Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4624 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Южный Федеральный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Electrodynamics_slides

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
4.62 Mб
Скачать
☆

2. Потенциалы электромагнитного поля Принцип наименьшего действия

t2

S q t , q t , t dt

t1

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

q

 

 

 

 

S q

t , q t , t dt

 

q dt

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

q

 

q

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

t2

 

 

 

d

 

 

 

 

 

q

 

 

q dt

 

q

 

q

 

q

 

q

dt

q

t

 

 

 

 

q dt

 

 

 

t

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

t2

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

qdt

 

 

 

 

 

q

 

 

dt

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t1

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

q dt

 

q

dt

 

 

Уравнения Лагранжа:

S 0

 

 

 

d

 

 

 

0

 

 

q

 

q

 

 

 

dt

 

 

2. Потенциалы электромагнитного поля Принцип наименьшего действия

Действие для электромагнитного поля:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

S dt dV

 

 

F F

 

 

A j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 c

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

def

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F F

 

 

 

 

 

A j

 

d 4 x,

 

d 4 x dV dt

 

 

 

 

16 c

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

EM

 

1

 

 

 

F

F d 4 x

 

- действие для свободного электромагнитного

 

 

 

 

 

 

16 c

 

 

 

 

 

 

 

поля (в отсутствие зарядов);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

source

 

 

1

 

 

A

j d 4 x

 

 

- действие учитывающий взаимодействие с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

источником;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j c ,

j

 

- четырехмерный вектор тока.

j c ,

j

2. Потенциалы электромагнитного поля Принцип наименьшего действия

S

 

1 F F

1 A j d 4 x,

 

d 4 x dV dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

def

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

A A

 

 

 

 

 

 

 

 

F F

F F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

1

F

 

 

A

 

 

A

 

 

 

 

1

j A

d 4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

F

A

 

 

1

 

F A

 

 

1

j A

d 4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

F A

 

 

 

1

 

j

A

d 4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

A d 4 x

 

 

F

 

 

A

 

 

 

 

j

A d

4 x

4 c

 

 

 

 

 

 

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

F

 

1

 

j

A d 4 x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F 4c j

2. Потенциалы электромагнитного поля Принцип наименьшего действия

 

 

1

 

 

 

F A

 

d 4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4 c

 

 

 

A

 

d

x

dS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

F

 

A d

4

x

 

F

 

A dS

A t

 

0

A t

2

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

t1 S1

t2 S2

1:

2 :

3:

2. Потенциалы электромагнитного поля Уравнения поля в четырехмерной форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Ex

 

 

Ey

 

 

Ez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

F

Ex

0

 

 

 

Hz

 

H y

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

H

 

 

0

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H y

 

 

Hx

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 F10

 

F11

 

F12

 

F13

 

4

j

1

 

1 E

x

 

H

z

 

H y

 

4

jx

 

 

c t

x

y

z

c

 

 

c t

 

y

 

z

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 F 20

 

F 21

 

F 22

 

F 23

 

4

j

2

 

1 Ey

 

 

Hz

 

Hx

 

4

jy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c t

x

y

z

c

 

 

 

c t

 

x

z

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 F 30

 

F 31

 

F 32

 

F 33

 

4

j

3

 

1 E

z

 

H y

 

H

x

 

4

 

jz

 

 

c t

x

y

z

c

 

 

 

c t

 

x

 

 

 

y

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1c Et rot H 4c j

2. Потенциалы электромагнитного поля Уравнения поля в четырехмерной форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

Ex

Ey

Ez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Hz

H y

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

j

 

 

 

 

F

 

 

Ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

H

 

0

H

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

z

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H y

Hx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ez

 

0 :

1 F 00

 

F 01

 

 

F 02

 

F 03

 

4

0

 

 

 

 

 

 

 

c t

 

 

x

 

y

 

z

 

 

c

j

 

 

 

 

 

 

 

Ez Ey Ez 4x y z

divE r 4 r

2. Потенциалы электромагнитного поля

Первая пара уравнений Максвелла как следствие связи между потенциалами и напряженностями поля

E grad 1 A

c t

 

rot E rot

grad

1

 

 

rot A

c

 

 

 

 

 

t

rot E 1 H c t

H rot A

 

div H div rot A

 

 

 

 

div H 0

 

 

2. Потенциалы электромагнитного поля Уравнения поля в четырехмерной форме

 

 

A

 

 

 

F

 

F

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

F

 

F F

 

F

F F A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

F

F

0

 

 

эквивалентны первой паре уравнений Максвелла

rot E 1 H c t

div H 0

Единичный абсолютно антисимметричный псевдотензор

e :

e

 

e0123 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0123

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

F

 

F

0

 

e

 

 

F 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Потенциалы электромагнитного поля

Теорема единственности для системы уравнений Максвелла

rot E r, t 1

H r, t

;

 

t

 

 

 

c

 

 

 

 

div H r, t 0;

 

 

 

 

 

rot H r, t 1

E r, t

 

4 j r, t

;

 

c

t

 

 

c

 

div E r, t 4 r, t .

 

 

 

 

Пусть заданы источники поля – функции r, t и

j r, t в произвольный

момент времени. Пусть также заданы начальные условия – значения

E r, 0 и H r, 0в начальный момент времени внутри некоторого объема V,

а на поверхности S этого объема заданы граничные условия –

компоненты одного из векторов E r, t S

или H r, t S

в произвольный

момент времени. При этих условиях решение уравнений Максвелла внутри объема V единственно.

2. Потенциалы электромагнитного поля Доказательство теоремы единственности

E1, H1 , E2 , H2 - два различные решения системы уравнений Максвелла

E E1 E2 ,

H H1 H2 - также является решением уравнений Максвелла

с источниками

r, t 0,

j r, t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с начальными условиями внутри объема V

E r, 0 0,

H r, 0 0

и граничными условиями на поверхности S

E r, t

 

S 0,

H r, t

 

S 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение баланса энергии:

 

 

w

 

div P jE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

wdV PdS jE dV

1

 

 

d

E2 H 2 dV

 

c

 

E, H dS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt V

S

V

 

 

 

8 dt V

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

E2

H 2 dV const

 

 

 

E r, t 0,

 

H r, t 0

V

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности