Lineinaya_algebra_i_analiticheskaya_geometriya
.pdf31
Пример 17. Выяснить, являются ли линейно зависимыми векторы a 1,4, 2,3 и b 2,8, 4,6 .
Решение. Определим, пропорциональны ли координаты векторов:
14 2 3 – верно.
28 4 6
Следовательно, векторы a и b линейно зависимы.
Теорема 9. (Критерий линейной зависимости (независимости) системы из n век-
торов в пространстве Rn ).
Системы векторов a1 , a 2 , , a n – линейно зависима (линейно независима) в
Rn тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю (отличен от нуля).
Пример 18. Определить, являются ли линейно зависимыми вектора
a 3, 2,1 , |
b 4,1, 3 |
и |
c 2, 3, 1 ? |
Решение. Составим и вычислим определитель из координат векторов:
3 |
2 |
1 |
|
4 |
1 |
3 3 1 9 2 4 6 1 12 2 40 |
|
2 |
3 |
1 |
|
Т.к. 0, то векторы a , b |
и c - линейно независимы. |
Теорема 10. Любые n 1 векторов линейно зависимы в пространстве Rn .
Замечание. Остается рассмотреть ситуацию, когда количество векторов в систе-
ме больше двух, но меньше n (например, три вектора в пространстве R4 ). Итак, выясним линейную зависимость (независимость) системы a1 , a2 , , ak в простран-
стве Rn , где 2 k n . Рассмотрим матрицу A, составленную из координат этих векторов, и вычислим ее ранг. С учетом теоремы 5, делаем вывод: если rang A k ,
то система линейно независима, а если rang A k , то система a1 , a2 , , ak - ли-
нейно зависима.
32
1.6.2. Базисы в пространствах Rn .
Система векторов {e1 , e2 , , en } называется базисом пространства Rn , если
любой вектор a Rn может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы:
a 1e1 2e2 nen .
Числа 1, 2 , , n называют коэффициентами разложения вектора a по базису
{e1 , e2 , , en } .
В пространстве R2 примером базиса может служить система единичных ортов: i , j . Данный базис принято называть естественным, т.к. коэффициентами
разложения любого вектора a по базису i , j являются координаты этого вектора. Например, a 2,5 2i 5 j .
В пространстве R3 естественный базис образует система векторов i , j,k .
Теорема 11. Если система векторов образуют базис в Rn , то она линейно независима.
Теорема 12. Любые n линейно независимых векторов пространства Rn образуют в нем базис.
Пример 19. (Образец решения задачи 3 из контрольной работы). Даны векторы
a 2, 1,2 , b 3,1, 1 , |
c 1, 2, 3 . Определить образуют ли векторы a , b |
и |
||
c базис в пространстве |
R3 и если да, |
то разложить вектор d 17, 15, 7 |
по |
|
этому базису. |
|
|
|
|
Решение. Составим определитель из векторов a , b и c : |
|
|||
|
2 |
1 |
2 |
|
|
3 |
1 |
1 10 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
Т.к. 0, то система |
a,b ,c - линейно независима и по теореме 12 образует |
базис в пространстве R3 . |
Значит, вектор d может быть единственным образом |
представлен в виде: |
|
|
d x a y b z c |
с пока неизвестными коэффициентами x, y, z. Переходя от равенства векторов к равенству их соответствующих координатприходим к системе линейных уравнений:
17 |
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
||||
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
1 |
y |
1 |
|
z |
|
, |
|||
|
7 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
откуда:
2x 3y z 17x y 2z 15.
2x y 3z 7
Решая эту систему, например, методом Крамера (сделайте это самостоятельно), получим: x 3, y 2 , z 5. Следовательно,
d 3a 2b 5c .
1.6.3. Скалярное произведение векторов. Норма вектора
Скалярным произведением вектора a (a1, a2 , , an ) на вектор b (b1,b2 , ,bn )
называется число
a b a1 b1 a2 b2 an bn .
Свойства скалярного произведения
Для любых a , b , c Rn и для любого числа справедливо:
1.a b b a ;
2.a b a b ;
3.a b c a b a c ;
4.a a 0 , причем a a 0 a 0 .
Нормой вектора a Rn называется арифметический корень из скалярного произведения вектора a на себя:
aa a a12 a22 an2 .
С геометрической точки зрения, норма вектора – это его длина.
Свойства нормы
Для любых a , b и для любого числа справедливо:
1.a 0, причем a 0 a 0 ;
2. aa;
3.a bab - неравенство Коши-Буняковского;
4.a bab - неравенство треугольника;
Углом между векторами a и b называется число 0, , определяемое равенством:
34
cos aabb .
Откуда следует , что:
a b ab cos ,
т.е. скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. В этом состоит геометрический смысл скалярного произведения.
Векторы a и b называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними 2 . Значит,
a b a b 0.
Пример 20. При каком значении x векторы a 2,3, x и b x, 1,5 ортогональны?
Решение.
a b a b 0,
т.е.
