новая папка 1 / 371006
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕГОСУДАРСТВЕННОЕБЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГОПРОФЕССИОНАЛЬНОГООБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Решение задач по оптике
(интерференция света)
Учебно-методическое пособие
Составители: А. Е. Гриднев, А. В. Меремьянин, В. Е. Рисин
Воронеж Издательский дом ВГУ
2015
Утверждено научно-методическим советом физического факультета 23 апреля 2015 г., протокол № 4
Рецензент доцент Вахтель В.М.
Подготовлено на кафедре общей физики физического факультета Воронежского государственного университета
Рекомендовано студентам 2 курса дневного отделения физического факультета
Для направления 011800 Радиофизика и электроника
2
Цель данного учебно-методического пособия – помочь студентам освоить приёмы решения задач по теме «интерференция света». Изложен минимум теоретического материала, необходимого для решения задач. Даны примеры решения характерных задач, приведены тексты задач [1] для самостоятельного решения.
Убедительная просьба к студентам: соблюдайте последователь-
ность проработки учебного материала!
Признаком интерференции, возникающей при наложении когерентных волн, является неравенство суммарной интенсивности I сумме интенсивностей отдельных волн: Ǥ
При двухлучевой интерференции монохроматических волн с одина-
суммарная интенсивность ݐ ǡ ݐ ǡ |
|||||||||||||||||
ковыми частотами |
ω: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
–ʹ |
|
|
ǡ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
вые |
ʹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ǡ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
интерференционный член, |
|
|
|
волно- |
||||||
источников в |
ǡ |
|
радиус-векторы, |
проведённые от соответствующих |
|||||||||||||
|
векторы, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точку наложения волн.
В зависимости от разности фаз колебаний ݐ ݐǤ
ʹ ǡʹ Ǥ
Чем больше и меньше , тем заметнее интерференция. Качество интерференционной картины, её заметность характеризуется функцией видимости
ǡ Ǥ
Очевидно, функция видимости максимальна, когда Ǥ В
3
этом случае ǡ . При отсутствии интерференции ʹ Ǥ В большинстве используемых интерференционных схем обеспечивается равенство интенсивностей когерентных волн. В этом случае (1) запи-
шется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
среде, |
|
|
|
|
Если обе волны ʹ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(2) |
||
ʹ Ȁ Ǥ |
распространяются в одной |
|
то |
ȁ ȁ ȁ ȁ |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
Тогда разность фаз колебаний: |
|
|
|
|
||||||
ȟ |
разность хода |
лучей. |
|
|
|
ʹ ȟȀ ǡ |
|
||||
|
|
|
|
при ʹ ȟȀɉ ʹ ǡ ˒˓ˋ ʹ ȟȀɉ ʹ .
Отсюда получим условия:
ȟ – для интерференционных максимумов,
ȟ Ȁʹ – для минимумов ǡ ǡʹǡ͵ǡǥǤ
Если же одна из волн распространяется в среде с показателем преломления, а другая – в среде с показателем , то в этом случае разность фаз
ʹ |
|
|
|
|
ʹ |
|
ʹ |
ȟˑ˒˕ǡ |
|
|
|
|
где оптический путь первого луча, оптический путь второго луча, ȟˑ˒˕ оптическая разность хода лучей, длина волны света в вакууме.
Тогда условия интерференционных максимумов и минимумов запишутся в следующем виде:
ȟˑ˒˕ Ǣ ȟˑ˒˕ Ȁʹ ǡ |
(3) |
целое число, которое называют порядком интерференции.
Если рассмотреть отношение οȀ, то оно показывает, сколько длин волн укладывается в разности хода. Если это отношение – целое число, то будет максимум интерференции. Если «полуцелое» – будет минимум. Если нечто промежуточное – будет некая «промежуточная» ин-
4
тенсивность, также определяемая формулой (2).
Задача 1. Система состоит из двух точечных когерентных источников 1 и 2, каждый из которых излучает равномерно по всем направлениям в плоскости рисунка 1. Расстояние между источниками d, длина волны излучения λ. Излучение источника 2 отстаёт по фазе на от излучения источника 1. Найти углы θ, в направлении которых интенсивность суммарного излучения будет максимальна (считать, что точка наблюдения P достаточно далека от источников).
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
32 |
θ |
|
|
|
d |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
||
Запишем уравнения волн, излучаемых источниками 1 и 2: |
||||||||
Разность |
ݐ ǡ |
|
ݐ |
|
|
Ǥ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
фаз колебаний в точке P:
Ǥ
Учтём, что условие интерференционных максимумов: ʹ Ǥ Из этих соотношений получим значения углов, в направлении которых будут
наблюдаться интерференционные максимумы: .
Рассмотрим множество когерентных источников, расположенных на одной прямой (рис. 2). Если расстояния d и фазовые сдвиги α между соседними источниками одинаковы, то в результате многолучевой интерферен-
5
ции в направлении будет излучаться узкий пучок с высокой концентрацией энергии. Если при этом менять α, то пучок будет менять направление, сканируя пространство. Примерно таков принцип действия радиолокацион-
ных станций с фазированной решёткой.
Различные реальные источники излучают свет независимо друг от друга, и их излучение является некогерентным. Поэтому для наблюдения интерференции поступают следующим образом. Излучение одного источника с помощью различных оптических приспособлений делят на два пучка. Эти пучки затем сводят в одну область пространства, где они накладываются и интерферируют. В настоящее время известно множество интерференционных схем, построенных таким образом.
Рассмотрим для примера схему с бипризмой Френеля, которая представлена на рисунке 3.
θ |
B |
|
C |
||
|
|
α |
|
|
|
|
כ |
2α |
Экран |
כ |
|
|
כ |
|
|
|
θ′ |
M |
|
a |
b |
||
N |
|||
|
|
Рис. 3. Интерференционная схема с бипризмой Френеля
Две призмы с малыми преломляющими углами ˋ склеены основаниями. Источник S в виде светящейся нити (или щели), перпендикулярной плоскости рисунка. Для малых преломляющих углов φ (когда
6
|
угол отклонения луча призмой |
α не зависит от угла падения и определя- |
|||||||||
|
|||||||||||
ется выражением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
(4) |
где |
|
показатель |
преломления стекла призмы; угол |
|
θ задаётся в радиа- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Лучи из источника S, падающие на верхнюю половину бипризмы, бу- |
||||||||||
нах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дут отклоняться вниз на угол α. Эти лучи будут приходить в область BM |
|||||||||||
экрана и как бы исходить из мнимого источника |
|
|
Лучи падающие на |
||||||||
нижнюю половину бипризмы будут приходить в |
область CN экрана и как |
||||||||||
|
|
Ǥ |
|
||||||||
бы исходить из мнимого источника |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Таким образом, |
бипризма |
обеспечивает деление волнового фронта |
||||||||
|
|
|
Ǥ |
|
|
|
|
излучения источника S на два когерентных пучка. В области перекрытия этих пучков CM будет наблюдаться интерференция. На экране увидим систему параллельных светлых и тёмных полос, перпендикулярных плоскости рисунка. Область перекрытия когерентных пучков называется полем ин-
терференции.
Множество различных интерференционных схем сводится к задаче с двумя когерентными источниками и экраном, где наблюдается интерференция. Решим такую задачу.
Задача 2. На рисунке 4 ˋ когерентные источники одинаковой интенсивности в виде тонких светящихся нитей (перпендикулярных плоскости рисунка), расстояние между которыми обозначим ʹ Ǥ Параллельно светящимся нитям на расстоянии D от них располагается экран, на котором наблюдается интерференционная картина. Найти распределение интенсивности на экране и ширину интерференционных полос.
