![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Упражнения
Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов:
1.
2.
3.
4.5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
.
3 Несобственные интегралы от функций, меняющих знак
Если
,
то функция
называется абсолютно интегрируемой
на
в несобственном смысле, а несобственный
интеграл
--
абсолютно сходящимся.
Если
,
а
,
то говорят, что несобственный интеграл
сходится условно.
3.1 Признак Вейерштрасса (признак абсолютной сходимости).
Если
,
то
и при этом
.
3.2 Признак Дирихле.
Пусть
и
а)
-- локально интегрируемая функция на
и
;
б)
--
монотонная на
функция;
в)
.
Тогда
несобственный интеграл
сходится.
3.3 Признак Абеля.
Пусть
,
--
монотонная и ограниченная на
функция. Тогда
сходится.
Рассмотрим несколько примеров, в которых применяются приведенные выше признаки для исследования на абсолютную и условную сходимость несобственные интегралы.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие несобственные интегралы.
Пример
1.
.
Функция
,
следовательно,
--
единственная особая точка. Функция не
сохраняет знак на
,
так как
и поэтому
меняет знак.
Исследуем рассматриваемый интеграл на условную сходимость. Для этого рассмотрим
.
.
Обозначим
через
и
.
Так
как
и
,
причем
расходится, то по признаку сравнения
в непредельной форме расходится
.
Покажем,
что
сходится, используя для этого признак
Дирихле:
а)
;
б)
убывает на
;
в)
.
Итак:
,
где
-
расходится, а
-
сходится. Тогда
-
расходится. Следовательно, по признаку
сравнения в непредельной форме расходится
.
Отсюда
следует, что
расходится по признаку сравнения в
пре-
дельной
форме, а, значит, расходится и
.
2.
Исследуем сходимость
,
используя для этого признак Дирихле.
Пусть
,
а
.
Тогда
а)
--
локально интегрируема на
и
;
б)
убывает на
;
в)
.
Следовательно,
сходится по признаку Дирихле, а так как
расходится, то исходный интеграл сходится
условно.
Пример
2..
Функция
,
следовательно,
--
единственная особая точка;
не сохраняет знак на
.
Поэтому исследуем сначала интеграл на
абсолютную сходимость.
.
расходится,
так как
,
а
сходится по признаку Дирихле. Обоснуем
последнее:
а)
;
б)
функция
убывает на
;
в)
.
Итак,
имеем:
, где
расходится как сумма расходящегося
и сходящегося интеграла. Следовательно,
по признаку сравнения в непредельной
форме расходится
.
Тогда по признаку сравнения в предельной
форме расходится
,
а, значит, расходится и
.
Значит, исходный интеграл не имеет
абсолютной сходимости.
2.
Исследуем
.
Пусть
.
Тогда
a)
--
локально интегрируема на
и
;
б)
является суперпозицией двух функций:
--
монотонно возрастающей и
.
Исследуем последнюю на монотонность
при помощи производной:
;
в)
.
Следовательно,
сходится по признаку Дирихле, а, значит,
=
+
сходится как сумма
интегралов Римана и
сходящегося
несобственного интеграла. И так как
абсолютной сходимости нет, то
сходится условно.
Пример
3.
.
Функция
,
следовательно,
--единственная
особая точка. Функция
не сохраняет знак на
.
1.
Исследуем
.
.
Так
как
,
то по признаку сравнения в непредельной
форме
расходится, а
сходится по признаку Дирихле. Покажем
последнее:
а)
;
б)
функция
монотонно убывает на
;
в)
.
Итак,
,
где
,
расходится как сумма расходящегося
и сходящегося интегралов. Следовательно,
по признаку сравнения в непредельной
форме
расходится. Тогда
по признаку сравнения в предельной
форме расходится
,
а, значит и
расходится.
2.
Исследуем
.
Пусть
.
сходится
по признаку Дирихле, так как
а)
;
б)
убывает на
;
в)
.
Функция
возрастает на
и ограничена, так как
.
Следовательно,
сходится по признаку Абеля, и так как
абсолютной сходимости нет, то сходится
условно.
Пример
4..
Функция
,
поэтому
--
единственная особая точка; функция не
сохраняет знак на
.
1.
Исследуем сходимость
.
.
Очевидно,
что
расходится, так как это сумма расходящегося
ин-
тегралаи сходящегося по признаку Дирихле
.
Обоснуем последнее утверждение:
а)
;
б)
монотонно убывает на
;
в)
.
Следовательно,
по признаку сравнения в непредельной
форме расходится
,
а, значит, по признаку сравнения в
предельной форме расходится
и вместе с ним
.
2.
Исследуем сходимость
.
Заметим,
что использовать для исследования
признак Дирихле не представляется
возможным, так как функция
не является монотонной. Поэтому
исследование проведем, используя формулу
Тейлора:
(здесь
мы учли, что
,
поэтому такое разложение имеет место).
Разобьем исходный интеграл на сумму трех интегралов:
.
Заметим,
что во всех интегралах суммы точка
не является особой, так как подынтегральная
функция ограничена в правосторонней
окрестности точки
.
Первый
интеграл этой алгебраической суммы
сходится по признаку Дирихле, так как
монотонно стремится к нулю при
,
а
.
Второй интеграл также сходится по признаку Дирихле, так как
а)
;
б)
функция
,
монотонно убывая, стремится к нулю при
.
Третий интеграл сходится абсолютно, так как
.
Следовательно,
из сходимости
по признаку сравнения в непредельной
форме следует сходимость
.
Тогда по признаку сравнения в предельной
форме сходится и третий интеграл,
составляющий рассматриваемую сумму.
Значит,
сходится как сумма интеграла Римана и
исследованного интеграла.
Пример
5.
.
Функция
,
в точке
функция не определена. Заметим, что
для исследования интеграла удобнее
сделать замену переменной
( все условия для проведения такой
замены соблюдены), тогда
.
Нетрудно видеть, что поведение подынтегральной функции более «прозрачно» и привычно для нас в плане исследования.
Заметим,
что
,
следовательно,
--
единственная особая точка, функция
не сохраняет знак на
.
1.
Исследуем
.
.
Так же, как это было сделано в предыдущих примерах нетрудно показать,
что
--
расходится, а
сходится по признаку Дирихле.
Следовательно, расходится
,
а, значит, расходится и
.
2.
Исследуем
.
а)
;
б)
Покажем, что функция
монотонна.
при
(корни
квадратного трехчлена в числителе
).
Следовательно,
монотонно убывает на
.
в)
.
Отсюда
следует, что
сходится условно (так как нет абсолютной
сходимости).
Пример
6.
.
Функция
,
следовательно,
--
единственная особая точка, функция не
сохраняет знак на
.
Исследуем
.
.
Рассмотрим
.
То
есть
сходится по определению, следовательно,
сходится по признаку сравнения в
непредельной форме. А, значит,
=
-- сходится как сумма интеграла Римана
и рассмотренного несобственного
интеграла. Следовательно, исходный
интеграл сходится абсолютно.