новая папка 1 / 543116
.pdf3098
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ»
Задания к типовому расчету
по дисциплине «Комплексный анализ»
Ю.И. Денисенко
Липецк Липецкий государственный технический университет
2015
УДК 515.17(07) Д332
Рецензент-канд. физ.-мат. наук, проф. Ю.Д. Ермолаев
Денисенко, Ю.И.
Д332 Типовой расчет по дисциплине «Комплексный анализ».[Текст]: задания к типовому расчету по дисциплине «Комплексный анализ» / Ю.И. Денисенко. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2015. – 17 с.
Метод. указ. соответствуют дисциплине «Комплексный анализ» и содержат варианты заданий к типовому расчету по данной дисциплине. «Комплексный анализ»
Педназначены для самостоятельной работы студентов направлений 010800.62 «Механика и математическое моделирование» и 220100.62 «Системный анализ» по дисциплине «Комплексный анализ» и студентов всех специальностей, на которых изучается теория функций комплексного переменного.
Библиогр. 7 назв.
© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2015
4
Справочный материал
Тригонометрические и гиперболические формулы
1.sh z = – i sin iz;
2.сh z = cos iz;
3.sin iz = – i sh z;
4.cos iz = ch z;
5.sin 2z = 2 sin z cos z;
6.cos 2z = cos 2 z – sin 2 z = 2 cos 2 z – 1 = 1 – 2 sin 2 z;
7.cos 2z = ½(1 + cos2z);
8.sin 2z = ½ (1 – cos2z);
9.sin z1 cos z2 = ½ [sin (z1 - z2) + sin (z1 + z2)];
10.cos z1 cos z2 = ½ [сos (z1 - z2) + cos (z1 + z2)];
11.sin z1 cos z2 = ½ [sin (z1 - z2) + sin (z1 + z2)];
12.ch 2 z – sh 2 z = 1;
13.sh 2z = 2 sh z ch z;
14.ch 2z = ch 2z + sh 2z;
15.sh (z1 + z2) = sh z1 ch z2 + sh z2 ch z1;
16.sh (z1 - z2) = sh z1 ch z2 - sh z2 ch z1;
17.ch (z1 + z2) = ch z1 ch z2 + sh z2 sh z1;
18.ch (z1 - z2) = ch z1 ch z2 - sh z2 sh z1;
19.sh z1 sh z2 = ½ [сh (z1 - z2) – ch (z1 + z2)];
20.ch z1 ch z2 = ½ [сh (z1 - z2) + ch (z1 + z2)];
21.sh z1 ch z2 = ½ [sh (z1 - z2) + sh (z1 + z2)].
Некоторые элементарные функции комплексного переменного
Корень n –й степени:
n__ |
n__ |
|
w = z |
= r |
( cos((φ + 2πk) /n) + sin((φ + 2πk) /n), где k = 0, ±1, ±2,…, |
______ |
|
|
r = x2 |
+ y2 , |
y |
Arctg . |
||
|
|
x |
Показательная функция:
w = ez = ex+iy = ex (cos y +i siny).
Логарифмическая функция:
w = Lnz = ln|z| + i Arg z = ln r + i (φ + 2πk).
Тригонометрические функции:
5
|
iz |
iz |
|
|
|
|
iz iz |
|
|
|
|
sinz |
|
|||||||||||
sinz |
e e |
|
, |
cosz |
e |
e |
|
, |
|
tgz |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
cosz |
|||||
Гиперболические функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z |
e |
z |
|
|
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
shz |
|
|
|
|||||
shz |
|
|
|
, chz |
e |
e |
, |
|
|
thz |
. |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
chz |
||||||
Обратные тригонометрические функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
_____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_____ |
|||||||
Arcsinz = –iLn(iz+ 1 –Z2 ), |
Arccosz = –iLn(z+ Z2 – 1), |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
1 iz |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
z i |
||||||||||
ArctgzLn |
, |
|
ArcctgzLn |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 1 iz |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z i |
|||||||||||
Обратные гиперболические функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
_____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
_____ |
|||||||||||
Arcshz = Ln(z+ Z2 – 1), |
|
Arcchz = Ln(z+ Z2 + 1), |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 1 z |
|
Arcthz |
|
1 |
Ln |
z 1 |
. |
|
|
|
|||||||||||
ArcthzLn |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
z 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теоретические вопросы
1.Комплексные числа, их свойства. Множества на плоскости, области и кривые.