Для произвольной точки P экрана разность хода лучей ο Ǥ Из рисунка видно, что ǡ Ǥ Откуда
следует: ο ή Ǥ
7
Обычно размер интерференционной картины невелик, ا , кроме того ʹ ا ǡ поэтому можем положить ʹ Ǥ Тогда для разности хода получим:
ο ʹ ή Ȁ Ǥ
Подставляя это выражение в формулу (2), получим распределение интенсивности в зависимости от координаты экрана
|
|
|
|
ʹ |
ʹ |
ή |
ʹ ή |
Ǥ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
||
כ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
O h |
|||||||||||
ʹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
כ |
ο |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4. Интерференционная схема с двумя когерентными источниками
Координаты интерференционных максимумов найдём из условия
ο ʹ ή Ȁ Ǥ
Ȁʹ Ǥ |
(5) |
Расстояние между соседними максимумами (или минимумами)
называется шириной интерференционной полосы
Сделаем важную оценку. Ȁʹ Ǥ |
|
ˏǤ |
(6) |
||
хотим, чтобы ширина |
Зададим |
ǡ ˏǢ ή |
|
Если мы |
|
|
|
|
|
||
|
интерференционных полос была хотя бы |
|
, то из |
||
(6) получим необходимое расстояние между когерентными |
источниками: |
||||
|
ʹ ˏˏ |
ʹ ǡ ˏˏǤ
8
Как видно, это довольно маленькое расстояние, что обычно принимают во внимание при расчёте интерференционных схем. Поэтому, в частности, можно записать:
, |
(7) |
где угол схождения интерферирующих лучей на экране (см. рис. 4).
Задача 3. Расстояние от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана равны соответственно ʹ ˔ˏ ˋ ˔ˏǤ Бипризма стеклянная с преломляющим углом ʹ . Найти ширину и число интерференционных полос N, наблюдаемых на экране. Показатель преломления стекла бипризмы ǡ ǡ длина волны света ǡ ˏˍˏǤ
Из (6) следует: Ȁʹ ǡ где D=a+b (см. рис. 3).
По условию задачи угол θ мал. Малы и углы отклонения лучей бипризмой α (см. (4)). Поэтому можем записать: ʹ ʹ ή ʹ Ǥ
Таким образом, получим:
Ȁʹ Ǥ
Протяжённость участка CM экрана (см. рис. 3), на котором наблюда-
Число полос |
|
ȟ ʹ ʹ Ǥ |
|||||
ется интерференция |
|
|
|
|
|
|
|
|
интерференции N, наблюдаемых на экране, определится |
||||||
из отношения |
|
|
|
|
|
|
Ǥ |
|
|
N= |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
Задача 4. Плоская световая волна падает нормально на диафрагму с |
|||||||
двумя узкими параллельными |
щелями, отстоящими друг от друга на |
||||||
На экране, расположенном |
за диафрагмой на расстоянии |
ʹ ʹǡ ˏˏǤ˔ˏǡ образуется система интерференционных полос. На какое рас-
стояние и в какую сторону сместятся эти полосы, если одну из щелей пере-
9
ления стекла |
|
|
ݔ ˏˍˏ |
|
|
крыть стеклянной пластинкой толщиной |
. Показатель прелом- |
||||
Роль |
|
ǡ Ǥ |
|
|
|
|
когерентных источников играют щели. Интерференционная схе- |
||||
ма аналогична рис. 4. До размещения стеклянной пластинки, в точке O |
|||||
экрана должен наблюдаться максимум нулевого порядка |
, так как |
||||
|
|
|
|
|
из щелей пере- |
расстояния от источников до точки O одинаковы. Если одну |
|||||
крыть стеклянной пластинкой, то оптический путь луча от щели до точки O |
|||||
Действительно, |
ݔ Ǥ |
|
|
||
изменится на величину |
|
|
|
слой воздуха толщиной x и с показателем преломления равным единице заменили стеклом той же толщины с показателем преломления ǡ Ǥ На эту же величину изменится разность хода лучей в точке O:
ο ݔ Ǥ
Порядок интерференции в точке O станет равным ݔ Ȁ. Подставив это значение m в формулу (5), найдём смещение интерфе-
ренционной картины
ݔ Ȁʹ.
Максимум нулевого порядка интерференционной картины сместится в сторону перекрытой щели так, чтобы времена распространения волн от обоих источников до точки экрана были одинаковы.
Решите задачи №№10-13.
Рассмотрим схему опыта Юнга (рис. 5). Свет от бесконечно тонкой светящейся нити S падает на диафрагму с двумя узкими параллельными щелями, которые делят волновой фронт на два когерентных пучка. Расстояние между щелями ʹ. На расстоянии D от диафрагмы находится экран. В точке P экрана будет наблюдаться максимум нулевого порядка и симмет-
10