- •Предел числовой последовательности.
- •Непосредственное применение определения предела последовательности.
- •Различные приёмы вычисления предела последовательности.
- •Расходящиеся последовательности.
- •Предел функции.
- •Вычисление предела функции, теоремы о пределах.
- •Вычисление предела функции, замечательные пределы.
- •Раскрытие неопределённостей, правило Лопиталя.
- •Формула Тейлора, применение к вычислению предела функции.
- •Разложение функций по формуле Тейлора.
- •Применение к вычислению пределов.
- •Ответы.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿
А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Теория пределов.
(Учебное пособие)
Ростов–на–Дону
2010
В предлагаемом пособии излагаются и демонстрируются на подробно разобранных примерах основные приёмы вычисления пределов последовательностей и функций. Собрано более 300 задач, которые могут быть использованы в аудиторной и домашней работе, для контрольных работ и при составлении экзаменационных заданий. Весь представленный материал отражает опыт преподавания авторами курса высшей математики на факультете высоких технологий ЮФУ и предназначен для работы со студентами этого факультета.
2
Содержание |
|
||
1 |
Предел числовой последовательности. |
4 |
|
|
1.1 |
Непосредственное применение определения преде- |
|
|
|
ла последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
1.2 |
Различные приёмы вычисления предела последова- |
|
|
|
тельности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
|
1.3 |
Расходящиеся последовательности. . . . . . . . . . |
14 |
2 |
Предел функции. |
15 |
2.1Вычисление предела функции, теоремы о пределах. 18
2.2Вычисление предела функции, замечательные пре-
делы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 |
Раскрытие неопределённостей, правило Лопиталя. 40 |
||
4 |
Формула Тейлора, применение к вычислению пре- |
|
|
|
дела функции. |
51 |
|
|
4.1 |
Разложение функций по формуле Тейлора. . . . . |
52 |
|
4.2 |
Применение к вычислению пределов. . . . . . . . . |
53 |
Ответы. |
62 |
||
Предметный указатель |
65 |
||
Список литературы. |
66 |
3
1Предел числовой последовательности.
Определение. 1.1 Будем говорить, что последовательность fxng+n=11 имеет предел при n ! 1; равный a,
lim x |
|
= a |
обозначим n!1 |
n |
|
если для любого " > 0 существует номер m такой, что для всех n > m выполняется jxn aj < "
(т.е. 8" > 0 9m > 0 : 8n > m jxn aj < ") :
Последовательности, которые имеют предел, будем называть сходящимися
(в противном случае расходящимися).
Определение. 1.2 Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Если существуют пределы
|
|
|
|
|
|
lim xn = a и |
lim yn = b; |
|
|
|
|
|
|
n!1 |
n!1 |
то справедливы следующие утверждения: |
|||||||
nlim (xn yn) = a b |
|
||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
nlim (xn yn) = a b |
|
|||||
|
!1 |
xn |
a |
|
|||
|
|
|
|||||
|
nlim |
|
|
= |
|
; если b 6= 0: |
|
y |
n |
b |
|
||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
Определение. 1.3 Будем говорить, что последовательность fxng+n=11 имеет бесконечный предел при n ! 1;
обозначим |
lim x |
n |
= |
1 |
n!1 |
|
если для любого E > 0 существует номер m такой, что для всех n > m выполняется jxnj > E
(т.е. 8E > 0 9m > 0 : 8n > m jxnj > E) :
Такие последовательности называются бесконечно большими.
4
1.1Непосредственное применение определения предела последовательности.