2.Функции комплексного переменного: предел функции, непрерывность, модуль непрерывности.
3.Элементарные функции комплексного переменного и их свойства.
4.Аналитическая функция комплексного переменного и их свойства.
Условие Коши-Римана.
5.Интеграл по комплексному переменному, сведение к интегралу по действительному переменному.
6.Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши, формулы Коши для производных.
6
7.Разложение аналитической функции в ряд Лорана, формулы Коши для коэффициентов.
8.Изолированные особые точки: полюс, порядок полюса.
9.Изолированные особые точки: существенная особая точка, бесконечно удаленная точка.
10.Вычеты, определение вычета. Теоремы Коши о вычетах.
11. Применения вычетов к вычислению |
интегралов по комплексному |
переменному. |
|
12.Применения вычетов к вычислению определенных интегралов.
13.Применения вычетов к решению дифференциальных уравнений.
14.Вычеты, применения вычетов к решению систем дифференциальных уравнений и интегральных уравнений.
Теоретические упражнения
1. Доказать теорему об извлечении корней из комплексных чисел.
2.Тригонометрическая форма комплексных чисел. Вывести формулы косинуса и синуса тройного аргумента.
3.Показательная форма комплексных чисел. Вывести формулы умножения, возведения в степень.
4.Определить понятия односвязной и многосвязной областей.
Рассмотреть множество {| z - 1| < 5, | z – 2 + i| > 2, | z - i| > 1}.
5.Определить понятия однозначной, многозначной функции комплексного
переменного. Рассмотреть функции w = z , w = Lnz , w = ez , w = z2,
w = Arg z.
6.Доказать теорему о периодичности показательной функции.
7.Вывести формулы логарифма произведения и логарифма частного.
8.Вывести формулы связи между sh z и sinz, сh z и cosz, а также основное гиперболическое тождество.
9. Обратные тригонометрические функции. Вывести формулы |
Arcsinz, |
Arccosz, Arctgz. |
|
7
10.Обратные гиперболические функции. Вывести формулы Arcshz, Arcchz Arcthz.
11.Доказать признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости ряда комплексных чисел.
12.Степенная функция w = zn. Какова область конформности у этой функции? Какова область однолистности у функции w = zn?
13.Логарифмическая функция w = Ln z? Какова область конформности у этой функции? Сколько ветвей имеет функция w = Ln z?
Имеет ли логарифмическая функция точки ветвления?
14.Доказать теорему о сведении интеграла от функции комплексного переменного по кривой к определённому интегралу.
15.Доказать теорему о независимости интеграла от пути интегрирования.
16.Доказать теорему об общем виде первообразной функции комплексного переменного. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.
17.Понятие ряда Лорана. Что представляет собой в общем случае область сходимости ряда Лорана?
18.Понятие нуля функции, порядка кратности нуля.
19.Понятие изолированной особой точки однозначных функций. Понятия полюса и существенно особой точки.
