УМК матан

22.2.Пусть функция f определена и ограничена на параллелепипеде

ÏRn, определяемом точками a = (a1, . . . an) è b = (b1, . . . bn). Докажите, что:

á) для любого разбиения τп параллелепипеда Π и любой выборке ξ справедливо неравенство: sf (τï) 6 Sf (τï, ξ) 6 Sf (τï);

â) при добавлении точек разбиения хотя бы в одном τj разбиении отрезка [ai, bi], i = 1, n, верхняя сумма Дарбу Sf (τп) не увеличится,

àнижняя sf (τп) не уменьшится.

22.3.Укажите функцию, непрерывную на измеримом множестве, но не интегрируемую на этом множестве (для сравнения см. достаточные условия интегрируемости).

22.4.Докажите, что функция равномерно непрерывная на измеримом множестве, интегрируема по этому множеству.

22.5.Пусть X множество, измеримое по Жордану в Rn, функция f

22.7. Пусть функции f и g интегрируемы на измеримом по Жордану мно-

22.8. Пусть функции f и g интегрируемы на измеримом по Жордану множестве X Rn и функция g не меняет знака на intX. Докажите, что:

á) если к тому же X связное множество, а функция f непрерывна

71

22.9. Пусть X1, X2 измеримые по Жордану множества в Rn, m(X2) = 0, X1 связное множество и X = X1 X2. Пусть функция f определена

и интегрируема на X, непрерывна на X1. Докажите, что существует

Z

точка ξ X такая, что f(x)dx = f(ξ)m(X1).

X

22.10. Пусть функция f интегрируема и неотрицательна на измеримом

22.11. Пусть функция f интегрируема на измеримом по Жордану множе- ñòâå X Rn, {Xk}∞k=1 последовательность таких измеримых мно-

22.12. Пусть измеримое по Жордану в R3 множество G симметрично относительно координатной плоскости OXY , а функция f интегрируема

и нечетна по z на G, то есть f(x, y, −z) = −f(x, y, z), (x, y, z) G.

ZZZ

Докажите, что f(x, y, z)dxdydz = 0.

G

22.13. Пусть измеримое по Жордану в R3 множество G симметрично относительно оси OX, интегрируемая на G функция f нечетна по перемен-

ным (y, z), то есть f(x, −y, −z) = −f(x, y, z), (x, y, z) G. Докажите,

ZZZ

÷òî f(x, y, z)dxdydz = 0.

G

22.14. Пусть функция f R[a; b], функция g R[c; d], X = [a; b] Ч [c; d], F (x, y) = f(x)g(y), (x, y) X. Докажите, что функция F интегрируе-

22.15. Пусть функция f непрерывна в круге x2 + y2 6 R2 è

Z2π

Φ(r) = f(r cos ϕ, r sin ϕ)dϕ, r [0, R]. Докажите, что функция Φ(r)

0

непрерывна на [0; R].

72

Модуль 23. Кривые в Rn и криволинейные интегралы

23.1. Является ли кривая L : x = cos t, y = sin t, t [0; 3π], простой? Является ли кривая L : 2t − t2, 3t − t3, t [−1; 1] гладкой, кусочно гладкой?

23.2. Укажите параметрическое представлкние линии L, заданной уравнением:

1)x3 + 2x2 + y2 + 3, y ≥ 0;

2)ln x − y + sin y = 0;

3)x3 − axy + ay2 = 0 (a > 0);

23.3. Укажите параметрическое представление линии L, заданной соотношениями:

1)x2 + y2 + z2 = 2ax, x2 + y2 = z2, z ≥ 0 (a > 0);

2)x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2, x ≥ 0 (a > 0);

Вычислите предел этих интегральных сумм.

Z

á) Вычислите интеграл (x + y)dl, где L отрезок прямой y = x при

L

0 6 x 6 1, и сравните результат с пределом интегральных сумм пункта а).

Вычислите предел интегральных сумм при n → ∞.

73

á) Вычислите криволинейный интеграл пункта а) и сравните результат

L

контуру L, то u(x, y) гармоническая функция в области G.

23.7. Какому условию должна удовлетворять функция f(x, y), чтобы кри-

Z

волинейный интеграл 2-ãî ðîäà f(x, y)(ydx + xdy) не зависел бы от

+

кусочно гладкой линии интегрирования +?