Пример. 1.1 Доказать |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
lim |
|
= 1: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
n!1 n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
n + 3 |
|
n + 3 |
||||||||||
n + 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n 1 |
|
1 = |
|
|
4 |
|
|
= |
4 |
: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмём произвольное " > 0: Тогда |
неравенство |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
< " |
|
|
|
||||||
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет выполнено, если |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
< "; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
||||||||||||
то есть при |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n > |
|
3: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
В качестве m возьмём натуральное число, удовлетворяющее условию m > 4" 3: Тогда для всех n > m выполняется
|
|
|
|
|||
|
n + 3 |
|
< ": |
|||
|
|
n 1 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Это означает |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
n 1 |
= 1: |
|||
|
n!1 n + 3 |
|
||||
Доказать следующие равенства: |
|
1: |
lim |
1 |
= 0; |
( > 0) |
2: |
lim |
1 |
= 0; |
(a > 1) |
|
n |
||||||||
|
n!1 n |
|
|
|
n!1 a |
|
|
||
3: |
lim |
n |
= 0; |
( > 0; a > 1) |
4: |
lim |
an |
= 0; |
(a > 1) |
|
|
||||||||
|
n!1 an |
|
|
|
n!1 n! |
|
|
5
|
ln n |
|
1 |
|
5: lim |
|
|
= 0; ( > 0) |
6: lim qn = 1; (q > 0) |
|
||||
n!1 n |
|
n!1 |
7: lim qn = 0; (jqj < 1)
n!1
1.2Различные приёмы вычисления предела последовательности.
Пример. 1.2 Найти |
|
|
3n3 + n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n!1 n + 2n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Представим |
|
|
|
|
|
3n3 + n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
xn = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в виде |
|
3 + |
1 |
|
+ 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
xn = |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 + 21 |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как n1 ! 0; |
1 |
! 0; |
1 |
! 0 при n ! 1; то 3+ |
1 |
+2 |
1 |
! 3; 1+2n1 +3 |
1 |
! |
|||||||||||||||||||||
n2 |
n3 |
n2 |
n3 |
n3 |
|||||||||||||||||||||||||||
1: Значит |
|
lim |
3 + |
1 |
|
+ 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
nlim xn = |
2 |
|
3 |
|
= 3: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
lim |
1 + 21 |
+ 3 |
|
13 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n!1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
!1 |
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Пример. 1.3 Найти
lim n + 7 ln n: n!1 5n + ln n
Решение.
Учитывая lnnn ! 0; при n ! 1 и представляя
n + 7 ln n xn = 5n + ln n
в виде
|
1 + 7ln n |
|
||
xn = |
|
n |
; |
|
5 + |
ln n |
|
||
|
n |
|
||
|
|
|
6
находим 1 + 7lnnn ! 1; 5 +
Следовательно,
lim
n!1
Пример. 1.4 Найти
ln n |
! 5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xn = |
lim |
|
1 + 7lnnn |
|
= |
1 |
: |
||||||
lim |
|
5 + ln n |
|
5 |
|||||||||
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
+ 2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
n!1 n |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Воспользуемся соотношениями n2n2 ! 0; n2n4 ! 0; при n ! 1: Представив
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
= |
|
n2 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с учётом |
n2 |
|
|
+ 1 ! 1; |
n4 |
+ 2 ! 2 при n ! 1; получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2n |
|
2n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nlim xn = n!1 |
n4 |
|
|
|
|
|
|
|
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
nn2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
2n + 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример. 1.5 Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
4 + |
|
|
+ 2 4 |
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 2n |
|
|
p |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
4 + |
|
|
|
+ 2 4 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 2n |
|
p |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p4 + n + 2 + |
|
4 + n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2n |
|
p |
4n + n + 2 |
p |
4n + n + 1 |
|
p |
4n |
+ n + 2 |
+ p |
4n + n + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= nlim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n |
!1 p4 |
n |
+ n + 2 + p4 |
n |
+ n + 1 |
|
|
|
|
n |
!1 q1 + 4nn + 241n + q1 + 4nn + 41n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
1 n |
4 |
|
!; |
4 |
! |
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
q |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
! |
|
q |
4 4 |
|
! |
||||||||||||||||||||||
Так как |
|
n |
|
0; |
|
|
1 |
|
0 при n |
|
|
|
; то |
1 + |
n |
|
+ 2 |
1 |
|
|
|
|
1; |
|
1 + |
n |
+ |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n |
n |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
n |
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при |
! 1 следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
; n ! 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
+ q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
n |
+ 2 |
1 |
|
1 + |
n |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
4n |
4n |
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. 1.6 Найти |
|
|
|
|
n!1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim n |
|
5n + n6 + 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку |
n6 |
! 0; n ! 1; то неравенство |
n6 |
|
|
< 1 верно для n; больших |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5n |
