новая папка 1 / 603889
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Т.Н. Глушакова, К.П. Лазарев
БИЛИНЕЙНАЯ И КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМЫ
Учебно-методическое пособие для вузов
Воронеж Издательский дом ВГУ
2016
1
Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 5 ноября 2015 г., протокол № 2
Рецензент – доктор технических наук, доцент Ю.В. Бондаренко
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре вычислительной математики и прикладных информационных технологий факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1-го курса всех форм обучения факультета прикладной математики, информатики и механики
Для направлений: 01.03.02 – Прикладная математика и информатика, 02.04.03 – Механика и математическое моделирование,
2
СОДЕРЖАНИЕ |
|
1. Билинейная форма ............................................................................... |
4 |
2. Квадратичная форма ............................................................................ |
5 |
2.1. Понятие квадратичной формы ......................................................... |
5 |
2.2. Способы приведения квадратичной формы к каноническому |
|
виду .................................................................................................................... |
7 |
2.2.1. Метод Лагранжа ............................................................................. |
7 |
2.2.2. Метод Якоби ................................................................................. |
11 |
2.2.3. Метод ортогональных преобразований ..................................... |
12 |
2.2.3.1. Вспомогательные утверждения ............................................... |
12 |
2.2.3.2. Алгоритм метода ортогональных преобразований ............... |
13 |
2.3. Закон инерции квадратичной формы ............................................ |
18 |
2.4. Классификация квадратичных форм ............................................ |
21 |
Библиографический список .................................................................. |
25 |
3
1. Билинейная форма
Пусть E – n -мерное линейное пространство.
Определение 1.1. Билинейной формой на пространстве E (линейным функционалом) называется скалярная функция от двух переменных b(x, y)
(x, y E) , которая удовлетворяет следующим условиям:
1)b(x + y, z) = b(x, z) + b( y, z) для всех x, y, z E ;
2)b(α x, y) = α b(x, y) для всех x, y E и α R ;
3)b(x, y + z) = b(x, y) + b(x, z) для всех x, y, z E ;
4)b(x,α y) = α b(x, y) для всех x, y E и α R .
Таким образом, билинейная форма линейна по первому аргументу при фиксированном втором и наоборот.
Пусть e1, e2 , ,en – базис линейного пространства E . Возьмем элемен-
ты x, y E и разложим их по этому базису. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Пусть x = ξ1e1 + ξ2e2 + + ξnen , |
y = η1e1 |
+ η2e2 + + ηnen . |
Рассмотрим |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
b(x, y) = b(ξ1e1 + ξ 2e2 + + ξ nen ,η1e1 + η2e2 + + ηnen ) = b( ξi ei , |
η j e j ) = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
j=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ξiη jb(ei , e j ) = ξiη j |
βij = ξi |
βijη j |
=ξ T Bη , |
|
|
|
|
(1.1) |
|
|||||||||||
|
|
|
i, j =1 |
|
|
|
i, j =1 |
|
i, j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η1 |
|
|
β11 |
β12 |
β1n |
|
|||||
где |
ξ |
T |
= (ξ1,ξ2 |
, ,ξn ) , |
|
η2 |
|
, |
B |
β 21 |
β 22 |
β 2n |
|
|||||||
|
η = |
|
= |
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β n1 |
β n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ηn |
|
|
|
|
β nn |
|
|||||
|
|
|
βij = b(ei , e j ) |
(i, j = 1, ,n). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Очевидно, что матрица B зависит от выбора базиса. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Определение 1.2. Матрица |
B = {b(ei ,e j )}in, j=1 называется матрицей би- |
||||||||||||||||
линейной формы. |
|
E |
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
′ |
и пусть |
||||||||
|
|
|
Возьмем в |
пространстве |
|
другой |
базис |
|
||||||||||||
|
|
|
|
e1 |
,e2 |
, ,en , |
||||||||||||||
B |
′ |
|
|
′ |
′ |
n |
– матрица билинейной формы в новом базисе. Найдем |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= {b(ei |
,e j )}i, j=1 |
||||||||||||||||||
связь между матрицами B и B′ |
билинейной формы в разных базисах. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Обозначим через S = S |
e→e′ |
матрицу перехода от старого базиса {e }n |
к |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i i=1 |
|
новому базису {e′j } nj=1 . Разложим векторы нового базиса {e′j }nj=1 по старому
n |
|
базису {ei }in=1 , получим e′j = skj ek |
( j = 1, , n) . Тогда |
k =1 |
|
4
′ |
′ |
′ |
n |
|
|||
βij = b(ei |
,e j ) = b( ski ek , |
k =1
Таким образом, B′ = S
n |
n |
n |
smj em ) = |
ski b(ek ,em )smj = |
ski β km smj . |
m=1 |
k ,m=1 |
k ,m=1 |
T BS . |
|
|
Так как матрица S невырождена, то
rang B'= rang(ST BS) = rang(BS) = rangB ,
поэтому можно ввести понятие ранга билинейной формы, которое не зависит от выбора базиса.
