ДУ / Lektsia1_DU_1
.pdfЛекция №1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Часто, рассматривая явления, мы не можем непосредственно установить вид исследуемой зависимости у от х. Однако мы можем установить зависимость между функцией, её производными и аргументом.
Рассмотрим следующие две задачи.
1. Задача о радиоактивном распаде. Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества массы М пропорциональна количеству нераспавшегося вещества, т.е.
dM = −k M , dt
где k − коэффициент распада, который устанавливается экспериментально.
2. Задача о падении тела. С некоторой высоты падает тело массой т. Требуется установить по какому закону изменяется путь S, проходимый данным телом.
Согласно второму закону Ньютона имеем
|
d 2 S |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dS 2 |
|||
m |
|
|
= F , |
где F |
= m g − |
Fсопр , а Fсопр = kV |
|
= k |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||
dt |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
dS 2 |
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
d 2 S |
|
|
|
|
|||
Таким образом, получим |
m |
|
= mg − k |
|
. |
|
|
|
|
||||
dt 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
Полученные соотношения представляют собой дифференциальные для нахождения функций M (t) , S (t) и являются математическими соответствующих физических процессов.
Определение дифференциального уравнения
.
уравнения
моделями
Определение 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её
производные: y ′, y ′′,K , y ( n ) . |
|
|
|
||
Его общий вид |
F ( x , y , |
y′, y′′,K, y( n ) ) = 0 . |
|
||
|
|
(1) |
|||
Дифференциальные уравнения, у которых функция у(х) является функцией |
|||||
одного |
переменного, |
называются |
обыкновенными |
дифференциальными |
|
уравнениями. |
|
|
|
|
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.
Например, для первой задачи – уравнение первого порядка, для второй – уравнение второго порядка.
Определение 3. Решением дифференциального уравнения (1) называется функция y = ϕ (x) , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Замечание 1. Наряду с термином “ решение дифференциального уравнения“
употребляется термин |
“ интеграл ДУ“, под |
которым, |
как |
правило, понимается |
|||||||
решение дифференциального уравнения, полученное |
неявно, т.е. |
в |
виде |
||||||||
Φ(x, y) =0. |
|
|
|
|
|
y′′+ y = 0 |
|
||||
Например, |
для |
дифференциального |
уравнения |
функцию |
|||||||
y = sin x обычно |
называют решением, |
а |
для |
ДУ |
y′ = − |
x |
|
− выражение |
|||
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 =1 обычно называют интегралом дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка |
|
|
Общие понятия. Теорема существования и единственности |
|
|
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка (ДУ-1) |
|
|
F (x , |
y , y′) = 0 . |
(2) |
Если уравнение можно разрешить относительно производной, то |
|
|
y ′ = |
f ( x , y ) , |
(3) |
где функция f (x , y) определена в некоторой области D. |
|
|
Для примера рассмотрим уравнение |
y′ = 2 xy . Нетрудно убедится в том, что |
|
его решением является функция y = Ce x 2 |
, где С − произвольная постоянная. И на |
любых других примерах можно убедится в том, что любое решение ДУ-1 есть бесконечное множество функций, которые определяются формулой, содержащей одну произвольную постоянную С, т.е. имеют вид
y = ϕ (x , C ) или Φ( x , y , C ) = 0 . |
(4) |
Определение 4. Общим решением или общим интегралом уравнений |
(2) или |
(3)называется множество функций (4) удовлетворяющих условиям:
1.Обращают в тождество уравнение при любых значениях С;
2.Для любой точки M0 (x0 ; y0 ) D можно найти такое значение постоянной
0 0 =ϕ (x0 , C0 ) или Φ( x0 , y0 , C0 ) = 0 .
Давая произвольной постоянной С различные числовые значения, из общего решения получим так называемые частные решения.