5n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
некоторого n0: Тогда для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn = n 5n + n6 + 1 = 5r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
5n + |
51n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
верны оценки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 6 xn 6 5 3n ; n > n0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
! 30 = 1; |
n ! 1; то отсюда следует nlim xn = 5: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как 3n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример. 1.7 Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + n + 2 |
|
n2 |
+n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n2 + n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
|
|
|
|
n2 + n + 2 |
|
n2+n+3 |
|
|||||||||
|
|
n!1 n2 + n + 1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
1 + n2 + n + 1 |
n2+n+1 |
|
1 + n2 + n + 1 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
|
1 + n2 + n + 1 |
n2 |
+n+1 |
|
||||||||||
|
xn = |
|
||||||||||||||
|
|
; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то последовательность fxng является подпоследовательностью
8
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 + |
|
|
|
|
значит xn ! e; |
|
|
n ! 1: Так как очевидно, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1; n ! 1; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 + n + 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + n + 2 |
|
n2+n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n2 |
+ n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример. 1.8 Найти |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + n + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Представив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + n + 5 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + n + 6 |
1 + |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + n + 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + n + 5 |
|
2n+n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 2n |
+ n + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 + |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
+n+5 |
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n + n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
2n + n + 5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
1 + 2n + n + 5n |
5 |
|
|
: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
!1 1 + |
|
2n + n + 5 |
2 +n+5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
xn = 1 + 2n + n + 5 |
2n |
+n+5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим, что последовательность fxng есть подпоследовательность
9
n
1 |
|
|
|
|
|
и, следовательно xn ! e; n ! 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку, очевидно, 1 + |
1 |
|
|
|
! 1; n |
! 1; то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n + n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
1 + 2n + n + 5n |
5 |
|
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 +n+5 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример. 1.9 Найти |
|
|
|
|
|
|
+ p9n + n2 |
|
+ 2 + + p9n + n2 |
+ n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 p9n + n2 + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
xn = |
p |
|
|
|
|
|
+ |
p |
|
|
|
+ |
+ |
p |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
9n + n2 + 1 |
|
9n + n2 + 2 |
9n + n2 + n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
6 xn 6 |
p |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9n + n2 + 1 |
|
9n + n2 + 1 |
r1 + |
n2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9n |
9n |
||||||||||||||
Так как |
|
n |
|
|
|
n2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1; то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
! 0; |
|
! 0; |
|
|
|
! 0; n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3n |
9n |
|
9n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
p ! 0; n ! 1:
9n + n2 + 1
С другой стороны, очевидно,
1
p ! 0; n ! 1;
9n + n2 + 1
значит xn ! 0; n ! 1:
Вычислить предел последовательности:
10
8: |
lim |
n5 + n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9: |
lim |
|
n3 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
n6 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n4 + 2n + 1 |
||||||||||||||
10: |
lim |
4n4 + 2n3 + 10 |
|
|
11: |
lim |
n3 2n + 3 |
|
|
|||||||||||||||
|
2n5 + 2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
n!1 n4 7n3 + 2 |
|||||||||||||||||
12: |
lim |
|
n3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
13: |
lim |
n5 + 5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n!1 n2 + 2n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n4 + 2n |
||||||||||||||
14: |
lim |
2n8 + n3 4 |
|
|
|
|
15: |
lim |
n3 + n2 3 |
|
|
|
||||||||||||
3n6 + n3 + 5 |
|
|
(n + 1)2 |
|||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
n!1 |
||||||||||||||||||
16: |
lim |
3n2 + 2n |
|
|
|
|
|
|
17: |
lim |
n2 + 2n 2 |
|
|
|||||||||||
6n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n2 n + 4 |
||||||||||||||
18: |
lim |
4n3 + 3n + 5 |
|
|
19: |
lim |
3n3 + n + 1 |
|||||||||||||||||
|
2n3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n3 n2 + 7 |
|||||||||||||
20: |
lim |
5n4 + n2 1 |
|
|
|
21: |
lim |
n5 + n4 + 8n |
||||||||||||||||
2n4 n3 n |
|
|
3n5 n3 + 5 |
|
||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
n!1 |
||||||||||||||||||
22: |
lim |
|
10n10 1 |
|
|
23: |
lim |
n7 + 6n6 n |
||||||||||||||||
5n10 3n7 n3 |
|
|
4n7 2n4 + 1 |
|||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
n!1 |
||||||||||||||||||
24: |
lim |
