![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Программированное пособие
- •Тема №1 Непосредственное интегрирование
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема №2 Интегрирование способом подстановки
- •Задание для самостоятельной работы
- •Задание для самостоятельной работы
- •Тема №3 Интегрирование по частям
- •I группа:
- •III группа: .
- •Задание для самостоятельной работы
- •Указания к ответам
I группа:
,
где P(x)
–многочлен.
В данной группе полагаем U=lnx; U=arcsinx; U=arccosx; U=artgx; U=arcctgx, а оставшееся выражение за dV=P(x)dx.
II
группа:
,
где Р(х)- многочлен, k
и b-числа.
В данной группе полагаем U=P(x), а оставшееся выражение за dV.
III группа: .
Эта группа сложных интегралов. Они находятся при помощи двукратного интегрирования.
Пример
5.
Пусть U=lnx; dV=xdx.
Тогда
dU=d(lnx)=;V=
.
Пример
6.
.
Пусть
U=lnx;
dV=.
Тогда
dU=d(lnx)=.
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
.
В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять столько раз какова степень многочлена.
Пример
7.
.
Пусть
U=
Тогда
dU=d(
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
Так как многочлен второй степени, то в результате однократного интегрирования степень его понизилась на единицу, поэтому получившийся интеграл мы должны еще раз проинтегрировать, чтобы он уничтожился и остался табличный интеграл.
Пусть U=x; dV=cosxdx.
Тогда
dU=dx;
V=
+cosx+C.
Подставляя полученный результат в первоначальный интеграл, имеем:
Пример
8.
.
Этот интеграл относится к третьей группе интегралов.
Пусть
U=cosx;
dV=
Тогда
dU=-sinxdx;
V=
Рассмотрим
Пусть
U=sinx;
dV=
Тогда
dU=cosxdx;
V=
Подставим найденное значение в (1):
Переносим
из правой части в левую с противоположным
знаком, получим: 2
Из полученного уравнения находим чему
равен искомый интеграл, поделив обе
части равенства на 2.
Задание №17.
№ |
ЗАДАНИЕ |
ОТВЕТ |
1. |
|
|
2. |
|
(x-1)cosx-sinx+C |
3. |
|
x·arcsinx+ |
4. |
|
|
Задание для самостоятельной работы
4.
Указания к ответам
Задание №1
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
2 как постоянный множитель нужно вынести за знак интеграла (свойство1) и только после этого интегрировать. |
2. |
Забыли С. | |
3. |
Верно. | |
4. |
Дифференцируете функцию, а не интегрируете. | |
5. |
Функция
вынесена за знак интеграла, а не
проинтегрирована, см. | |
2. |
1. |
Интеграл
от произведения двух функций не равен
произведению этих функций. Нужно
предварительно раскрыть скобки в
подынтегральном выражении и
воспользоваться свойствами 3 и 4, и
|
2. |
Верно. | |
3. |
Забыли С. См. определение интеграла. | |
4. |
Неверно
применили
| |
5. |
Неверно
применили
| |
3. |
1. |
Верно. |
2. |
Забыли С. | |
3. |
Интеграл
дроби не равен отношению интеграла
числителя к интегралу знаменателя.
Подынтегральное выражение нужно
предварительно преобразовать. См.
| |
4. |
Вы
ошиблись при замене корня дробным
показателем:
| |
5. |
Нельзя
отдельно интегрировать сомножители,
делимое и делитель. См.
| |
5. |
1. |
Верно. |
2. |
Нашли
производную вместо интеграла. См.
| |
3. |
Неверно. Забыли С. |
Задание №2.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
В
|
2. |
Верно. | |
3. |
Не верно. Забыли С. | |
2. |
1. |
Верно. |
2. |
Нужно
предварительно раскрыть скобки и
применить свойства 2 и 1,
| |
3. |
Нашли
производную вместо интеграла. См.
|
Задание №3.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Не верно. Забыли С. |
2. |
Дифференцируете вместо того, чтобы интегрировать. | |
3. |
Верно. |
Задание №4.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Верно. |
2. |
В
| |
3. |
Не верно. Забыли С. | |
2. |
1. |
В
|
2. |
В
| |
3. |
Верно. |
Задание №5.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
|
2. |
Ошиблись
в знаке
| |
3. |
Верно. | |
4 |
| |
2. |
1. |
Верно. |
2. |
Ошибка
в знаке. Должно быть -5cosx.
