Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Electrodynamics_slides

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
4.62 Mб
Скачать

5. Поле системы зарядов на больших расстояниях

Сумма диагональных компонент тензора квадрупольного момента равна нулю:

Dii ea 3xia xia 3ra2 0

a

Если полный заряд системы и ее дипольный момент равны нулю, то тензор квадрупольного момента не зависит от выбора начала координат.

Вычислим напряженность электрического поля:

E grad

r Qr di rx3i 12 Dij xri x5 j

E

 

 

Q

x

d

 

ij

 

3xi xj

 

 

 

1

D

 

ij xk

 

ik xj

 

5xi xj xk

 

 

 

 

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

5

 

 

 

 

5

 

5

 

 

7

i

 

 

 

xi

 

 

r

 

 

 

r

 

 

 

2

 

r

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

d j

 

 

 

 

2

 

 

 

1 Djk

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

Q

 

i

 

 

 

3xi xj r ij

 

 

 

 

 

5xi xj xk r

ij xk

r

ik xj

 

 

r

3

r

5

2 r

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Поле системы зарядов на больших расстояниях Разложение напряженности электрического поля

Ei Ei 1 Ei 2 Ei 3

Кулоновское поле одиночного заряда:

1

 

 

 

x

E

1

Q

r

 

 

Ei

Q

i

 

 

 

 

 

 

 

 

r3

 

 

r3

 

 

 

Поле диполя:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ei 2

 

d j

3xi xj

r2 ij

 

E 2

1

3 d,r r r2d

5

 

 

5

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

r

Поле квадруполя:

3

 

1 Djk

5xi xj xk

2

2

 

Ei

 

 

r ij xk

r ik xj

2

r7

5. Поле системы зарядов на больших расстояниях Стационарное магнитное поле

A r

1

 

 

 

 

j r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j r ea va r ra

 

 

A r

11

 

 

 

ee vv

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

c

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

r ra

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A r

 

1

 

 

 

ea va

 

 

 

1

 

 

ea va xi xia

1

 

ea va

 

1

ea va ra ,r

cr

 

 

 

3

 

cr

3

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

cr

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

cr

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

d

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eara

 

 

 

 

ea va ra ,r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2cr

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cr dt

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

d

eara ra

 

 

 

1

 

 

eara va

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,r

 

 

 

 

 

 

 

,r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2cr

3

 

 

 

 

 

2cr

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

df

 

1

 

T df

 

dt

 

f T f 0

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

df

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

T

 

0 dt

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Поле системы зарядов на больших расстояниях Стационарное магнитное поле

A r

1

a

ea va ra ,r ra va ,r

2cr3

 

1

 

ea r, va ,ra

 

1

 

ea ra , va ,r

2cr

3

2cr

3

 

 

 

a

 

 

 

a

Вектор магнитного момента системы

m

1

ea ra , va

A 2

1

m,r

 

3

 

2c a

 

r

Напряженность магнитного поля:

H 2 rot A 2 , A 2

H 2 e A 2 e

 

1

e m x

 

e e m

 

xm

 

 

 

 

 

i

ijk j k

ijk

j

3 klm

l m

ijk klm l

j

r

3

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Поле системы зарядов на больших расстояниях Стационарное магнитное поле

2

2

 

1

 

 

xmm

Hi

eijk j Ak

eijk

j

 

 

eklmml xm

eijk eklmml

j

 

 

 

 

3

r

3

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eijk eklm il jm

im jl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jm

 

 

 

3x x

 

 

 

 

 

Hi2 il jm im jl ml

 

 

 

 

 

j

m

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

m

jj

 

3xj xj

m

ij

 

 

3xi xj

 

3xi xjmj

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

r5

j r3

 

 

r

5

r5

 

 

i r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r3

H 2

1

3 m,r r r2m

 

 

 

 

 

 

E 2

 

 

1

3 d,r r r2d

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

Пусть у всех зарядов системы одинаково отношение заряда к массе,

ea

 

e

m

 

1

ea ra , va

e

ma

ra , va

e

ra ,ppa

e

MM

m

m

 

2c

2mc

2mc

2mc

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ra ,pa

 

 

 

m

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

2mc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Излучение электромагнитных волн

R r r

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

r r

 

 

r r 2

r2 2 r,r r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n,r

 

 

 

 

 

 

2 n,r

r 2

 

 

r n,r .

