Electrodynamics_slides
.pdf5. Поле системы зарядов на больших расстояниях Разложение напряженности электрического поля
Ei Ei 1 Ei 2 Ei 3
Кулоновское поле одиночного заряда:
1 |
|
|
|
x |
E |
1 |
Q |
r |
|
|
||
Ei |
Q |
i |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
r3 |
|
|
||||||||
r3 |
|
|
|
|||||||||
Поле диполя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ei 2 |
|
d j |
3xi xj |
r2 ij |
|
E 2 |
1 |
3 d,r r r2d |
||||
5 |
|
|||||||||||
|
5 |
|||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
Поле квадруполя:
3 |
|
1 Djk |
5xi xj xk |
2 |
2 |
|
|
Ei |
|
|
r ij xk |
r ik xj |
|||
2 |
r7 |
5. Поле системы зарядов на больших расстояниях Стационарное магнитное поле
A r |
1 |
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r ea va r ra |
|
|
A r |
11 |
|
|
|
ee vv |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a a |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||
c |
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
r ra |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A r |
|
1 |
|
|
|
ea va |
|
|
|
1 |
|
|
ea va xi xia |
1 |
|
ea va |
|
1 |
ea va ra ,r |
||||||||||||||||||||||||||||
cr |
|
|
|
3 |
|
cr |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
cr |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
cr |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
d |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eara |
|
|
|
|
ea va ra ,r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cr |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cr dt |
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
d |
eara ra |
|
|
|
1 |
|
|
eara va |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,r |
|
|
|
|
|
|
|
,r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cr |
3 |
|
|
|
|
|
2cr |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
df |
|
1 |
|
T df |
|
dt |
|
f T f 0 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
df |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
dt |
T |
|
0 dt |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Поле системы зарядов на больших расстояниях Стационарное магнитное поле
A r |
1 |
a |
ea va ra ,r ra va ,r |
|||||||
2cr3 |
||||||||||
|
1 |
|
ea r, va ,ra |
|
1 |
|
ea ra , va ,r |
|||
2cr |
3 |
2cr |
3 |
|||||||
|
|
|
a |
|
|
|
a |
Вектор магнитного момента системы
m |
1 |
ea ra , va |
A 2 |
1 |
m,r |
|
3 |
||||
|
2c a |
|
r |
Напряженность магнитного поля:
H 2 rot A 2 , A 2
H 2 e A 2 e |
|
1 |
e m x |
|
e e m |
|
xm |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
i |
ijk j k |
ijk |
j |
3 klm |
l m |
ijk klm l |
j |
r |
3 |
||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Поле системы зарядов на больших расстояниях Стационарное магнитное поле
2 |
2 |
|
1 |
|
|
xmm |
|||||
Hi |
eijk j Ak |
eijk |
j |
|
|
eklmml xm |
eijk eklmml |
j |
|
|
|
|
3 |
r |
3 |
||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eijk eklm il jm |
im jl |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jm |
|
|
|
3x x |
|
|
|
|
||||||||
|
Hi2 il jm im jl ml |
|
|
|
|
|
j |
m |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||
|
m |
jj |
|
3xj xj |
m |
ij |
|
|
3xi xj |
|
3xi xjmj |
|
m |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|||||||||
|
|
|
r5 |
j r3 |
|
|
r |
5 |
r5 |
||||||||||||||||||
|
|
i r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
|||||||||||||||
H 2 |
1 |
3 m,r r r2m |
|
|
|
|
|
|
E 2 |
|
|
1 |
3 d,r r r2d |
||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
Пусть у всех зарядов системы одинаково отношение заряда к массе,
ea |
|
e |
m |
|
1 |
ea ra , va |
e |
ma |
ra , va |
e |
ra ,ppa |
e |
MM |
||||||||
m |
m |
|
2c |
2mc |
2mc |
2mc |
|||||||||||||||
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
M ra ,pa |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
2mc |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Излучение электромагнитных волн
R r r
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
r r |
|
|
r r 2 |
r2 2 r,r r 2 |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n,r |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 n,r |
r 2 |
|
|
r n,r . |
||||||
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|
|
|||||
|
|
|
r |
|
r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
R |
|
1 |
|
|
|
r |
|
nr |
|
|||||||
|
|
|
|
r, t r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
r, t |
|
|
|
|
|
r , t |
|
|
|
dV |
r , t c |
|
c |
dV |
|
|||||||
R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A r, t |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
R |
A r, t |
1 |
|
|
|
|
r |
|
nr |
|
||||
|
|
|
|
|
j r , t |
|
|
|
dV |
|
|
j r , t |
|
|
|
|
dV |
|||||
|
|
|
|
|
|
cr |
|
c |
c |
|||||||||||||
c |
R |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
6. Излучение электромагнитных волн Напряженности электрического и магнитного поля
A r, t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
nr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
r |
|
nr |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j r |
, t |
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
cr |
|
c |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
c |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
H rot A , A ei ejk j Ak |
eieijk |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
dV |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jk r , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j cr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ak |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
e e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r , |
t |
|
dV |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x j |
r |
|
|
|
x j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
i ijk |
c |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1 r |
|
|
|
1 xj |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
c xj |
|
|
c r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
1 |
e e |
|
|
x j |
|
A |
|
|
1 |
|
n, |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
i |
ijk |
r |
|
|
t |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Излучение электромагнитных волн Напряженности электрического и магнитного поля
|
|
E grad |
|
|
|
E |
1 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
H,n |
1 |
A |
|
|
1 |
|
A |
|
1 |
|
|
A |
|
1 A |
|
||||||||
|
n, |
|
|
,n |
|
|
n, n, |
|
|
|
|
|
n n, |
|
|
|
|
|
E |
||||
c |
|
c |
|
c |
|
|
c t |
||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
Напряженности электрического и магнитного поля в электромагнитной
волне:
H |
1 |
A |
|
E H,n |
1 A |
|
|
|
c |
|
,n |
c |
|
,n |
,n |
||
|
t |
|
|
t |
|
|
Вектор плотности потока энергии волны (вектор Пойнтинга):
P 4c E, H 4c H, H, n 4c H H, n nH 2 4c H 2n
6. Излучение электромагнитных волн Интенсивность излучения
Интенсивность излучения dI в элемент телесного угла dΩ это
количество энергии, протекающей в единицу времени через элемент сферической поверхности dS с центром в начале координат и радиусом r, dS r2 d r2 sin d d
c
dI 4 H 2 r2 d
Так как H обратно пропорционально r, количество энергии, излучаемое системой в единицу времени в элемент телесного угла dΩ, одинаково
для всех расстояний r, что ожидаемо, поскольку электромагнитные
волны распространяются в пространстве с постоянной скоростью c, не накапливаясь и не исчезая.