23.8. Пусть G( R2) ограниченная область с кусочно гладкой границей ∂G, ориентированной так, что область G находится (локально) слева от касательного к ∂G вектора. Докажите, что площадь G можно вы-

23.9. Пусть G( R2) ограниченная область в полуплоскости y > 0 с кусочно гладкой границей ∂G, ориентированной так, что область G расположена (локально) слева от касательного к ∂G вектора. Пусть T тело, образованное вращением области G вокруг оси OX. До-

23.10. Докажите теорему о среднем для гармонической функции u(x, y) в

1 Z

области G: u(M) = u(x, y)dl, где C окружность радиуса R с

центром в точке M, лежащая внутри G.

Модуль 24. Поверхности и поверхностные интегралы

24.1. Укажите параметрические уравнения сферы, конуса, круглого цилиндра.

74

24.2. Является ли поверхность

S = {r(ρ, ϕ) = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, ρ) : (ρ, ϕ) Ω}, Ω = {(ρ, ϕ) R2 :

с кусочно гладким краем в R3 краем.

24.3. Докажите, что сфера x2 + y2 + z2 = R2 (R > 0) с меридианным раз-

резом {r(0; ψ) : ψ (−π2 ; π2 )} {r(2π; ψ) : ψ (−π2 ; π2 )},

где r(ϕ, ψ) = (R cos ϕ cos ψ, R sin ϕ cos ψ, R sin ψ), является элементарной гладкой поверхностью в R3.

24.4.Докажите, что Z цилиндрическая поверхность в R3 является эле- ментарной гладкой поверхностью с кусочно гладким краем.

24.5.Сформулируйте достаточные условия, при которых является гладкой поверхность, заданная:

à) ÿâíî; á) параметрически.

24.6.Докажите, что сфера x2 + y2 + z2 = R2 (R > 0) является гладкой поверхностью в R3.

24.7.Докажите, что элементарная гладкая поверхность в R3, заданая па- раметрически, является ориентируемой поверхностью.

24.8.Составьте уравнение касательной плоскости и вычислите направляющие косинусы нормали к поверхности r(u, v) = (u, v, u2 + v2) в точке

M(1, 1, 2).

24.9. Вычислите площадь:

à) части гиперболического параболоида az = xy, заключенной внутри цилиндра x2 + y2 = a2 (a > 0);

á) части эллиптического параболоида 2az = x2+y2, заключенной внут-

ри цилиндра (x2 + y2)2 = 2a2xy (a > 0);

√

â) части конической поверхности z = x2 + y2, заключенной внутри цилиндра x2 + y2 = 2x;

ã) части сферы x = R cos ϕ cos ψ, y = R sin ϕ cos ψ, z = R sin ψ, ограни-

ченной двумя параллелями и двумя меридианами, то есть

ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 è ψ1 ≤ ψ ≤ ψ2.

75

направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

24.13.Векторное поле a в области G удовлетворяет условию rota = 0. Является ли поле a потенциальным в области G?

24.14.Циркуляция векторного поля a вдоль любого замкнутого контура, лежащего в области G равна нулю. Является ли поле a потенциальным в области G?

24.15.Докажите, что поток постоянного векторного поля a через любую замкнутую кусочно гладкую поверхность равен нулю.

24.16.Найдите поток радиус-вектора r = xi+ yj + zk через произвольную замкнутую кусочно гладкую поверхность S, ограничивающую область G объема V .

24.17.Докажите, что векторное поле a = y2i + 2xyj + zk потенциально и найдите его потенциал.

76

Методические рекомендации по самостоятельной работе студентов

При изучении курса математического анализа самостоятельная работа студента состоит:

à) в освоении теоретического материала, изложенного на лекциях;

á) в осмыслении вводимых понятий, фактов и связей между ними;

â) в овладении основными методами доказательства теорем и в уменении применять их самостоятельно;

ã) в овладении навыками исследования и решения основных типов практических задач курса.

Рекомендации по использованию литературы

В третьем семестре по изложению наиболее близким к курсу лекций, читаемому студентам, обучающимся по направлению 010100 ½Математика“, является в учебник [8]. Он содержит теоретический материал по

соответствующим модулям и достаточно большое количество задач разного уровня сложности для самостоятельной работы. Кроме того, студентам полезно обратиться к учебникам [1], [2], [5]-[9], а также к методической литературе третьего семестра [1]-[5].

В четвертом семестре студентам следует обратиться к учебникам [1]-[8] и к методической литературе четвертого семестра [9]-[15].

Ниже для каждого модуля приведен (с указанием страниц) список рекомендуемой литературы.

Модуль 14. Верхний и нижний пределы числовой последовательности.

[9] c. 40-46; методические указания [1].

Модуль 15. Числовые ряды.

[8] c. 3-34; [2] c. 8-72; [5] c. 7-66; [6] c. 418-443.