Определение 1.3. Рангом билинейной формы называется ранг матри-
цы B .
Определение 1.4. Билинейная форма симметрична, если для любых элементов x, y E выполнено равенство b (x, y) = b ( y, x) .
Теорема 1.1. У симметричной билинейной формы соответствующая матрица симметрична.
Действительно, βij = b(ei ,e j ) = b(e j ,ei ) = β ji .
Утверждение 1.2. Если у некоторой билинейной формы b(x, y) в некотором базисе матрица симметрическая, то и форма симметричная.
Действительно, пусть в базисе {ei }in=1 матрица билинейной формы
B = {βij }in, j=1 симметрическая, |
n |
|
x = ξi ei , |
||
|
|
i=1 |
n |
n |
n |
b(x, y) = b( ξiei , η j e j ) = ξi βijη j |
||
i=1 |
j=1 |
i, j=1 |
n |
|
|
y = η j e j , тогда |
|
|
j=1 |
|
|
n |
n |
n |
= η j β jiξi = b( η j e j , ξiei ) = b( y, x). |
||
j,i=1 |
j=1 |
i=1 |
Утверждение 1.3. Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда симметрична ее матрица.
2. Квадратичные формы
2.1. Понятие квадратичной формы
Определение 2.1. Квадратичной формой k(x) на E (x E) называет-
ся функция вида b(x, x) , где b(x, y) – билинейная форма.
Из определения квадратичной формы следует, что каждая билинейная форма порождает некоторую квадратичную форму.
Покажем, как, зная квадратичную форму, можно восстановить билинейную форму, которая ее порождает.
Очевидно, что
k(x + y) = b(x + y, x + y) = b(x, x) + b(x, y) + b( y, x) + b( y, y) = k(x) + 2b(x, y) + k( y),
откуда
5
|
|
|
|
|
b(x, y) = |
− k(x) − k( y) + k(x + y) . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (1.1) следует, что b(x, x) = xT Bx , где B – симметрическая матрица, |
|||||||||||||||||||||
x Rn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть в Rn |
базис выбран из собственных векторов матрицы B , тогда |
||||||||||||||||||||
λ1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
λ1 |
... |
0 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
λ2 |
... |
0 |
и |
k(x) = (x ,..., x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= λ x |
2 |
+ ... + λ |
|
x |
2 . |
(2.1) |
|
) ... |
... ... |
|
... |
|
|
|||||||||||||||
B = |
|
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
||||||||
... ... ... ... |
|
|
|
0 |
... |
λ |
n |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
... |
λn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запись квадратичной формы в виде (2.1) называется каноническим видом квадратичной формы.
Квадратичную форму можно представить в нормальном виде:
k(x) = x2 |
+ + x2 |
− x2 |
− − x2 . |
1 |
k |
k +1 |
n |
Опишем, как строится матрица квадратичной формы. Пусть квадратичная форма имеет вид
n
k(x) = aij xi x j .
i=1
Так как xi x j = x j xi , то aij == a ji , поэтому матрица квадратичной формы – симметрическая. Элементы aii стоят на главной диагонали, коэффициенты при смешанном произведении xi x j делятся пополам и записываются на ij и ji местах.
Пример 2.1. Построить матрицу квадратичной формы
k(x) = 5x12 + 3x22 + x32 + 4x1x2 + 12x1x3 + 8x2 x3 .
С учетом вышесказанного, матрица квадратичной формы имеет вид
|
5 |
2 |
6 |
|
|
2 |
3 |
4 |
|
A = |
. |
|||
|
6 |
4 |
1 |
|
|
|
Определение 2.2. Сигнатура – разность между числом положительных и отрицательных коэффициентов квадратичной формы в каноническомвиде.
Определение 2.3. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если совпадают ранги этих форм и сигнатура.
Определение 2.4. Рангом квадратичной формы называется ранг ее симметрической матрицы.
Теорема 2.1. Две квадратичные формы от n неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга
6
невырожденными действительными линейными преобразованиями, когда эти формы эквивалентны.
Утверждение 2.1. Если квадратичные формы эквивалентны, то нормальные виды квадратичных форм совпадают.
2.2. Способыприведенияквадратичнойформыкканоническомувиду
Теорема 2.2. Для любой квадратичной формы существует невырожденное линейное преобразование, которое приводит ее к каноническому виду.
Существуют три способа приведения квадратичной формы к каноническому виду:
1)метод Лагранжа (метод полных квадратов);
2)метод Якоби;
3)метод ортогональных преобразований.
Рассмотрим каждый из указанных способов.
2.2.1. Метод Лагранжа (метод полных квадратов)
Метод Лагранжа состоит в следующем.
1) Сначала находим слагаемое, содержащее квадрат. Пусть это слагаемое имеет вид α ii xi2 . Затем выписываем все члены, содержащие xi , и дополняем их до полного квадрата, который обозначим через y12 . Приводим подобные слагаемые. Среди оставшихся слагаемых с x j ( j ≠ i) находим
слагаемое, содержащее квадрат, и повторяем предыдущие рассуждения. 2) Если слагаемых с квадратами нет, а смешанные произведения есть,
например, α jk x j xk , то делаем замену
x j = y p + yq , xk = y p − yq
и повторяем рассуждения первого пункта.
Пример 2.2. Привести к каноническому виду квадратичную форму
k ( x) = x12 + 6 x1 x2 + 5 x22 − 4 x1 x3 + 4 x32 − 4 x2 x4 − 8 x3 x4 − x42
методом Лагранжа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
Выпишем все члены, |
|
содержащие |
и дополним их до полного |
|||||||||||||||||
квадрата: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ 6x x |
2 |
− 4x x = x2 |
+ 2x 3x |
2 |
+ 2x (−2x |
3 |
) = (x + 3x |
2 |
− 2x )2 − |
||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
1 |
3 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
3 |
||||
|
|
− 2 3x |
2 |
(−2x ) − 9x2 |
− 4x2 = y2 |
+ 12x |
2 |
x − 9x2 − 4x2 . |
|
||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
3 |
|
1 |
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
x1 и приве- |
||
Подставим полученное выражение вместо слагаемых с |
дем подобные слагаемые, получим:
7
|
k(x) = y |
2 + 12x |
2 |
x |
3 |
− 9x2 |
− 4x2 |
+ 5x |
2 |
|
+ 4x2 − 4x |
2 |
x |
4 |
− 8x x |
4 |
|
− x2 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y2 + 12x |
2 |
x |
3 |
− 4x2 |
− 4x |
2 |
x |
4 |
− 8x |
x |
4 |
|
− x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
Выпишем все члены, |
содержащие |
|
x2 , и дополним их до полного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадрата: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4x2 + 12x |
2 |
x |
− 4x |
2 |
x |
4 |
= −[4x2 |
− 12x |
x |
+ 4x |
2 |
x |
4 |
] = −[(2x |
2 |
)2 + 2 (2x |
2 |
) (−3x ) + |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||
|
+ 2 (2x |
2 |
) x |
4 |
] = −[(2x |
2 |
− 3x |
3 |
+ x |
4 |
)2 |
− 2(−3x |
3 |
)x |
4 |
|
− 9x2 |
− x |
2 |
] = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
=− y22 − 6x3 x4 + 9x32 + x42 .
4)Подставим полученное выражение вместо слагаемых с x2 и приве-
дем подобные слагаемые, получим:
k(x) = y2 − y2 |
− 6x |
x |
4 |
+ 9x2 |
+ x2 |
− 8x |
x |
4 |
|
− x2 |
= y2 |
|
− y2 |
− 14x |
x |
4 |
+ 9x2 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||
5) |
Выпишем все члены, |
содержащие |
|
x3 , и дополним их до полного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадрата: |
|
|
|
|
|
|
|
− 2 3x 7 x |
|
|
49 x2 |
|
− 49 x2 = |
|
|
|
|
7 x |
|
|
|
|
|
49 x2 . |
|||||||||||||||||||
9x2 − 14x |
x |
|
= (3x |
|
)2 |
|
+ |
|
(3x |
|
− |
|
)2 − |
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
4 |
|
9 |
|
4 |
|
9 |
4 |
|
|
3 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
9 |
4 |
||||
6) |
Подставим полученное выражение вместо слагаемых с x3 |
|
и приве- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дем подобные слагаемые, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k(x) = y2 |
− y2 |
+ y2 − y2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 7 x |
|
|
|
|
7 x |
|
|
|
|||||
|
y = x + 3x |
|
− 2x |
|
|
, y |
|
= 2x |
|
− 3x |
|
+ x |
|
|
, y |
|
= 3x |
|
|
, y = |
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
3 |
|
3 |
3 |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
Замечания.