2x 3 5x 0 7x 3 x 73.
Ответ: a b при x 73 .
1.6.4. Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c , удовлетворяющий трем условиям (рис. 1):
1)c a , c b ;
2)длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного
на векторах a и b ;
3) векторы a , b и c образуют правую тройку, т.е. если смотреть из конца вектора c , то кратчайший поворот от вектора a к вектору b должен происходить против часовой стрелки.
Свойства векторного произведения
Для любых векторов для любых a , b , c и для любого числа справедливо:
1.a b b a ;
2.a b a b ;
3.a b c a b a c ;
4.ab a b 0 ;
35
c
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
5. Таблица умножения ортов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i j k , |
j k i , |
k i j, |
|
|
|
j i k , |
k j i , |
i k j, |
|
|
|
i i 0, |
j j 0, |
k k 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Если a a1,a2 , a3 , b b1,b2 ,b3 , то
i j k
a b a1 a2 a3 . b1 b2 b3
Векторное произведение часто используют для нахождения площадей.
Пример 21. Найти площадь треугольника с вершинами A 5, 1,2 , B 3, 4, 2 , C 2,3,5 .
Решение. Найдем координаты векторов AB и AC (напомним, что для этого нужно из координат конца вектора вычестькоординаты начала):
AB ( 2; 3; 4) , AC ( 7;4;3)
B
A
Рис. 2
C
Учитывая, что норма векторного произведения векторов AB и AC численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 2), для нахождения площади треугольника достаточно будет площадь параллелограмма разделить на два.
36
AB AC S ABC 2 ,
|
i |
j |
k |
7i 34 j 29k 7,34, 29 . |
AB AC |
2 |
3 |
4 |
|
|
7 |
4 |
3 |
|
AB AC72 342 29 2 2046
Таким образом, S 20462 .
1.6.5. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов a , b и c (в указанном порядке) называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий:
ab c a b c.
Свойства смешанного произведения векторов
Для любых векторов a , b и c справедливо:
1)При перестановке местами двух множителей смешанное произведение меняет знак:
b ac ab c , |
acb ab c , |
cb a ab c |
2) При циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется:
ab c b ca cab .
3) Если a a1,a2 , a3 , b b1,b2 ,b3 , c c1,c2 ,c3 , то
a1 |
a2 |
a3 |
ab c b1 |
b2 |
b3 . |
c1 |
c2 |
c3 |
4) ab c 0 a , b и c компланарны, т.е. лежат в одной плоскости.
5) Абсолютная величина смешанного произведения векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
Vпарал. ab c .
Объем пирамиды, построенный на тех же векторах в 6 раз меньше:
37
Vпирам. 16 ab c .
Таким образом, скалярное произведение используют для нахождения длин и углов, векторное произведение – для вычисления площадей, а смешанное – для нахождения объемов.
Пример 22.(Образец выполнения задачи 4 из контрольной работы). Даны вершины пирамиды: A 4,1, 3 , B 2, 5,1 , C 3,4,3 и D 5,2, 4 .
Найти: |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
a) длину ребра BD ; |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
b) угол между ребрами AB и AC ; |
|
|
|
|
c) площадь грани BCD ; |
|
|
|
|
d) объем пирамиды. |
|
|
|
|
Решение. |
|
A |
|
B |
a) Найдем вектор |
BD , а затем его норму. Это |
|
||
|
|
|
||
и будет длина |
ребра BD . BD (3,7, 5) , |
|
|
|
BD 32 72 5 2 83 |
|
C |
||
|
|
|
|
Рис. 3 |
b) Угол между ребрами AB и AC будем находить как угол между векторами AB и AC (рис. 3), используя формулу:
|
|
|
cos |
AB AC . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
AB AC |
|
|
|
||
|
|
AB (6; 6;4), |
AC (7;3;6), |
|
|
|
||||
|
|
6 7 6 3 4 6 |
|
48 |
4 |
48 |
12 |
|||
|
cos |
36 36 16 |
49 9 36 |
88 94 |
517 |
517 . |
||||
Следовательно, arccos |
12 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
517 |
|
|
|
|
|
|
|
c) S BCD |
BC BD |
, BC (1,9,2) , |
BD (3,7, 5) |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
BC BD 1 |
9 |
|
2 59i 11j 20k 59,11, 20 |
||||||
|
|
3 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
BC BD 59 2 |
112 20 2 |
4002 , S BCD |
4002 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
d) Возьмем три вектора, на которых построена пирамида, например, AB (6, 6,4) , AC (7,3,6) и AD (9,1, 1), и найдем их смешанное произведение:
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
4 |
|
|
|
|
AB AC AD 7 |
3 |
6 |
500. |
||
|
|
|
|
|
9 |
1 |
1 |
|
Значит, V |
|
1 |
AB AC AD |
1 |
500 |
250 |
. |
|
пирам. |
|
6 |
|
6 |
|
3 |
|
|
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Проверить линейную зависимость (независимость) векторов
1.a 1;3 , b 2; 6
2.a 1;5 , b 0;2
3.a 1;4;3 , b 0;7;2
4.a 5;2; 1;4 , b 10; 4;2; 8
5.a 1; 1;2 , b 0;3;5 , c 1;2;10
6.a 2;3; 1 , b 4; 1;2 , c 7;1;8
7.a 1;2;0; 1 , b 4; 1;3;2 , c 5;1;3;1
8.a 1;3;1;0 , b 2;1;4; 2 , c 3; 1;0;5
Доказать, что векторы a,b образуют базис в R2 и разложить по этому вектор c
9.a 1; 2 ,b 3;1 , c 7; 7
10.a 2; 1 ,b 1;1 , c 4; 1
Доказать, что векторы a,b ,c образуют базис в R3 и разложить по этому базису вектор d
11.a 3;0;2 , b 1; 1; 2 , c 2;1;2 , d 3; 3; 4
12.a 1;1;2 , b 2;0;2 , c 3; 1;1 , d 6;4;4
Найти внутренние углы и длины всех сторон ABC
13.A 1;0;1 , B 4; 1;2 , C 7;4;3
14.A 1;2;0 , B 3;2;1 , C 4;3;5
Определить при каком x векторы a и b ортогональны
15.a 1;2; x , b 2 x;3;7
16.a xi 3 j 2k , b i 2 j xk
17.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
39
a 4;1;2 и b 5; 1;1 .
