1.2. Затухающие колебания

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени вследствие действия на колебательную систему сил сопротивления (трения). Если принять, что сила трения пропорциональна скорости колеблющегося тела , гдеr– коэффициент сопротивления (трения), то дифференциальное уравнение затухающих колебаний системы имеет вид

, (1.10)

где – коэффициент затухания, – частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Коэффициент затухания для данной колебательной системы и данной среды, в которой происходят затухания, является величиной постоянной.

Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается ве (2,72)раз, называетсявременем релаксации.

Если   ₀, то система совершает затухающие колебания:

, (1.11)

гдеA₀иα₀ – постоянные, называемые начальной амплитудой и начальной фазой соответственно,.

Величина А(t)=A₀e^-tназывается амплитудой затухающих колебаний и убывает по экспоненциальному закону (рис. 1.2).

Убывание амплитуды Aпринято характеризовать сравнением амплитуд, достигаемых через интервал времениt=T, гдеT=2/– период колебаний.

Пусть в момент времени tамплитуда колебаний равнаA_t , а в момент времени(t+T)–A_t+T. Отношение называетсядекрементом затухания, характеризующим быстроту убывания амплитуды, = 1.

Более удобен логарифмический декремент затухания =ln=Т,  = 1. Величина, обратная логарифмическому декременту затухания, есть число колебаний, в течение которых амплитуда затухающего колебания уменьшается вераз.

2. Экспериментальная часть

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение основных закономерностей колебательного движения с помощью физического маятника.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Оборотный маятник.

Подставка с призмой.

Секундомер.

Метровая линейка или рулетка.

2.1. Определение момента инерции физического маятника

ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной осиО, не проходящей через центр масс тела точку С (рис. 2.1).

Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол , то составляющая силы тяжестиуравновешивается силой реакции осиО, а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом

. (2.1)

Знак минус означает, что угловое смещение  и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника из положения равновесия sin  , поэтому F_  -mg. Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О, то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения

, (2.2)

где М – момент силы F_ относительно оси О, I – момент инерции маятника относительно оси О, – угловое ускорение маятника.

Момент силы в данном случае равен

M = F_l = –mgl, (2.3)

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

С учетом (2.2) уравнение (2.3) можно записать

(2.4)

или

, (2.5)

где .

Решением дифференциального уравнения (2.5) является функция, позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t,

=_0cos(₀t+₀). (2.6)

Из выражения (2.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой колебаний ₀, циклической частотой , начальной фазой ₀ и периодом, определяемым по формуле

, (2.7)

где L=I/(mg) – приведенная длина физического маятника, т. е. длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом физического маятника. Формула (2.7) позволяет определить момент инерции твердого тела относительно любой оси, если измерен период колебаний этого тела относительно этой оси. Если физический маятник имеет правильную геометрическую форму и его масса равномерно распределена по всему объему, в формулу (2.7) можно подставить соответствующее выражение для момента инерции (Приложение 1).

В эксперименте исследуется физический маятник, называемый оборотным и представляющий собой тело, колеблющееся вокруг осей, расположенных на разном расстоянии от центра тяжести тела.

Оборотный маятник состоит из металлического стержня, на котором неподвижно укреплены опорные призмы О₁иО₂и две подвижные чечевицыАиB, которые могут закрепляться в определённом положении с помощью винтов (рис. 2.2).

Физический маятник совершает гармонические колебания при малых углах отклонения от положения равновесия . Период таких колебаний определяется соотношением (2.7)

,

где I– момент инерции маятника относительно оси вращения,m– масса маятника,d – расстояние от точки подвеса до центра масс, g– ускорение силы тяжести.

Применяемый в работе физический маятник имеет две опорные призмы О₁иО₂для подвешивания. Такой маятник называется оборотным.

Сначала маятник подвешивают на кронштейн опорной призмой О₁ и определяют период колебанийТ₁относительно этой оси:

(2.8)

Затем маятник подвешивают призмой О₂и определяют Т₂:

. (2.9)

Таким образом, моменты инерцииI₁ и I₂относительно осей, проходящих через опорные призмыО₁иО₂, будут соответственно равныи. Масса маятникаmи периоды колебанийТ₁ иТ₂ могут быть измерены с высокой степенью точности.

По теореме Штейнера

, (2.10)

, (2.11)

где I₀– момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести. Таким образом, моментинерцииI₀ можно определить, зная моментыинерцииI₁ и I₂.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Снимите маятник с кронштейна, поместите его на трёхгранную призму так, чтобы расстояния от опоры до призм О₁иО₂ не были равны между собой. Передвигая чечевицу вдоль стержня, установите маятник в положение равновесия, после чего закрепите чечевицу винтом.

2. Измерьте расстояние d₁ от точки равновесия (центр массС) до призмыО₁ иd₂– отСдо призмыО₂.

3. Подвесив маятник опорной призмой О₁, определите период колебаний, гдеN– число колебаний (не более50).

4. Аналогичным образом определите период колебаний Т₂ относительно оси, проходящей через ребро призмыО₂.

5. Подсчитайте моменты инерцииI₁ и I₂относительно осей, проходящих через опорные призмыО₁иО₂, по формулами, измерив массу маятникаmи периоды колебанийТ₁ иТ₂. Из формул (2.10) и (2.11) определите момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести (масс)I₀. Из двух опытов найдите среднее< I₀>.

6. Передвинув чечевицу Аи найдя новое положение центра тяжестиС, повторите опыт. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу (см. образец, табл.1).

Таблица 1

№	м	м	Ось О1				Ось О2				кг·м2
			с	, с	кг·м2	кг·м2	с	, с	кг·м2	кг·м2
1
2