|
|
Задание № 1 |
|
|
Найти все значения Z и изобразить их на комплексной плоскости: |
||
1 |
а) z6 = – 64, |
б) z4 + 4z2 +3 = 0. |
|
|
_ |
б) z4 +5z2 + 6 = 0. |
|
2 |
а) z5 = −i − 3, |
||
3 |
а) z4 = − 2+ 2i, |
б) z6 |
+5z3 + 6 = 0. |
|
3_____________ |
б) z6 |
+ z3 −6 = 0. |
4 |
а) z = 8 cos600 +isin600 , |
||
|
_ |
б) z4 − 4iz2 −3 = 0. |
|
5 |
а) z5 = −1+ i, |
||
6 |
а) 16z4 = –81, |
б) z4 |
+iz2 + 6 = 0. |
8
7 |
а) z4 = 4i + 4, |
б) z6 +3z3 − 4 = 0. |
|
_____________ |
|
8 |
а) z = 9 cos300 –isin600 , |
б) z4 −5iz2 − 4 = 0. |
|
4_____ |
б) z4 −5z2 + 4 = 0. |
9 |
а) z = 4− 4i , |
|
|
__ |
б) z6 −iz3 + 6 = 0. |
10 |
а) z4 +1+ i 3 = 0 , |
|
|
5 ________ |
б) z4 −7z2 −8 = 0. |
11 |
а) z = −1+ i 3, |
|
12 |
а) z4 = -1, |
б) z4 −3iz2 − 2 = 0. |
|
3 _ |
б) z4 + 625 = 0. |
13 |
а) z = i , |
|
|
4__ |
__ |
14 |
а) z = 1 , |
б) z4 +1+ i 3 = 0. |
|
3 __ |
б) z6 − z3 −12 = 0. |
15 |
а) z = - i , |
|
|
4___ |
б) z4−3iz2 +18 = 0. |
16 |
а) z = -16 , |
|
|
3 __ |
б) z6 −7iz3 −12 = 0. |
17 |
а) z = 8i , |
|
|
3 ____ |
б) z4 −6iz2 −8 = 0. |
18 |
а) z = -27i , |
|
|
4 __________ |
б) z6 +iz3 + 6 = 0. |
19 |
а) z = −8 + i 8 3, |
|
20 |
а) z4 = – 625, |
б) z4 – iz2 + 2 = 0. |
|
|
Задание № 2 |
|
Вычислить значение функции w= f (z) в точке z0: |
|
1 |
w = Lnz, |
z0 = −1−i. |
2 |
w = cos2z, |
z0 = 1+i. |
|
|
_ |
3 |
w = shz, |
z0= 3− 3i. |
4 |
w = 2z, |
z0 = 1+i. |
5 |
w = sinz, |
z0 = 2− 2i. |
6 |
w = chz, |
z0 = −2− 2i. |
9
7w = 3z−1,
8w = Arcsinz,
9w = Arccosz,
10w = Arcshz,
11w = 5z +1,
12w = sh2z,
13w = Arcchz,
14w = cos4z,
15w = Arcsinz,
16w = Arcshz,
17w = (–2)z +1,
18w = sh3z,
19w = Arcthz,
20w = cos2z,
z0 = i.
|
_ |
z0= |
2. |
|
_ |
z0= |
5. |
|
_ |
z0= |
3 + 3i. |
z0 = –i. |
|
|
_ |
z0= |
3 + 3i. |
|
_ |
z0= |
– 3 + 3i. |
z0 = |
–1+i. |
|
_ |
z0= |
– 5. |
z0= |
2 + 2i. |
z0 = i. |
|
|
_ |
z0= |
3 – 3i. |
z0= |
– 2 – 2i. |
z0 = |
–1+i. |
|
Задание № 3 |
|
||
|
Построить на комплексной плоскости области: |
|||
1 |
| z + 2 – 3i | ≤ 5, Re z > –2. |
2 |
Re (z (1 – i )) < 2, Im z < - 2. |
|
3 |
|z +i| ≤1, –3π/4 < arg z < –π/4. |
4 |
Rez + Imz ≤1, |z | ≥1. |
|
5 |
|z −5| ≥1, , 0 ≤Im z ≤ 5. |
6 |
0≤Rez ≤ 3, 0 ≤Im z ≤ 2,Rez ≤ Imz. |
|
7 |
| z - 2| - | z + 2| < 2, Re z > 2. |
8 |
|z +1| ≤1, |
| z + 2| < 2. |
9 |
| z + 1| < |1 – z |, Im z < -1. |
10 |
Re z > i, |
π/4 < arg (z – i) < π/2. |
11 |
Rez > 1, Re(1/z) <1/2. |
12 |
| z + 2 – 3i | ≤ 5, Rez > –2. |
10
13 |
| z - i| + | z + i| < 4, Im z < 1. |
14 |
| z –5 – 3i | ≤ 5, Imz < 3. |
15 |
