3.4. Законы логики высказываний

1. закон исключенного третьего ,

2. закон отрицания противоречия ,

3. закон тождества ,

4. законы идемпотентности ,,

5. законы коммутативности ,,

6. законы ассоциативности ,,

7. законы дистрибутивности ,,

8. закон контрапозиции ,

9. законы де Моргана ,,

10. закон силы логизма .

3.5. Логические основы эвм

Булева алгебра зародилась в XIX веке и изначально носила только теоретический характер. Практическое применение она получила в XX веке в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Алгебра логики широко применяется при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор). К таким устройствам относятся группы переключателей, триггеры, сумматоры.

Кроме того, связь между булевой алгеброй и компьютерами лежит и в двоичной системе счисления, примпеняемой в ЭВМ. Использование данной системы счисления позволяет хранить и преобразовывать как числа, так и значения логических переменных, которые также могут принимать только одно из значений «0» или «1». Для реализации логических процессов в ЭВМ применяют переключатели, каждый из которых может находится только в одном из двух состояний (включен – выключен). В зависимости от положения переключателей можно получить или не получить сигналы на выходах. Такие переключатели строятся на основе вентилей.

Вентиль представляет собой логический элемент, который принимает одни двоичные значения и выдает другие в зависимости от своей реализации. В качестве вентилей выступают транзисторы, которые могут в течение нескольких наносекунд изменить свое состояние с заряженного на незаряженное. В схемах ЭВМ, применяют вентили, реализующие логическое умножение (конъюнкцию), сложение (дизъюнкцию) и отрицание.

Возможности вентилей не позволяют непосредственно выполнять импликацию и эквиваленцию. Данные операции заменяются комбинациями конъюнкции – AND, дизъюнкции – OR, исключающим или – XOR и отрицанием – NOT.

Вентили, используемые в ЭВМ приведены в таблице 8.

Для лучшего представления функционирования данных устройств их представляют в виде электрических схем, состоящих из ключей замыкания (А, В) и сопротивления (х). Замыканию ключа соответствует «1». Если ключ разомкнут, то это соответствует состоянию «0». Истинностное значение всей схемы оценивается наличием тока на сопротивлении. Ток есть – 1, нет – 0. Причем надо помнить, что при параллельном соединении ток идет по пути наименьшего сопротивления, т.е. через ключ.

Таблица 8.

операция	обозна-чение	схема	таблица истинности	электрическая схема аналог
1	2	3	4	5
отрицание (инверсия)	NOT НЕ		А х 1 0 0 1
1	2	3	4	5
конъюнкция (умножение)	AND И		A B x 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
дизъюнкция (сложение)	OR ИЛИ		A B x 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
исключающее и	И-НЕ		A B x 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
ИЛИ-НЕ	ИЛИ-НЕ		A B x 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
исключающее или	XOR		A B x 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0	–

На основе вентилей строятся более сложные логические устройства – триггеры и сумматоры.

Сумматоры широко используются в арифметико-логических устройствах (АЛУ) процессора и выполняют суммирование двоичных разрядов.

Триггер способен хранить один двоичный разряд, за счет того, что может находиться в двух устойчивых состояниях. Приняв одно из состояний за «1», а другое за «0», можно считать, что триггер хранит (помнит) один разряд числа, записанного в двоичном коде.

По характеру действия триггеры относятся к импульсным устройствам – их активные элементы (транзисторы, лампы) работают в ключевом режиме, а смена состояний длится очень короткое время. Триггеры применяются в регистрах процессоров, счетчиках, оперативных запоминающих устройствах.

Одним из самых распространенных являетсяRS-триггер. Он имеет два входа S и R, и два выхода Q и выход с его отрицанием .

Данный триггер сохраняет своё предыдущее состояние при нулевых значениях на входах и меняет своё выходное состояние при подаче на один из его входов единицы (см. табл. 9).

Таблица 9.

Таблица истинности RS-триггера на основе вентилей ИЛИ-НЕ

Рис. 4. схема RS-триггера

S R Q 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 недопустимо

Одновременная подача на входы «0» недопустима, т.к. приводит к неопределенности состояния системы. Одновременная подача «1» на оба входа не приводит к изменению системы, данное состояние считается неустойчивым и при считывании управляющего сигнала оно переходит в одно из двух устойчивых состояний (или). В виду того, что триггер имеет всего два, устойчивых состояния можно сделать вывод что, для запоминания байта нужно 8 триггеров. Соответственно, для запоминания килобайта, 8 х 1024 = 8192 триггеров. В современной вычислительной технике объемы памяти исчисляются мегабайтами и гигабайтами, а это значит, что они содержат миллиарды триггеров.