- •Введение.
- •Основные определения.
- •Оптимальные интерполяционные пространства.
- •Упражнения для закрепления материала
- •Определение и основные свойства.
- •Упражнения для закрепления материала
- •Упражнения для закрепления материала
- •Геометрическая интерпретация.
- •Упражнения для закрепления материала
- •Упражнения для закрепления материала
- •Упражнения для закрепления материала
- •Учебный модуль: Орбиты элементов.
- •Упражнения для закрепления материала
- •Упражнения для закрепления материала
- •Орбиты элементов в банаховых парах.
- •Орбита как банахово пространство
- •Представление оптимального интерполяционного пространства ввиде объединения орбит.
- •Упражнения для закрепления материала
- •Вспомогательные утверждения
- •Упражнения для закрепления материала
- •Учебный модуль: Интерполяция в весовых пространствах.
- •Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар.
- •Учебный модуль: Приложение метода орбит.
- •Применение метода орбит к доказательству существования базиса.
- •Определения и вспомогательные утверждения.
- •Базис в дополняемых подпространствах пространств Кёте.
- •Пространство степенных рядов конечного типа
- •Календарно-тематический план.
- •Предметный указатель
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿
А. И. ЕФИМОВ
МЕТОД ОРБИТ В ТЕОРИИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ОПЕРАТОРОВ
(курс лекций)
Ростов–на–Дону
2008
Ефимов А. И.
Метод орбит в теории интерполяции операторов: Курс лекций. Ростов–на– Дону, 2008. 105 с.
Данный специальный курс лекций читается автором студентам V курса специальности 01.01.01. Цель спецкурса в углубленном изучении метода орбит в теории интерполяции операторов и его применение в некоторых вопросах функционального анализа.
Оглавление
1 Введение. |
7 |
1.1Основные определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2Оптимальные интерполяционные пространства. . . . 9 1.2.1 Упражнения для закрепления материала . . . 15
2 Учебный модуль: K функционалы. |
17 |
2.1K функционал Петре. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1Определение и основные свойства. . . . . . . . 17
2.1.2Упражнения для закрепления материала . . . 18
2.1.3Эквивалентность K функционала Петре нор-
ме банахова пространства . . . . . . . . . . . . 19
2.1.4Упражнения для закрепления материала . . . 20
2.1.5Геометрическая интерпретация. . . . . . . . . . 21
2.1.6Упражнения для закрепления материала . . . 24
2.2K(p1;p2) функционал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1Представлении
K(p1;p2) функционала весовых пространств . . 28
2.2.2Упражнения для закрепления материала . . . 29
2.2.3K(p1;p2) функционал . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.4Равносильности K(p1;p2) и K(p1;p2) функционалов 30
3
Оглавление
2.2.5Совпадении экстремальных множеств K(p1;p2)
и K функционалов . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 J функционал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1Свойства J функционала . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2Упражнения для закрепления материала . . . 40
2.4K замкнутые подпары, банаховых пар. . . . . . . . . 41
2.4.1Аналог теоремы Хана-Банаха для K замкнутой подпары, банаховой пары . . . . . . . . . . . . 41
3 Учебный модуль: Орбиты элементов. |
45 |
3.1K орбита. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1Упражнения для закрепления материала . . . 46
3.1.2Лемма о структуре экстремального множества
K функционала . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3Упражнения для закрепления материала . . . 48
3.2Орбиты элементов в банаховых парах. . . . . . . . . . 49
3.2.1Орбита как банахово пространство . . . . . . . 49
3.2.2 Вложение орбит элементов в K орбиты . . . 53
3.2.3Совпадении орбит и K орбит
весовых пространств суммируемых последо-
вательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.4Совпадении орбит и K орбит весовых пространств суммируемых функций . . . . . . . . 58
3.3Представление оптимального интерполяционного пространства ввиде объединения орбит. . . . . . . . . . . 59
3.3.1Упражнения для закрепления материала . . . 61
3.3.2Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . 61
4
Оглавление
3.3.3Упражнения для закрепления материала . . . 68
4 Учебный модуль: Интерполяция в весовых простран- |
|
ствах. |
69 |
4.1Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Учебный модуль: Приложение метода орбит. |
81 |
5.1Применение метода орбит к доказательству существования базиса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.1Определения и вспомогательные утверждения. 81
5.1.2Базис в дополняемых подпространствах пространств Кёте. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.3Пространство степенных рядов конечного типа 92
6 Календарно-тематический план. |
|
|
97 |
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. 101 |
|
ЛИТЕPАТУPА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . |
. |
. 104 |
5
1 Введение.
Данный курс лекций посвящён изучению метода орбит в интерполяции линейных пространств и применению метода орбит для построения оптимального интерполяционного пространства в интерполяционных тройках пространств p суммируемых функций. В свою очередь найденные оптимальные интерполяционные пространства могут быть использованы для исследования вопроса существования базиса в дополняемых подпространствах некоторых классов пространств Кёте.
Курс лекций состоит из четырёх учебных модулей:
1.K функционалы.
2.Орбиты элементов.
3.Интерполяция в весовых пространствах.
4.Приложение метода орбит.
Учебный модуль “K функционалы” содержит необходимые сведения из теории интерполяции линейных пространств для понимания метода орбит. Сам метод орбит изложен в учебном модуле “Орбиты элементов”. Учебный модуль “Интерполяция в весовых пространствах” рассматривает использование метода орбит для построения
7
1 Введение.
оптимального интерполяционного пространства в интерполяционных тройках пространств p суммируемых функций. Курс лекций завершается учебных модулем “Приложение метода орбит” в котором рассматривается использование предшествующего материала для исследования вопроса существования базиса в дополняемых подпространствах некоторых классов пространств Кёте.
1.1 Основные определения.
Определение 1.1 Банаховой парой называется банаховы пространства A и B, алгебраически и топологически вложенные в некоторое отделимое топологическое линейное пространство.
Определение 1.2 Пересечением пространств банаховой пары A
и B назовём пространство состоящее из x 2 A \ B с нормой
kxkx2A\B = max(kxkA; kxkB)
Определение 1.3 Суммой пространств банаховой пары A и B
назовём пространство A + B образованное элементами вида x = u + v; где u 2 A; v 2 B; с нормой
kxkA+B = inffkukA + kvkBg;
где inf берётся по всем разложениям x = u + v; u 2 A; v 2 B:
Определение 1.4 Банахово пространство E называется промежуточным для для банаховой пары A и B, если выполняется:
A \ B E A + B
8