zaharchenko_v_n_kurs_fizicheskoi

Вследствие равенства частных производных

приведенная теплота является приращением функции состояния.

Таким образом, делением на температуру теплота, являющаяся характеристикой процесса, становится величиной, приращение которой от процесса не зависит. Температура приобретает свойство интегрирующего делителя для теплоты квазистатического процесса.

Свойство температуры как интегрирующего делителя нами установлено только для идеального газа. Возможность обобщения результата на любые системы выходит за пределы первого постулата термодинамики.

52

Глава 4. Второе начало термодинамики

4 - 1. Формулировки второго начала термодинамики

Второе начало термодинамики является обобщением обширного экспериментального материала.

Из опыта известно, что для любого циклического процесса, в результате которого система совершает работу, необходимо, чтобы составные части этого процесса проводились при разных температурах.

Поясним изложенное некоторыми примерами.

При работе паровой машины может реализоваться циклический процесс, содержащий следующие стадии: нагревание воды от исходной температуры Тс до температуры кипения Тb, испарение воды при температуре кипения, адиабатическое расширение водяного пара с уменьшением его температуры до Тс, конденсация водяного пара при температуре Тс. Если бы температуры всех стадий цикла оказались одинаковыми, то работа цикла была бы равной нулю.

Вдвигателе внутреннего сгорания осуществляется цикл, стадии которого упрощенно можно считать следую-

щими: адиабатическое сжатие газа от температуры Та до температуры Тb, нагревание газовой смеси в результате сгорания топлива от температуры Тb до температуры Тc, адиабатическое расширение газовой смеси до температуры Тd, выхлоп газа в атмосферу, что соответствует изобарическому

уменьшению температуры до исходной Та.

При выполнении приведенных выше циклов система не только получает от внешней среды теплоту, но и отдает ее.

Вчастности, в цикле паровой машины нагревание воды от исходной температуры до температуры кипения сопровождается поглощением теплоты системой (теплота положительна); испарение воды происходит также при поглощении теплоты системой; конденсация водяного пара происходит при выделении теплоты системой (теплота отрица-

53

тельна). В цикле двигателя внутреннего сгорания поглощению теплоты соответствует теплота, выделяющаяся при сгорании топлива, а изобарическое сжатие на последней стадии цикла сопровождается выделением теплоты системой.

Условно назовем ту часть внешней среды, от которой система получает теплоту, источником теплоты, а часть системы, которой система отдает теплоту, - стоком теплоты. Таким образом, в цикле паровой машины нагревание воды и испарение водяного пара происходит при взаимодействии системы с источником теплоты, а конденсация водяного пара - при взаимодействии со стоком теплоты. В цикле двигателя внутреннего сгорания источником теплоты служит реакция сгорания топлива, а взаимодействие системы со стоком теплоты происходит при выхлопе газа.

Анализ любого цикла, при выполнении которого совершается работа, показывает, что всегда наряду с источником теплоты имеется ее сток.

У. Томсон увидел в этом явлении, которое получило название второго закона, или второго начала, термодина-

мики, одно из фундаментальных свойств систем.

Невозможен циклический процесс, сопровождающийся производством работы системой, если имеется только источник теплоты (формулировка Томсона второго начала термодинамики, или постулат Томсона).

Назовем систему, совершающую работу в циклическом процессе, рабочим телом.

Примером рабочих тел могут служить газы и их смеси, пары и жидкости различных веществ.

Примем в качестве новой системы рабочее тело и источник теплоты, температура которого одинакова во всех точках.

В соответствии с постулатом Томсона циклический процесс с производством работы в такой системе невозможен. Следовательно, такая система не может уменьшать свою внутреннюю энергию в результате передачи энергии в

54

форме работы другим системам. Заметим, что уменьшение внутренней энергии приводит к понижению температуры системы. В результате мы приходим к новой формулировке, логически связанной с постулатом Томсона:

Система, имеющая одинаковую температуру во всех точках, не может совершать работу в циклическом процессе за счет понижения своей температуры.