Модуль 16. Функциональные последовательности и ряды.

[8] c. 35-57 è c. 69-73; [2] c. 73-104; [5] c. 67-104; [6] c. 444-462; [7]c. 355-387.

77

Модуль 17. Степенные ряды.

[8] c. 57-69 è ñ. 73-74; [2] c. 105-162; [5] c. 102-116; [6] c. 462-484.

Модуль 18. Несобственные интегралы.

[8] c. 75-102; [1] c. 659-693; [6] c. 392-415.

Модуль 19. Интегралы, зависящие от параметра.

[8] c. 103-142; [2] c. 519-549; [5] c. 252-280; [6] c. 661-684; [7] c. 400-478.

Модуль 20. Ряды Фурье.

[8] c. 143-189; [3] c. 6-68; [5] c. 287-331; [6] c. 615-660; [7] c. 488-550.

Модуль 21. Мера Жордана в Rn и геометрические приложения

[1] c. 630-655; [4] c. 391-422; [6] c. 485-492.

Модуль 22. Кратные интегралы.

[2] c. 286-365, c. 413-416; [5] c. 117-166; [6] c. 492-530; [7] c. 113-153.

Модуль 23. Кривые в Rn и криволинейные интегралы.

[1] c. 346-368; [2] c. 366-403; [5] c. 167-174; [6] c. 531-551;

Модуль 24. Поверхности и поверхностные интегралы.

[2] c. 417-518; [5] c. 175-189; [6] c. 551-614; [7] c. 165-187.

Для проведения практических занятий, а также для формирования домашних и индивидуальных заданий рекомендуется использовать сборники задач [10], [12]-[15], а также методические указания: в третьем семестре [6]-[8]; в четвертом семестре [12]-[18].

Рекомендации по работе с контрольными вопросами и заданиями для самостоятельной работы.

В разделе ½Контрольные вопросы“ содержатся вопросы по теоретиче-

скому материалу курса математического анализа и задачи, решение которых не требует сложных вычислений. Система контрольных вопросов составлена так, чтобы проиллюстрировать тот или иной теоретический факт, условие или характер теоремы, связь между понятиями.

78

Основное назначение этого раздела помочь студенту в самостоятельной работе, дать ему возможность самостоятельно проконтролировать степень усвоения теоретического материала.

В разделе ½Задания для самостоятельной работы “ дана подборка за-

даний, в которой основное внимание уделяется не столько техническим приемам решения задач, сколько контролю степени усвоения материала. Задачи повышенной сложности могут быть взяты из сборников задач по математическому анализу [12]-[15].

79

Экзаменационная программа по математическому анализу для студентов 2 курса специальности ½Механика“ факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, 3 семестр

Верхний и нижний пределы числовой последовательности

Понятие частичного предела числовой последовательности. Лемма о непустоте множества частичныõ пределов числовой последовательности. Критерий того, что точка a R является частичным пределом числовой

последовательности. Критерий того, что множество частичных пределов состоит из одного элемента. Понятие разбиения числовой последовательности на m подпоследовательностей. Лемма о множестве частичных пределов

числовой последовательности, допускающей разбиение на m подпоследова-

тельностей, каждая из которых имеет предел.

Понятие верхнего и нижнего пределов числовой последовательности. Критерии того, что верхний (нижний) предел числовой последовательности равен +∞, −∞, a R. Критерий существования предела последова-

тельности в терминах е¼ верхнего и нижнего пределов. Свойства верхнего и нижнего пределов числовой последовательности.

Числовые ряды

Понятие числового ряда, его частичной суммы. Понятие сходимости и расходимости числового ряда. Критерий Коши и необходимое условие сходимости числового ряда. Простейшие свойства числовых рядов. Теорема о связи сходящегося числового ряда и его остатков.

Понятие положительного (отрицательного) числового ряда. Критерий сходимости положительного ряда. Признаки сравнения сходимости положительного числового ряда (в непредельной и предельной формах), следствие. Третий признак сравнения сходимости строго положительного числового ряда. Интегральный признак Маклорена-Коши сходимости положительного ряда. Признаки Даламбера и Коши сходимости положительного ряда (в и непредельной и предельной формах).

Понятие знакопеременного числового ряда. Преобразование Абеля. Лемма Абеля. Признак Дирихле сходимости числового ряда. Признак Абеля сходимости числового ряда. Понятие знакочередующегося числового ряда. Признак Лейбница сходимости числового ряда. Следствие об оценке модуля n-го остатка ряда лейбницевского типа. Лемма о связи сходимости

80