 

r 1

 

 

 

 

 

 

r 1

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

R

 

1

 

 

 

r

 

nr

 

 

 

 

 

r, t r

 

 

 

 

 

 

r, t

 

 

 

 

 

r , t

 

 

 

dV

r , t c

 

c

dV

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A r, t

1

 

 

 

1

 

 

R

A r, t

1

 

 

 

 

r

 

nr

 

 

 

 

 

 

j r , t

 

 

 

dV

 

 

j r , t

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

 

 

cr

 

c

c

c

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

6. Излучение электромагнитных волн Напряженности электрического и магнитного поля

A r, t

1

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

nr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t

 

r

 

nr

 

 

 

 

 

 

j r

, t

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cr

 

c

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H rot A , A ei ejk j Ak

eieijk

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

t

 

dV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jk r ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x j cr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ak

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j r ,

t

 

dV

 

 

t

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x j

r

 

 

 

x j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i ijk

c

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

1 r

 

 

 

1 xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xj

 

 

r

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xj

c xj

 

 

c r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

1

e e

 

 

x j

 

A

 

 

1

 

n,

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

i

ijk

r

 

 

t

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Излучение электромагнитных волн Напряженности электрического и магнитного поля

 

1

 

xj A

 

1

A

H

 

ei ejk

 

 

k

 

 

n,

 

 

c

r t

 

 

 

 

 

c

t

E grad

1

 

n,E n, grad

1

 

A

A

c

n,

 

 

c

t

 

 

t

 

 

1

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

t

 

grad ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r , t

 

 

 

 

 

xi r

 

 

 

 

 

 

t xi

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

1

 

 

 

xi

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei

 

 

3

 

 

r , t

 

c

 

t r

c

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ai

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

nr

 

 

 

 

Ai

 

t

 

divA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ji r ,

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

c

 

x

 

 

 

 

c

 

c

 

 

 

 

t x

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

1 xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

nr

 

 

 

 

 

 

1 xi Ai

 

 

 

 

1

 

A

 

 

 

 

 

 

 

ji r , t

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n,

 

 

 

 

 

c r

3

 

 

c

 

c

 

 

c r t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

t

 

H n,E

H E

 

A

0

n,

t

 

 

 

 

6. Излучение электромагнитных волн Напряженности электрического и магнитного поля

 

 

E grad

 

 

 

E

1

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H,n

1

A

 

 

1

 

A

 

1

 

 

A

 

1 A

 

 

n,

 

 

,n

 

 

n, n,

 

 

 

 

 

n n,

 

 

 

 

 

E

c

 

c

 

c

 

 

c t

 

 

t

 

 

 

 

t

 

 

 

 

t

 

 

Напряженности электрического и магнитного поля в электромагнитной

волне:

H

1

A

 

E H,n

1 A

 

 

c

 

,n

c

 

,n

,n

 

t

 

 

t

 

 

Вектор плотности потока энергии волны (вектор Пойнтинга):

P 4c E, H 4c H, H, n 4c H H, n nH 2 4c H 2n

6. Излучение электромагнитных волн Интенсивность излучения

Интенсивность излучения dI в элемент телесного угла dΩ это

количество энергии, протекающей в единицу времени через элемент сферической поверхности dS с центром в начале координат и радиусом r, dS r2 d r2 sin d d

c

dI 4 H 2 r2 d

Так как H обратно пропорционально r, количество энергии, излучаемое системой в единицу времени в элемент телесного угла dΩ, одинаково

для всех расстояний r, что ожидаемо, поскольку электромагнитные

волны распространяются в пространстве с постоянной скоростью c, не накапливаясь и не исчезая.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]