См. | |
3. |
| |
4. |
|
Задание №6
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Ошибка в знаке. Должно быть 2sinx. |
2. |
Верно. | |
3. |
Интеграл
отношения не равен отношению интегралов.
Следовательно sin2x=2sinx·cosx,
а затем
| |
2. |
1. |
Ошибка
в знаке. Должно быть -3sinx.
См.
|
2. |
Верно. |
Задание №7.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Ошибка
в
|
2. |
Верно. |
Задание №8.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Ошибка
в знаке
|
2. |
Верно. | |
2. |
1. |
Верно. |
2. |
Ошибка
в знаке
|
Задание №9.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Верно. |
2. |
Ошибка
в
| |
3. |
Ошибка
в
| |
4. |
Потеряно С. |
Задание №10.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Ошибка
в
|
2. |
Ошибка
в
| |
3. |
Верно. | |
4. |
Потеряно С. |
Задание №11.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Верно. |
2. |
Вместо
dx
подставили просто dt,
не учитывая, что при дифференцировании
(5+3х) получается 3dx,
следовательно, 3dx=dt,
а dx= | |
3. |
Вы не проинтегрировали, а продифференцировали функцию. | |
4. |
Потеряно С. | |
2. |
1. |
Нашли производную вместо интеграла. |
2. |
Потеряли
коэффициент
| |
3. |
Верно. | |
4. |
Потеряно С. | |
3. |
1. |
Потеряли
знак:
|
2. |
Верно. | |
4. |
1. |
Потеряли
коэффициент
|
2. |
Верно. | |
3. |
Ошиблись
в показателе, вместо
| |
5. |
1. |
Потерян знак d(cosx)=-sinxdx. |
2. |
Вместо n+1 взяли n-1. | |
3. |
Верно. | |
6. |
1. |
Потерян знак d(3-sinx)=-cosxdx. |
2. |
Верно. | |
3. |
Вместо n+1 взяли n-1. | |
7. |
1. |
Верно. |
2. |
Потеряно С. | |
3. |
Потерян знак. | |
8. |
1. |
Интеграл
типа
|
2. |
Верно. | |
3. |
Вместо n=-5 взяли n=5. |
Задание №12.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Потеряли
коэффициент
|
2. |
Ошибочно
использовали
| |
3. |
Верно. | |
2. |
1. |
Потеряли
коэффициент
|
2. |
Ошибочно
приняли
| |
3. |
Верно. | |
3. |
1. |
Вместо
|
2. |
Верно. | |
3. |
Нашли производную, а не интеграл. | |
4. |
1. |
Потеряли минус. |
2. |
Верно. | |
3. |
Потеряли
коэффициент
| |
5. |
1. |
Воспользовались
|
2. |
Верно. | |
3. |
Ошибочно
заменили tgx
через
|
Задание №13.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Потерян минус в показателе степени. |
2. |
Верно. | |
3. |
Потерян минус перед дробью. | |
2. |
1. |
Верно. |
2. |
Ошибочно
применили
| |
3. |
|
Задание №14.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Потеряли
коэффициент
|
2. |
Верно. | |
3. |
Потеряли
минус, см.
| |
2. |
1. |
Берете
произведение интегралов
|
2. |
Потеряли
коэффициент
| |
3. |
Верно. | |
3. |
1. |
Потеряли
коэффициент
|
2. |
Верно. | |
3. |
Потерян
знак, см.
|
Задание №15.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Потерян
коэффициент
|
2. |
Верно. | |
3. |
Пользуетесь
| |
2. |
1. |
Потерян
коэффициент -
|
2. |
Верно. | |
3. |
1. |
Неверно
пользуетесь
|
2. |
Верно. |
Задание №16.
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
1. |
1. |
Потерян
коэффициент
|
2. |
Неверно
применили
| |
3. |
Верно. | |
2. |
1. |
Потерян
коэффициент
|
2. |
Потерян
коэффициент
| |
3. |
Верно. | |
3. |
1. |
Верно. |
2. |
Потерян
коэффициент | |
3. |
Вместо
|