Коршикова_Калиниченко_УМК
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Южный Федеральный Университет"
Факультет математики, механики и компьютерных наук
Рассмотрено и рекомендовано |
Утверждаю |
|||||||||||
на заседании кафедры |
|
|
Декан ф-та математики, механики |
|||||||||
математического анализа ЮФУ |
и компьютерных наук ЮФУ |
|||||||||||
Протокол |
|
îò |
|
|
2008 ã. |
|
|
|
|
|
М.И. Карякин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Зав. кафедрой |
|
|
А.В. Абанин |
" |
|
" |
|
|
2008 ã. |
|||
|
|
|
|
|
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
учебной дисциплины
"МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - 1"
федерального компонента ОПД для бакалаврской образовательной программы по направлению 010100 "Математика"
Составители:
доцент каф. математического анализа, к.ф.-м.н. Т.И. Коршикова доцент каф. математического анализа, к.ф.-м.н. Л.И. Калиниченко
Ростов-на-Дону 2008
Пояснительная записка
Аннотация. Курс математического анализа является классическим и читается традиционно на первом и втором курсах с первого по четвертый семестр. Эта учебная дисциплина относится к базовым и служит в последующем основой для всех других математических дисциплин (дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, теория вероятностей и т. д.). Предметом математического анализа являются функциональные зависимости, а его основными разделами теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и многих переменных.
Задачи курса. Основная задача курса это знакомство студентов с основополагающими понятиями и фактами по перечисленным разделам.
Учебные цели.
1)Познакомить студентов с новым теоретическим материалом.
2)Научить анализировать этот материал, устанавливать связи между понятиями и фактами.
3)Научить пользоваться языком кванторов.
4)Развить логическое мышление и математическую культуру студентов.
5)Продемонстрировать основные методы математического анализа.
6)Отработать навыки решения практических задач.
7)Подготовить студентов к изучению других математических дисциплин.
Учебные дисциплины, необходимые для изучения математического анализа.
Для успешного усвоения курса математического анализа достаточно владеть
школьным курсом алгебры и начал анализа.
2
Учебно-тематический план курса
Число часов
Всего: 228+194+194+194=810 Аудиторно: лекции: 51+51+51+51=204
практические занятия: 68+51+51+51=221
Самостоятельная работа: 109+92+92+92=385 Содержание курса "Математический анализ - 1"
ìî- |
тема модуля |
êîë-âî |
êîë-âî ÷à- |
êîë-âî |
äóëÿ |
|
ëåêö. |
сов практ. |
часов |
|
|
часов |
занятий |
самост. |
|
|
|
|
работы |
|
|
|
|
|
|
1 семестр |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Введение в анализ |
6 |
8 |
12 |
|
|
|
|
|
2 |
Предел последовательности |
8 |
12 |
17 |
|
|
|
|
|
3 |
Предел функции в точке |
6 |
16 |
20 |
|
|
|
|
|
4 |
Непрерывные функции |
6 |
4 |
12 |
|
|
|
|
|
5 |
Дифференцируемые функции |
10 |
18 |
28 |
|
|
|
|
|
6 |
Основные свойства непрерывных |
10 |
10 |
20 |
|
и дифференцируемых функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Неопределенный интеграл |
5 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Итого в 1-ом семестре |
51 |
68 |
109 |
|
2 семестр |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Неопределенный интеграл |
0 |
16 |
14 |
|
|
|
|
|
8 |
Евклидово пространство RN |
7 |
0 |
7 |
9 |
Функции многих переменных |
5 |
2 |
5 |
|
(предел, непрерывность) |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
Дифференцируемость функций |
10 |
14 |
20 |
|
многих переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
Исследование функций |
8 |
6 |
18 |
|
|
|
|
|
12 |
Неявные функции, условный экстремум |
9 |
9 |
12 |
|
|
|
|
|
13 |
Определенный интеграл |
12 |
2 |
10 |
|
|
|
|
|
|
Итого во 2-ом семестре |
51 |
51 |
92 |
|
|
|
|
|
|
Итого на 1-ом курсе |
102 |
119 |
201 |
|
|
|
|
|
3
Содержание модулей 1-го семестра
Модуль 1. Введение в анализ.
Предмет математического анализа. Множества, операции над множествами. Логическая символика. Понятие функции (отображения), классификация функций по действию; обратная функция; операции над функциями.