Описываемая система получила название perpetuum mobile II рода, невозможность реализации которого в соответствии со вторым постулатом термодинамики аналогична невозможности реализации обычного perpetuum mobile в соответствии с первым началом термодинамики.

Р.Клаузиус использовал иной подход при формулировке второго начала термодинамики.

Для понимания формулировки Клаузиуса возьмем систему, состоящую из двух частей (подсистем), имеющих разные температуры. При контакте этих частей температуры выравниваются и общая температура, которую можно вычислить по тепловому балансу, окажется меньше температуры наиболее нагретой части и больше температуры наименее нагретой части. Используя работу внешней среды, можно понизить температуру наименее нагретой части и одновременно повысить температуру более нагретой части. Именно по этому принципу работают холодильные устройства.

Опыт показывает, что без внешнего воздействия, т.е. без совершения работы извне, нельзя добиться, чтобы наименее нагретая часть системы еще больше охлаждалась, отдавая теплоту более нагретой части.

Р.Клаузиус именно это свойство систем предложил принять в качестве второго начала термодинамики.

Теплота сама по себе, т.е. без работы внешней среды, не может переходить от части системы с более низкой температурой к части системы с более высокой темпера-

турой (формулировка Клаузиуса второго начала термодинамики, или постулат Клаузиуса).

55

Переход теплоты от менее нагретой части системы к более нагретой означал бы, что энергия (следовательно, и температура) первой уменьшалась, а энергия и температура второй увеличивалась.

По этой причине другая формулировка, связанная с постулатом Клаузиуса, может быть выражена следующим образом:

Температура более нагретой части системы не может сама по себе, т.е. без внешней работы, повышаться за счет понижения температуры менее нагретой части.

4 - 2. Равноценность формулировок второго начала термодинамики

Предложено свыше десяти различных формулировок второго начала термодинамики. Часть из них логически связана с постулатом Томсона. Поэтому, приняв за исходный любой из этих постулатов, можно получить в качестве следствия постулат Томсона.

Внешне постулаты Томсона и Клаузиуса кажутся отдаленными друг от друга. Однако любой из них можно принять за исходный, а другой оказывается следствием. В этом заключается их равноценность (эквивалентность).

Чтобы подтвердить равноценность постулатов Томсона и Клаузиуса, используем метод доказательства от про-

тивного (reductio ad absurdum).

Доказательство состоит из двух частей: вначале доказывается, что из постулата Томсона неизбежно следует постулат Клаузиуса, а затем доказывается, что из постулата Клаузиуса неизбежно следует постулат Томсона.

Приведем это доказательство.

Предположим, что постулат Томсона всегда выполним, а постулат Клаузиуса может при каких-то условиях нарушаться. Это означает, что к системе, имеющей более высокую температуру, чем у данной, можно каким-нибудь путем без использования работы внешней среды подвести теплоту, отобранную у данной системы. В результате этих действий энергия данной системы уменьшается на величину отобран-

56

ной теплоты. Далее, используя циклы с рабочим телом и систему с более высокой температурой в качестве источника теплоты, а данную систему в качестве стока теплоты, отберем поступившую к более нагретой системе теплоту. Согласно балансу энергии работа цикла и теплота, возвращенная данной системе, равны теплоте, отобранной у более нагретой системы. Таким образом, у данной системы внутренняя энергия уменьшится за счет совершенной ею работы. Более нагретая система сколько получила теплоты за счет нарушения постулата Клаузиуса, столько и отдала для осуществления циклов. Поэтому в энергетический баланс она не включается. В итоге оказывается, что данная система совершила работу за счет понижения своей энергии в циклических процессах без стока теплоты, т.е. реализован вечный двигатель второго рода, который невозможен в соответствии с постулатом Томсона. Следовательно, если выполняется постулат Томсона, то должен выполняться и постулат Клаузиуса.