Для того, чтобы из общего решения выделить конкретное частное решение, необходимо задать начальное условие, т.е. условие вида
y |
|
x=x0 |
= y0 или y(x0 ) =y0 . |
(5) |
|
||||
|
||||
В этом случае задачу о нахождении частного решения принято называть |
||||
задачей Коши. |
|
|
||
Пример 1. Решить задачу Коши: |
y′ = 2 xy , y(0) = 5 . |
y = Ce x 2 . |
||
Как было показано ранее, общее решение имеет вид |
||||
Определим константу С, исходя из начального условия |
||||
5 = Ce0 C =5 |
y = 5ex2 − решение задачи Коши. |
|||
Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении |
y′ = f (x , y) функция |
f (x , y) непрерывна в некоторой области D, содержащей точку M0 (x0 ; y0 ) , то
существует решение y = ϕ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному
условию y(x0 ) =y0 . Если, кроме этого, в этой области
∂f
непрерывна производная ∂y , то решение уравнения единственно.
Пример 2. Найти область единственности решения ДУ
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
y′ = |
(y −1) |
|
e x . |
|
||||||||||
|
3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x , y) = |
3 |
(y −1) |
|
ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь |
3 |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
e x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y − 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
и при y = 1 возможно нарушение единственности решения. |
Во всех остальных |
||||||||||||||||||
точках решение единственное. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уравнения с разделяющимися переменными |
||||||||||||||||||
Рассмотрим ДУ-1 (3). Если y′ = |
dy |
, |
|
то уравнение (3) можно представить в |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f ( x , y)dx |
− dy = 0 . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Если к тому же |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f (x , y) = − |
M (x , y) |
|
|
|||||||||||||
то |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N(x , y) , |
|
||||||
|
|
|
|
M (x , y)dx + N (x , y)dy = 0 . |
(6) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть в уравнении (6) выполняются условия: |
|
||||||||||||||||||
|
M(x, y) = f1(x) f2 (y) ; N(x, y) = f3 (x) f4 (y) , |
||||||||||||||||||
тогда оно примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f1 ( x) f2 ( y)dx + f3 (x) f4 ( y)dy = 0 . |
(7) |
Определение 5. Уравнение (7) называется уравнением с разделяющимися переменными.
Разделим уравнение (7) на произведение f 2 ( y ) f 3 ( x ) , тогда получим
f1 (x) dx + f4 ( y) dy = 0. f3 (x) f2 ( y)
Интегрируя уравнение (8), получим его общий интеграл
∫ f1 (x) dx + ∫ f4 ( y) dy = C . f3 (x) f2 ( y)
(8)
(9)
Замечание 2. Особого внимания требуют точки, где обращаются в нуль функции f 2 ( y ) и f 3 ( x ) . Пусть, например, f2 ( y0 ) = 0 . Тогда уравнение (7) наряду с решением (9) имеет и решение y = y0 . Аналогично, если f 3 ( x0 ) = 0 , то x = x0 является решением уравнения (7).