(n + 1)3 (n 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(n + 1)2 + (n 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
25: |
lim |
(n + 2)2 (n 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
!1 p(n3 + 2)2 |
(n3 |
|
2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n |
(n2 + 1)2 |
|
|
(n2 |
|
1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
26: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n!1 p(n3 + 2)2 + (n3 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
27: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8n3 + 3n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)2 |
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n + 1)2 + (4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
n |
+ 3n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 + 2n 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
n+2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ n + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 6 |
|
|
|
|
n + log3 9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
+ ln(n3 + 1) |
|
|
|
|
|
np |
|
|
+ n ln n + 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n3 + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30: |
nlim |
p4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31: |
nlim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 5n |
3n + 2 |
|
|
|
!1 3n n + ln |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n + n! |
|
|
|
|
|
|
|
33: |
lim |
n3n + n7 + 2 ln n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
n |
+ (n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
(n + 1)! + 2 |
|
+ n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 2 ln n)p3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n2 + 1 |
+ ln n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8n + 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
34: |
nlim |
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35: |
nlim |
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
+ 1 + ln(n + 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+ 1) + ln n |
|
|
|
|
|
|
lg(n |
2 |
|
|
|
|
n2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
ln(2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
36: |
nlim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37: |
nlim |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
!1 |
|
|
ln(4 + n) + 1 |
|
|
|
!1 |
|
|
4n + 2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
38: |
lim |
ln(n3 + n2 + 2) |
39: |
lim |
|
|
|
|
ln(e2n e 2n) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(n5 + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 p3 n3 + 1 + pn2 + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
40: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 2)! + n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(n + 3)! n2(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
41: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!(2(n + 1)! + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n!1 n!(n + 2)! ((n + 1)!)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
42: |
2n + n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
43: |
n3n + n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim n |
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
lim n |
p |
|
|
p |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
44: |
n3 + 9 |
n3 |
45: |
n4 + 4 |
n4 + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
pn + 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
pn2 + 1 n |
12
|
|
p |
|
|
|
p4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
46: |
lim |
|
|
n4 + n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
pn + 1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
47: |
lim |
|
|
|
|
|
|
n3 + n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
p3 |
n + 1 |
3 |
|
|
|
p6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
!1 ( |
|
|
pn) |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim n |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
48: |
n4 + 1 |
n8 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p4 n4 + 1 pn2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n6 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
49: |
lim |
n4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
p3 n3 + 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
nlim (1 + ln n)(p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
50: |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nlim (3 + p |
|
|
)(p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
51: |
|
|
|
2n + 2 |
2n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
!1 |
3n + 1 |
+ 3n + 2 + + 3n + n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
52: |
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
+ 22 |
|
+ 23 + + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
53: |
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 + n ln n |
|
|
|
|
|
|
3 + 3 3 |
|
+ 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
54: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
n ln n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
55: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 3 2 n + 2 + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
(1 + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|||||||||||||||
|
nlim n(p3 |
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
56: |
n2 + 3 |
n2 + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57: |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
nlim n2 (p4 n2 + 1 p4 n2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13