18.Дан ABC : A 3;1; 2 , B 1;3;2 , C 4;5;4 . Найти площадь ABC и длину высоты, опущенной из вершины C .
19.Даны векторы a 2;1; 3 и b 1; 2; 1 . Найти 2a b a 3b .
20.Даны вершины пирамиды: A 4; 1;2 , B 1;3;2 , C 2;2;5 , D 3;0;1 . Найти площади всех граней.
21.Упростить i 2 j 3k i 2i j 3k i .
22.Упростить 3i 4 j k 2i j 2i 3 j .
23. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a 2; 1;0 , b 3;2; 1 , c 2;4;2 .
24. Найти объем пирамиды с вершинами в точках A 2;1;3 , |
B 1; 2;1 , |
C 2;1;2 , D 4;2; 2 и длину высоты, опущенной из точки D . |
|
25.Установить, лежат ли в одной плоскости точки A 1;1;0 , B 4;2;3 , C 1;2;5 ,
D 1;0;2 .
26.Найти вектор x , коллинеарный вектору a 4;2;4 и удовлетворяющий условию x a 180.
27. Даны векторы a 3; 1;5 , b 1;2; 3 . Найти вектор x , перпендикулярный
коси OZ и удовлетворяющий условиям: x a 9, x b 4.
28.Даны точки A 5;1; 2 , B 4; 2;3 , C 0;3;2 . Найти единичный вектор, ортогональный векторам AB и AC .
29.Вычислить длины диагоналей параллелограмма ABCD , если AB 2a b ,
AD a 3b , a 3, b 2 , a,b 3 .
30. Векторы a и b ортогональны. Зная, что a 3, |
b 4 , найти |
a b a b и 3a b a 2b .
40
1.7. Комплексные числа
Комплексные числа применяются, в частности, для решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в области множества действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.
Комплексным числом называется выражение вида z x iy , где x и y - дей-
ствительные числа, i - мнимая единица.
Число x называется действительной частью числа z и обозначается Re z , а число y - мнимой частью числа z и обозначается Im z , т.е. x Re z , y Im z .
Действительное число x является частным случаем комплексного z x iy при y 0. Комплексные числа вида z x iy , не являющиеся действительными (т.е. при y 0), называются мнимыми, а при x 0, y 0, т.е. числа вида z iy - чисто мнимыми.
Числа z x iy и z x iy называются сопряженными. Два комплексных числа z1 z1 iy1 и z2 z2 iy2 называются равными, если равны их действитель-
ные и мнимые части, т.е. z1 z2 , если Re z1 Re z2 , |
Im z1 Im z2 . В частности |
z 0 , если Re z 0 и Im z 0 . |
|
Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом:
1. Сложение (вычитание) комплексных чисел:
z1 z2 x1 x2 i y1 y2 .
2. Умножение комплексных чисел:
z1 z2 x1x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 .
В частности, i2 0 i 1 0 i 1 0 1 i 0 0 1
3. Деление двух комплексных чисел:
|
|
|
|
|
z1 |
x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 |
, z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
x22 y22 |
|
|
|
Пример 23. |
|
|
Даны два комплексных числа z1 2 3i и |
z2 3 5i . Найти |
z1 z2 , |
||||
z z |
2 |
, z z |
2 |
, |
z1 . |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
z |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение.
z1 z2 2 3i 3 5i 2 3 3 5 5 2i , z1 z2 2 3i 3 5i 2 3 i 3 5 1 8i , z1 z2 2 3i 3 5i (2 3 3 5) i 2 5 3 3 21 i ,