![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
§ 1. Нормальные системы.
Определение 1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
(1.1)
где
,
– неизвестные функции от независимой
переменной x,
подлежащие
определению;
,
– известные функции от
,
заданные и непрерывные в некоторой
области. Число n
называется
порядком системы (1.1). В дальнейшем
ограничимся рассмотрением систем
второго порядка (n=2).
Определение 2. Пусть дана нормальная система уравнений
(1.2)
где
и
– заданные и непрерывные в некоторой
области функции. Пара функции (y(x);
z(x)),
определенная на (a,b),
имеющая непрерывные производные и
удовлетворяющая на (a,b)
обоим уравнениям системы (1.2), называется
ее решением.
Задача нахождения
решения (y(x);
z(x)),
удовлетворяющего начальным условиям
,
где
– заданные числа (начальные данные),
называется задачей Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть дана система
уравнений (1.2) и пусть в некоторой области
D
(x,y,z)
функции
и
непрерывны и имеют непрерывные частные
производные по y,
z.
Пусть точка
.
Тогда существует интервал (a,b)
и определенные на нем непрерывно
дифференцируемые функции y(x),
z(x),
удовлетворяющие системе (1.2) и начальным
условиям
,
причем эти функции единственны.
§ 2. Метод исключения.
Продифференцируем, например, первое уравнение системы уравнений (1.2) по независимой переменной x
Вместо системы (1.2) запишем систему уравнений (2.1)
(2.1)
Из первого уравнения
системы (2.1) следует, что
.
Подставим эту функцию во второе уравнение
(2.1):
.
Итак, исключив из системы функцию z
приходим к одному уравнению 2-го порядка,
решая которое, получаем:
.
Теперь продифференцируем найденное
выражение по x
и подставим в функцию
.
И тем самым получим
.
В результате получим решение в виде:
(2.2)
Определение 1. Общим решением системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка является совокупность функций (2.2), непрерывно дифференцируемых на некотором интервале (a,b), которые при различных допустимых значениях произвольных постоянных удовлетворяют обоим уравнениям системы уравнений (1.2). При этом в области, в которой выполнены условия теоремы существования и единственности, можно получить решение любой задачи Коши.
§ 3. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений (лос ду).
ЛОС ДУ для функции y(x), z(x) называется система уравнений вида
(3.1)
где
- непрерывные на (a,b)
функции.
Свойства решений ЛОС ДУ (3.1).
-
Сумма двух решений системы (3.1) – тоже решение этой системы.
Доказательство:
Пусть
и
– два каких-либо решения системы (3.1).
Тогда
Но
и
.
Аналогично рассматривается и второе уравнение системы (3.1).
-
Если y(x), z(x) – решение ЛОС ДУ и c – произвольная константа, то cy(x), cz(x) – тоже решение (3.1). Доказательство свойства аналогично доказательству свойства 1.
Следствие.
Если
и
- решения системы (3.1), то выражение вида
где
- произвольные постоянные, тоже решение
(3.1).
Определение 1.
Система функций
и
называется линейно независимой на
некотором интервале (a,b),
если из системы равенств
(3.2)
Следует, что
В противном случае
система функций
и
- линейно зависима на (a,b).
Определение 2.
Определитель, составленный для системы
функций
и
называется определителем Вронского и
обозначается W(x).
Итак
.
Теорема 1.
Определитель Вронского для линейно
независимой на интервале (a,b)
системы решений
и
ЛОС ДУ не равен нулю ни в одной точке (a,b).
Доказательство.
Докажем теорему
методом от противного. Предположим, что
существует точка
,
в которой
Составим линейную
однородную систему уравнений с
неизвестными
и
:
(3.3)
Так как определитель
системы (3.3) равен нулю, то система имеет
бесконечное множество ненулевых решений.
Пусть
- одно из них. С помощью этих констант и
двух линейно независимых на (a,b)
решений системы (3.1)
и
составим две функции
(3.4)
Согласно следствию
из свойств решений ЛОС ДУ функции (3.4)
являются решениями системы (3.1), которые
в силу (3.3) в точке
обращаются в нуль. Следовательно, y(x),
z(x)
– решение следующей задачи Коши:
Но таким решением
может быть только нулевое решение:
y(x)=0,
z(x)=0
при
,
т.е.
Причем
.
Это означает, что система функций
и
линейно зависима на (a,b),
что противоречит условию теоремы. Значит
наше предположение о существовании на
(a,b)
точки
,
в которой
,
неверно, что и доказывает теорему.
Определение 2.
Линейно независимые на (a,b)
решения ЛОС ДУ
и
называются фундаментальной системой
решений системы (3.1).
Теорема 2.
Если семейство функций
и
образует фундаментальную систему
решений ЛОС ДУ (3.1), то их линейная
комбинация
,
(3.5)
где
- произвольные постоянные, дает общее
решение системы (3.1)
Доказательство.
-
Выражение (3.5), согласно следствию из свойств решений ЛОС ДУ, является решением системы уравнений (3.1).
-
Докажем, что (3.5) – общее решение (3.1), т.е. докажем, что каковы бы ни были начальные условия задачи Коши
, всегда найдутся значения постоянных
такие, что выделенное из общего частное решение ЛОС ДУ:
будет удовлетворять этим условиям. Для этого подставим в (3.5) начальные условия:
(3.6)
Определителем
этой алгебраической системы линейных
уравнений является определитель
Вронского
:
,
который, согласно
теореме 1,
не равен нулю. Следовательно, система
уравнений (3.6) имеет решение
и притом единственное.