1.3 .Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событийи условные вероятности наступления события А при наступлении событияH_i .

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

.

Доказательство.

Т.к. события образуют полную группу событий, то событие А можно представить в виде следующей суммы:

Т.к. события несовместны, то и событияAH_i тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

При этом

Окончательно получаем:

Теорема доказана.

Формула Бейеса. (формула гипотез)

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез с известными вероятностями их наступления. Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности .

Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы относительно события А, т.е. условные вероятности.

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Эта формула называется формулой Бейеса.

Доказательство.

По Теореме умножения вероятностей получаем:

Тогда если .

Для нахождения вероятности P(A) используем формулу полной вероятности.

Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью, то формула Бейеса принимает вид:

1.4. Закон распределения дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически (в виде многоугольника распределения).

Табличное задание закона распределения:

- возможные значения случайной величины;

- вероятности появления случайной величины.

Аналитическое задание закона распределения:

Биномиальное распределение, определяемое законом Бернулли

k = 0, 1, 2, …, n – количество возможных появлений событий

q = 1-p – вероятность не появления событий.

Непосредственное применение формулы Бернулли при большом числе испытаний связано с громоздкими вычислениями. Поэтому при больших n вместо нее используют приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа

Формула Пуассона

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность p достаточна мала, причем их произведение а=np не мало и не велико (p<0,1 npq<10), то вероятность P_n(m) можно приближенно найти по формуле Пуассона

Распределение Пуассона, определяемое асимптотической формулой Пуассона:

Где - интенсивность потока событий.

Локальная формула Муавра-Лапласа

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятности p и q не очень близки к нулю (n>100 npq>20), то вероятность P_n(m) можно приближенно найти по формуле Муавра_Лапласа

где x=, -функция Гаусса