Модуль 2. Предел числовой последовательности.
ε-окрестность точки a R. Предел последовательности в терминах окрестностей, внешностей окрестностей, на языке " ε − N". Сходящиеся и расходящи-
еся последовательности, их свойства. Бесконечно малые последовательности, их свойства; представление членов сходящейся последовательности в терминах бесконечно малых. Бесконечно большие последовательности и их свойства.
Аксиоматика множества R действительных чисел. Границы, точные границы
числового множества, существование точных границ, принцип вложеннûх отрезков. Подпоследовательности последовательности, имеющей предел в R. Лем-
ма Больцано-Вейерштрасса, ее обобщение. Фундаментальные последовательности, критерий Коши.
Модуль 3. Предел функции в точке.
Предельная точка числового множества, критерий предельной точки, существование предельных точек множества. Предел функции в точке в терминах окрестностей, на языке "ε − δ". Первый замечательный предел. Теорема Гейне.
Свойства функции, имеющей предел. Предел монотонной функции. Число e. Односторонние пределы. Сравнение поведения функций: O-символика, эквивалентные функции.
Модуль 4. Непрерывные функции.
Непрерывность функции в точке и на множестве, локальные свойства непрерывной в точке функции. Операции с непрерывными функциями. Теорема о непрерывности функции, обратной к монотонной. Точки разрыва функции, их классификация.
Модуль 5. Дифференцируемые функции.
Дифференцируемая в точке функция, дифференциал, производная. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Геометрический смысл производной и дифференциала функции в точке. Правила дифференцирования. Свойство инвариантности формы дифференциала. Параметрически заданная функция, ее дифференцируемость. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница.
4
Модуль 6. Основные свойства непрерывных и дифференцируемых функций.
Теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши о промежуточном значении, Дарбу об образе отрезка при непрерывном отображении. Равномерная непрерывность, теорема Кантора.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Дарбу. Критерии постоянства и монотонности функции на промежутке. Правила Лопиталя, формула Тейлора.
Модуль 7. Неопределенный интеграл.
Первообразная функции, неопределенный интеграл, его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям. Классы функций (рациональных, иррациональных, трансцендентных), интегрируемых в элементарных.
Содержание модулей 2-го семестра
Модуль 8. Евклидово пространство Rn.
Основные метрические и топологические характеристики множеств простран- ñòâà Rn. Свойства сходящихся в Rn последовательностей, критерий Коши. От-
крытые и замкнутые в Rn множества, их свойства, критерии. Компакт в Rn, теорема Гейне-Бореля.
Модуль 9. Функции многих переменных (предел, непрерывность).
Понятие функции многих переменных, предел и непрерывность функции многих переменных. Свойства непрерывных на компакте функций. Линейно связные множества, теорема Больцано-Коши.
Модуль 10. Дифференцируемость функций многих переменных.
Частная производная, дифференцируемость, дифференциал функции многих переменных в точке. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных в точке. Непрерывная дифференцируе-
мость функции многих переменных. Геометрический смысл свойства дифференцируемости. Отображение ϕ : X Rn → Rm, его дифференцируемость,
матрица Якоби. Свойство инвариантности формы дифференциала функции многих переменных. Производная по направлению, градиент. Частные производные высших порядков, теорема Шварца о смешанных частных производных. Дифференциалы высших порядков, формула их вычисления. Формула Тейлора функции многих переменных.
Модуль 11. Исследование функций.
5
Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия локального экстремума функции одной и многих переменных. Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной в критической точке. Достаточные условия локального экстремума функции многих переменных в стационарной точке. Задача о наибольшем и наименьшем значении функции многих переменных на компакте. Направление выпуклости графика функции одной переменной на интервале, необходимые и достаточные условия; точка перегиба графика функции одной переменной; асимптоты графика. Алгоритм построения графика функции одной переменной.
Модуль 12. Неявные функции. Условный экстремум.
Неявная функция, определяемая уравнением; теоремы существования непрерывной и непрерывно дифференцируемой неявной функции; теорема о существовании непрерывно дифференцируемой обратной функции. Неявное отображение, определяемой системой уравнений; теорема существования непрерывно дифференцируемого неявного отображения. Условный экстремум функции многих переменных; связь между условным и безусловным экстремумами. Метод Лагранжа отыскания стационарной точки задачи условного экстремума; достаточные условия локального условного экстремума.