0≤ Imz ≤ 2, |z −2i| ≥1. |
16 |
Rez > 0, | z | > 1 – Rez. |
17 |
2≤ Rez ≤ 4, |z −2| ≥1. |
18 |
−2 ≤ Imz ≤ 0, | z – 3i | ≤ 5. |
19 |
Re z≤ 1, Imz≥ 0. |
20 |
0 ≤ Imz ≤ 3, | z –2 – 3i | ≤ 5. |
|
Задание № 4 |
||
|
Найти образ линии (области) при указанном отображении w = f (z): |
||
1 |
arg z2 = π/2, w= 1 – z3 . |
2 |
–π/6 < argz < π/6, w = z3. |
|
|
|
_ |
3 |
Rez| ≤ Imz +1, w = = ½ (z + i) . |
4 |
Rez + Imz ≤1, w = z + z. |
5 |
|z −2| ≥1, w= 2z −i. |
6 |
0≤Rez ≤ ln2, 0 ≤Im z ≤ 2, w = ez. |
7 |
Rez ≤ 0, 0 ≤ Imz, w= iz −2. |
8 |
|z −1| ≤ 1, w= z-1 + i. |
9 |
–π/2 < argz3 < π/2, w = z–1. |
10 |
|z + 1| ≤ 3, w= (z + i) / (z – 2) . |
|
arg z = –π/4, w= (z –i) -1. |
|
_ |
11 |
12 |
arg z = π/3, w= z / z. |
|
13 |
Rez ≤ 1, w= z /(z + 1) . |
14 |
2 ≤ | z | ≤ 4, 0 ≤ Imz, w = iz + 1. |
15 |
1≤ Rez ≤ 2, w = z2 − 1. |
16 |
Imz > 1, w= 4z /(z + 1) . |
17 |
Re z≤ Imz, w = 2z -1 − i. |
18 |
−2 ≤ Imz ≤ 0, w = (z + 2i)2. |
19 |
2Re z − 2Imz −1≥ 0, w= z2. |
20 |
0 ≤ Imz ≤ 2, w= z2 −3. |
Задание № 5
Определить вид кривой и построить её на комплексной плоскости:
1 |
z = sht + i cht, |
0 ≤ t ≤ 2. |
2 |
z = cos t – i sint, |
π/2 ≤ t ≤ 3π/2. |
3 |
z = sect + i tgt, |
π/6 ≤ t ≤ 3π/4. |
4 |
z = cht + isht, |
0 ≤ t ≤ 2. |
5 |
z = 2t +5 + it, |
0 ≤ t ≤ 2. |
11
6z = t2 + it4,
7z = th t + i ch–1t,
8z = cost + i sint,
9z = t +1 – it,
10z = 2eit + ½e–it,
11z = 3ch2t + i2sh2t,
12z = 4cosect + i2ctgt,
13z = 3eit – ½e–it,
14z = 2ch3t + i2sh2t,
15z = t – 2 + i(t2 –4t + 5),
16z = 2e2it – e–2it,
17z = 2t2 – 2t + 3+ i(t2 + t + 4),
18z = t2 – 4t + 5+ i(t2 + t + 4),
19z = t2 + t + 1+ i(2t2 + 2t + 3),
20z = – 2eit + e–it,
– ∞ < t < ∞.
0 ≤ t ≤ 3.
π/3 ≤ t ≤ 3π/2.
0 ≤ t ≤ 2.
–∞ < t < ∞.
–∞ < t < ∞. π/3 ≤ t ≤ 3π/4.
–∞ < t < ∞.
–∞ < t < ∞.
–∞ < t < ∞.
–∞ < t < ∞.
–∞ < t < ∞.
–∞ < t < ∞.
–∞ < t < ∞.
–∞ < t < ∞.
Задание № 6
Найти область сходимости ряда:
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
(z |
2) |
n |
|
|
|
|
(z |
3) |
2n |
|
|||||
1 а) |
|
|
|
z |
|
|
; |
|
б) |
|
|
|
|
. |
11 |
а) (n 5)z2n ; |
б) |
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|||||||||||
2n |
|
|
|
n 1 2 |
|
n9 |
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
n 0 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(z 5) |
|
|
|
|
(n 3)zn 2; |
|
|
|
|
|
(z 4) |
2n . |
||||
2 а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5n |
; |
б) |
n |
|
. |
|
|
12 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n 0 |
(n |
1)z |
|
|
|
|
n 1 |
3 |
|
|
|
|
|
n 2 |
n 1 |
n 8 |
|
|
|
|
12