известно, что
Левая часть выражения (2.41) есть частная производная по времени от функции Тогда имеем:
или
Проинтегрируем это выражение по объему V:
Преобразуем: Получаем
(2.42)
Но - работа поля за единицу времени в пределах конечного объемаV. Тогда- плотность энергии электромагнитного поля. Она равна сумме плотностей энергий электрического и магнитного полей.- плотность потока энергии, называемая вектором Пойтинга. Этот вектор направлен в сторону перемещения энергии и по абсолютному значению равен энергии, которая в единицу времени переносится полем через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно потоку.
Тогда энергия поля в заданном объеме Vравна
Поток энергии поля через замкнутую поверхность в единицу времени определяет полную мощность излучения системы зарядов и равен
Таким образом, равенство (2.42) – это математическое выражение закона изменения энергии электромагнитного поля. Его можно переписать в виде:
(2.43)
(W не зависит от координат точек поля и частную производную можно заменить полной). Теорема (2.43) читается так:убыль энергии в некотором объеме равна потоку энергии, выходящему из объема, и работе , совершаемой полем над зарядами в этом объеме.В дифференциальной форме эта теорема имеет вид:
В области, где нет зарядов и токов (), плотность электромагнитной энергии связана с ее потокомуравнением непрерывности:
(2.44)
Это уравнение является локальным выражением закона сохранения энергии для электромагнитного поля при отсутствии зарядов. Оно выражает теорему Пойтинга.
Проинтегрируем (2.44) по объему V, ограничивающему поверхностьs:
Таким образом, при отсутствии зарядов убыль энергии поля в объеме V в единицу времени равна интегральному потоку энергии через поверхность, ограничивающую этот объем.
Если потока энергии через границы поля нет, , и энергия поля убывает, если- заряды движутся под действием сил поля. Если же, то энергия поля растет, но в этом случае работают не силы поля, а сторонние силы, не сводящиеся к силе Лоренца.
2.10.2.4. Закон сохранения энергии для изолированной системы «поле- заряды»
Рассмотрим изолированную систему поле -заряды. Изолированность системы следует понимать как отсутствие потока энергии через ограничивающую ее поверхность и отсутствие потока массы, который тоже уносил бы энергию. В таком случае убыль энергии электромагнитного поля в единицу времени равна
работе, совершаемой полем над зарядами.
Ясно, что работа, производимая над зарядами, является мерой превращения энергии поля в другие виды: в кинетическую энергию заряженных частиц и тел, потенциальную энергию деформации, внутреннюю энергию среды и т.д. Для дискретной системы зарядов
тогда подставляя в (2.42) выражение (2.36), получаем
.
Из этого выражения следует, что
В последнем равенстве объем Vможет быть или конечным, или охватывать все пространство. Это соотношение выражает закон сохранения энергии в изолированной системе поле-заряды:в изолированной системе поле-заряды сохраняется сумма энергии поля и релятивистской энергии заряженных материальных точек.