Модуль 13. Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, определенный интеграл Римана. Необходимое условие интегрируемости функции. Суммы Дарбу, их свойства, критерий Дарбу. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Методы вычисления определенного интеграла: формула Ньютона-Лейбница, замена переменной, интегрирование по частям.
Список рекомендуемой литературы Основная литература
1.В.А. Зорич. Математический анализ, Ч.1. М.: Наука, 1981. 544 с.
2.Л.Д. Кудрявцев. Математический анализ, Т.1. М.: Высшая школа, 1973. 614 с.
3.В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ, Т.1. М.: Наука, 1979. 719 с.
4.À.Ì. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа. М.: Изд-во МФТИ, 2000. 716 с.
6
5.Т.И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко, Л.И. Калиниченко, В.А. Савельев. Курс лекций по математическому анализу, I курс, 1 семестр. Ростов-на-Дону, ФГОУ ВПО ЮФУ, 2007. 183 c.
6.Т.И. Коршикова, Л.И. Калиниченко, Ю.А. Кирютенко. Курс лекций по математическому анализу, I курс, 2 семестр. Ростов-на-Дону, ФГОУ ВПО ЮФУ, 2007. 144 c.
7.Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990. 623 с.
Дополнительная литература
8.Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чебураков. Леции по математиче- скому анализу, Ч.1. М.: Высшая школа, 2000. 695 с.
9.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. М.: Наука, 1971. 599 с.
10.С.М. Никольский. Курс математического анализа, Т.1. М.: Наука, 1975.
431 ñ.
11.Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов и др. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М.: Наука, 1984. 592 с.
12.Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов и др. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М.: Наука, 1986. 527 с.
13.Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов и др. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. Ñ.-Ï., 1994. 496 ñ.
14.И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу, книга 1. М.: Высшая школа, 2000. 725 с.
Методическая литература
1.Т.И. Коршикова. Л.И. Калиниченко, Ю.А. Кирютенко. Введение в анализ. Предел последовательности. Методические указания к практическим занятиям по мат. анализу, I курс, 1 семестр. Ростов-на-Дону: УПЛ ЮФУ, 2007. 36 с.
2.Т.И. Коршикова. Л.И. Калиниченко, Ю.А. Кирютенко, Л.И. Спинко. Предел и непрерывность функции. Методические указания к практическим занятиям по мат. анализу, I курс, 1 семестр. Ростов-на-Дону: УПЛ ЮФУ, 2007. 36 с.
3.Т.И. Коршикова. Л.И. Калиниченко, Ю.А. Кирютенко. Дифференцируемость функции. Методические указания к практическим занятиям по мат. анализу, I курс, 1 семестр. Ростов-на-Дону: УПЛ ЮФУ, 2007. 28 с.
4.Т.И. Коршикова, В.В. Моржаков. Непрерывные функциии и их свойства. Дифференцируемость функции одного переменного. Контрольные вопросы и
7
задачи для самостоятельной работы студентов. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1989.
25ñ.
5.Т.И. Коршикова, В.В. Моржаков, Л.И. Спинко. Предел последовательности. Индивидуальные задания к лабораторным занятиям. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1988.
6.Т.И. Коршикова, Л.И. Спинко, Л.И. Калиниченко. Предел и непрерывность функции в точке. Индивидуальные задания к лабораторным занятиям. Ростов-на-Дону, УПЛ РГУ, 1991. 31 с.
7.Т.И. Коршикова, Л.И. Спинко, А.В. Дедушев. Неопределенный интеграл. Индивидуальные задания для студентов 1-го курса. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1989. 26 с.
8.Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, Л.И. Калиниченко. Функции многих вещественных переменных: предел, непрерывность, дифференцируемость, Ч.I. Методическая разработка к курсу лекций по математическому анализу. Ростов- íà-Äîíó: ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 44 ñ.
9.Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, Л.И. Калиниченко. Функции многих вещественных переменных: предел, непрерывность, дифференцируемость, Ч.II. Методическая разработка к курсу лекций по математическому анализу. Ростов- íà-Äîíó: ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 47 ñ.
10.Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, Л.И. Калиниченко. Функции многих вещественных переменных: предел, непрерывность, дифференцируемость, Ч.III. Методическая разработка к курсу лекций по математическому анализу. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1993. 55 с.