Пример 3. Найти общее решение уравнения (xy2 −x)dx −(x2 y −4y)dy =0
Преобразуем уравнение:
x( y2 −1)dx − y(x2 −4)dy = 0
или
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
ydy |
|
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− |
4 |
|
|
y |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
при этом x ¹ ±2 ; y ¹ ±1 . Интегрируя уравнение, получим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
ln | x 2 − 4 | − |
1 |
ln | y 2 −1 | = |
1 |
ln |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x 2 |
− 4 |
|
|
= ln |
|
C |
|
|
|
|
|
x 2 − 4 = C ( y 2 −1) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y 2 |
−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ±1 , а решение вида |
||||||||||||||
К этому решению нужно добавить решение вида |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = ±2 входит в общее решение при C = 0 . Окончательно, |
имеем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− 4 |
|
|
= C ( y |
2 |
−1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ±1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 4. Решить задачу о радиоактивном распаде вещества: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dM |
= −k M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разделим переменные: |
|
|
dM |
= −k d t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = C e − k t . |
|
||||||||||||||||||||
Интегрируя, |
получим |
|
ln M = −kt |
|
+ln | C | или |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если известна начальная масса M0 |
|
|
при |
t = 0 , тогда |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M 0 = Ce 0 C |
|
|
|
= M 0 и M = M 0e−k t . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определим коэффициент k из наблюдений. Пусть за время t1 масса |
вещества |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стала равной M1. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
M 0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
M |
1 |
= M |
0 |
e−k t1 |
|
|
ln |
|
|
= −k t k = |
ln |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
M1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Таким образом, получили конкретный вид закона изменения заданной массы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
радиоактивного вещества в зависимости от времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Однородные дифференциальные уравнения |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение 6. Функция f (x , |
y) называется однородной функцией, |
если t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполняется |
f (t x , t y) = f (x , |
y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Например, функция |
f (x , y) = |
|
|
xy |
|
|
|
является однородной, так как |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
f (t x , t y) = |
|
|
|
|
|
t xt y |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
xy |
|
= f (x , y) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
2 |
x |
2 |
|
+t |
2 |
y |
2 |
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Определение 7. Уравнение вида |
|
|
|
|
y′ = |
|
|
f (x , y) называется однородным |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнением, |
если |
f (x , |
y) |
однородная функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что решение однородного уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными.
По условию f (t x , t y) = f (x , y) . Положим в этом тождестве
f (x , y) = |
|
y |
|
f 1, |
|
|
|
|
|||
|
|
x |
и уравнение примет вид
t = 1 , тогда x
dy |
= |
|
y |
|
|
f 1, |
|
. |
|
dx |
|
|||
|
|
x |
|
u = |
y |
|
y = u x |
и y |
′ |
′ |
Сделаем замену |
|
||||||
|
x |
|
|
= u x + u . |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u + x |
du |
|
|
= f (1, u) |
|
|
|
|
|
du |
|
= |
dx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (1, u) −u |
x |
||||||||||
|
|
|
|
Интегрируя его, |
а затем, |
|
подставляя |
u = |
y |
, находим решение. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Аналогично, как и для уравнений с разделяющимися переменными, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
если |
f (1, u0 ) −u0 = 0 , то однородное |
|
уравнение |
обладает решением u = u0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
y = u 0 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Пример 1. Определить кривую, проходящую через |
точку M 0 (4 ; 3) , если |
||||||||||||||||||||||||||||||
подкасательная АВ любой её точки |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
есть среднее арифметическое координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ M ( x ; y ) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Если M ( x ; y ) |
− текущая точка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
кривой, то по условию задачи, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
||||||||||||||||||
получаем уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgϕ = y′ |
|||||||||||||
|
|
|
|
y |
= |
x + y |
y′ = |
2 y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
О А |
|
В |
|
х |
||||||||||||||
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замену y = ux и |
||||||||||
|
|
|
|
Получили |
однородное |
уравнение, |
|
поэтому |
делаем |
||||||||||||||||||||||||||
y |
′ |
|
|
|
′ |
Тогда дифференциальное уравнение примет вид |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= u x + u . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ′x = |
|
2 u |
|
|
− u . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Разделяем переменные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + u )d u |
= |
d x |
|
d u |
+ |
2 d u |
= |
d x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (1 − u ) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
u |
|
1 − u |
|
|
x |
|
|
||||||||||
и интегрируем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
u |
|
− 2 ln |
|
1 − u |
|
= ln | x | + ln |C | ln |
|
|
u |
|
= ln | С x | . |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(1 − u)2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Выполнив обратную замену u = |
y |
|
|
y |
|
|
|
y 2 |
|||||||||||
|
, получим |
|
|
|
= C x |
1 − |
|
. |
|||||||||||
x |
|
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Окончательно, учитывая, что кривая проходит через заданную точку и, подставляя в общее решение ее координаты
3 |
= 4 С |
|
|
− |
3 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
, |
|||
4 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
находим С = 3 и получаем искомое уравнение кривой у = 3( х − у) 2 .