Теперь предположим, что постулат Клаузиуса выполняется всегда, а при каких-либо обстоятельствах постулат Томсона может нарушаться. В этом случае можно сделать вечный двигатель второго рода и за счет понижения энергии данной системы и, следовательно, понижения ее температуры совершить работу, которая может быть получена аккумулирующей системой. Далее, найдя систему с более высокой температурой, чем у данной, можно передать ей работу из аккумулирующей системы в диссипативной форме. Например, аккумулирующая система может полученную механическую работу преобразовать в работу электризации и затем отдать ее в виде электрического тока, проходящего через проводник, погруженный в более нагретую систему, что должно повышать температуру более нагретой системы. Аккумулированную работу можно отдать более нагретой системе, используя ее для преодоления силы трения, что также приводит к повышению температуры более нагретой системы. Итогом этих действий является повышение температуры более нагретой системы за счет снижения темпера-

57

Так как работа обоих циклов одинакова, то должны различаться теплоты, подводимые к системам от тепловых источников:

Q`1 Q``2.

Если термодинамический КПД цикла с системой 1 больше, чем с системой 2, то теплота Q`1 окажется меньше теплоты Q``1.В этом случае пусть цикл с системой 1 выполняется в прямом направлении (как цикл двигателя), а цикл с системой 2 выполняется в обратном направлении (как холодильный цикл). Работа прямого цикла с системой 1 используется для реализации обратного цикла с системой 2, в чем и заключается сопряжение циклов. Таким образом, суммарная работа обоих циклов оказывается равной нулю. Однако в связи с тем, что теплота Q`1, поступающая от теплового источника к системе 1, меньше по абсолютной величине теплоты Q``1, возвращаемой тепловому источнику системой 2, в целом к тепловому источнику, температура которого выше температуры теплового стока, поступает теплота, равная разности этих теплот Q``1-Q`1. Из равенства работ обоих циклов следует:

Q`1+Q`2=Q``1+Q``2 ;

Q``1-Q`1=Q`2-Q``2 .

Последнее равенство означает, что тепловой сток теряет теплоту, равную теплоте, поступающей к имеющему более высокую температуру тепловому источнику.

Итак, возможность совместной реализации циклов Карно с разными термодинамическими КПД противоречит постулату Клаузиуса.

Следовательно, термодинамический КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела (системы).

Ранее было показано, что для квазистатического цикла Карно, проводимого с идеальным газом, термодинамический КПД равен

T1 T2 ,

T1

59

где Т1 - температура теплового источника, а Т2 - температура теплового стока.

В соответствии с теоремой Клаузиуса эта формула применима для квазистатического цикла Карно, проводимого с любой системой.

4 - 4. Теорема Карно - Клаузиуса

Теорема Клаузиуса о сопряженных циклах позволила обобщить уравнение для КПД цикла Карно, выведенное для идеального газа, на любые системы. Дальнейшим обобщением является теорема Карно - Клаузиуса:

Из всех циклов, совершаемых квазистатически в данном температурном интервале с любыми системами, максимальным термодинамическим КПД обладает цикл Карно.

Способ доказательства теоремы Карно - Клаузиуса повторяет доказательство предварительной теоремы Карно. Он заключается в определении максимальной и минимальной температур любого цикла. Эти температуры соответствуют точкам касания изотерм с контуром произвольного цикла. Обе изотермы и две адиабаты, касающиеся произвольного цикла, определяют цикл Карно, реализуемый в том же температурном интервале, что и произвольный цикл. Далее, выделив из произвольного цикла фрагмент между двумя отстоящими на бесконечно малом расстоянии друг от друга адиабатами и заменив фрагменты произвольного цикла бесконечно малыми изотермами, сравниваются внутренние изотермы с изотермами цикла Карно, описанного вокруг произвольного цикла. Так как максимальная температура внутреннего бесконечно малого цикла Карно меньше температуры описанного цикла, а минимальная температура внутреннего цикла Карно больше минимальной температуры описанного цикла, то термодинамический КПД фрагмента произвольного цикла всегда оказывается меньше КПД цикла Карно, описанного вокруг произвольного цикла. Из этого следует, что термодинамический КПД любого произвольного цикла меньше КПД цикла Карно, проводимого в тех же температурных пределах.

60