Технология обучения студентов при модульном построении курса математического анализа (1-ый курс: 1-ый и 2-ой семестры)
Лекционный материал 1-го семестра разбит на 7 модулей, практических занятий на 6 модулей, а материал 2-го семестра разбит соответственно на 6 и 7 модулей. Так как лекции по теме "Неопределенный интеграл"читаются в 1-ом семестре, а на практических занятиях данная тема изучается во 2-ом семестре, то отчетность по этому материалу проводится во 2-ом семестре.
Для каждого модуля определены формы промежуточного контроля (самостоятельная работа, индивидуальное задание, контрольная работа, коллоквиум, тест), приведенные в следующей таблице.
8
ìî- |
Название модуля |
Форма контроля по практике |
äóëÿ |
|
|
|
|
|
|
1 семестр |
|
|
|
|
1 |
Введение в анализ |
самостоятельная работа |
|
|
|
2 |
Предел последовательности |
индивидуальное задание |
|
|
|
3 |
Предел функции в точке |
контрольная работа |
|
|
|
4 |
Непрерывные функции |
индивидуальное задание |
|
|
|
5 |
Дифференцируемые функции |
контрольная работа |
|
|
|
6 |
Основные свойства непрерывных |
контрольная работа |
|
и дифференцируемых функций |
|
|
|
|
|
2 семестр |
|
|
|
|
7 |
Неопределенный интеграл |
тест, контрольная работа |
|
|
|
8 |
Евклидово пространство RN |
|
9 |
Функции многих переменных |
самостоятельная работа |
|
(предел, непрерывность) |
|
|
|
|
10 |
Дифференцируемость функций |
контрольная работа |
|
многих переменных |
|
|
|
|
11 |
Исследование функций |
индивидуальная работа |
|
|
|
12 |
Неявные функции, условный экстремум |
контрольная работа |
|
|
|
13 |
Определенный интеграл |
самостоятельная работа |
|
|
|
Рекомендуется
Самостоятельную работу проводить на практических занятиях в течение 1520 минут, включая формулировки отрабатываемых понятий и теорем.
Индивидуальное задание выдавать студенту вместо домашнего задания. Контрольную работу проводить в течение 80 мин.
Вместо индивидуального задания студенту можно предложить выполнить соответствующее тестовое задание.
Коллоквиум в 1-ом семестре целесообразно провести по модулям 1-3, а во 2-ом семестре по модулям 8-9.
9
Контрольные вопросы
Êмодулю 1.
1.1.Дайте определение ограниченного снизу (сверху) числового множества, запишите его с помощью кванторов, постройте отрицание этого утверждения.
1.2.Дайте определения ограниченного (неограниченного) числового множе-
ñòâà.
1.3.Дайте определение верхней (нижней) границы числового множества.
1.4.Дайте определение точной верхней (нижней) границы множества и сформулируйте их характеристические свойства.
1.5.Дайте определение максимального (минимального) элемента множества
X. Какова связь между max X и sup X?
1.6. Что означает символическая запись: sup X = +∞, inf X = −∞?
1.7. Приведите примеры числовых множеств X, для которых а) sup X X; б) sup X / X.
Êмодулю 2.
2.1.Дайте определение ε-окрестности точки a R. Пусть Ua(ε) = {x R : −1 < x < 3}. Укажите a и ε.
2.2.Является ли множество {x R : x < 2} ε-окрестностью −∞?
2.3.Сформулируйте определения а) последовательности; б) ограниченной и неограниченной последовательности.
2.4.Сформулируйте определение предела последовательности в R в терми-
нах окрестностей, внешностей окрестностей, " ε − N". Дайте геометрическую
интерпретацию определения.
2.5. Пусть последовательность {xn} такова, что
N N : ε > 0 n > N |xn − a| < ε .
Что можно сказать о последовательности?
2.6. Что означают в терминах " ε − N"факты:
а) Число 3 не является пределом последовательности {xn}; б) Последовательность {xn} не имеет предела в R?
2.7. Пусть lim xn = a(> 0). Может ли последовательность {xn} иметь бесконечное множество отрицательных членов?
2.8.Дайте определение сходящейся (расходящейся) последовательности.
2.9.Сформулируйте необходимое условие сходимости последовательности.
2.10.Верны ли следующие утверждения:
à) {xn} сходится {xn} ограничена;
10