Интегрирование тригонометрических выражений
.docИнтегрирование тригонометрических выражений
1. Интегралы вида .
Эти интегралы с помощью известных тригонометрических формул:
приводятся к интегралам
Пример. Найти
Так как , то
2. Интегралы вида , где n и m - натуральные числа.
Если п и т четные, то интегралы находятся с помощью тригонометрических
формул
Если хотя бы одно из чисел пит нечетное, то от нечетной степени отделяется множитель первой степени и вводится новая переменная.
Пример. Найдите . Имеем
3. Интегралы вида , где R(u, v) - рациональная функция двух аргументов u и v.
Покажем, что интеграл может быть сведен к интегралу от рациональной функции аргумента Действительно,
Из подстановки следует, что Таким образом
где - рациональная функция.
Пример.
4. Интеграл вида .
Может быть сведен к интегралу от рациональной функции аргумента
(или ). Заметим, что
или .
Оставшаяся вне дифференциала дробь выражается через с помощью формул
или .
Пример.
5. Интегралы вида или .
Отделяется множитель (или ) и представляется как (или ). Получается разность двух интегралов, один из которых берется заменой (или ), а во втором, при необходимости, снова отделяют (или ).
Пример.
6. Особые приемы.
К числу особых приемов, применяющихся при интегрировании тригонометрических выражений, может быть отнесено представление «тригонометрической единицы».
Пример.
-
Задания для самостоятельного выполнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
12)
13)