1)Заменапеременныхдолжнабытьневырожденной(тоестьобратимой).
2)Число новых и старых переменных должно совпадать.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму k(x) = x1x2 + x2 x3 + x3 x4 + x1x4 методом Лагранжа.
Решение.
Так как среди слагаемых ни одного квадрата нет, сделаем следующую замену:
Получим:
k( y) = ( y1 −
= y12
x1x2x3
x4
y2 )( y1 + y2 )
− y22 + y1 y3
=y1 − y2
=y1 + y2 .
=y3
=y4
+ ( y1 + y2 ) y3 + y3 y4 + ( y1 − y2 ) y4 = + y1 y4 + y2 y3 − y2 y4 + y3 y4 .
8
Дальнейшие преобразования проводятся аналогично предыдущему случаю.
Пример 2.3. Для следующих квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразование, переводящее форму f в форму g :
f (x) = 2x12 + 9x22 + 3x32 + 8x1x2 − 4x1x3 − 10x2 x3 ,
g( y) = 2 y12 + 3y22 + 6 y32 − 4 y1 y2 − 4 y1 y3 + 8y2 y3 .
Решение.
Приведем обе формы к нормальному виду методом Лагранжа. Рассмотрим сначала форму f (x) . Выпишем все слагаемые, содержа-
щие x1 , и дополним их до полного квадрата: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2x2 |
+ 8x x |
2 |
− 4x x |
3 |
= ( 2x )2 + 2 ( 2x ) (2 2x |
2 |
) + 2( 2x )(− 2x ) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= ( 2x + 2 2x |
2 |
− 2x ) |
2 − 8x2 |
− 2x2 + 2 2 2x |
2 |
|
2x = η 2 − 8x2 |
− 2x3 |
+ 8x |
2 |
x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||
Подставим полученное выражение вместо слагаемых с |
x1 |
и приведем по- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
добные слагаемые, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
f = η 2 |
− 8x2 − 2x |
2 |
+ 8x x + 9x2 |
+ 3x2 |
− 10x x = η |
2 |
+ x2 + x2 |
− 2x x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= η |
2 |
+ (x |
2 |
− x |
3 |
) |
2 = η 2 |
+ η 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь η1 = |
|
2x1 + 2 |
2x2 − |
2x3 , η2 = x2 − x3 , η3 = x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим теперь форму g( y) . Выпишем все слагаемые, содержащие |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y1 , и дополним их до полного квадрата: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 y2 |
− 4 y y |
2 |
− 4 y y |
3 |
= ( 2x )2 + 2 ( 2 y ) (− 2 y |
2 |
) + 2( 2 y )(− 2 y |
3 |
) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= ( 2 y − 2 y |
2 |
− 2 y |
3 |
)2 |
− 2 y |
|
2 |
− 2 y |
2 − 2 2 y |
2 |
|
|
|
2 y |
3 |
=ν 2 |
− 2 y2 − 2 y3 |
− 4 y |
2 |
y |
|
. |
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||
Подставим полученное выражение вместо слагаемых с |
и приведем по- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
добные слагаемые, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
g = ν 2 − 2 y2 − 2 y2 |
− 4 y |
y + 3y2 |
+ 6 y2 |
+ 8 y |
y = ν 2 |
|
+ y2 + 4 y2 |
+ 4 y y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=ν 12 + ( y2 + 2 y3 )2 =ν 12 + ν 22 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Здесь ν 1 = |
|
2 y1 − |
|
2 y2 − |
|
2 y3 , ν 2 = y2 + 2 y3 , ν 3 = y3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Так как нормальные виды квадратичных форм совпадают, приравняем |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ηi к ν i |
(i = 1, 2, 3) . Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x1 + 2 2x2 − 2x3 = 2 y1 − 2 y2 − 2 y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 − x3 = y2 + 2 y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
= y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выразим xi через yi (i = 1, 2, 3) :
9
x1x2x3
= y1 − 3y2 − 6 y3 |
|
= y2 + 3y3 |
. |
= y3 |
|
Пример 2.4. Для следующих квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразование, переводящее форму f в форму g :
f (x) = 3x2 |
+ 10x2 |
+ 25x2 |
− 12x x |
2 |
− 18x x + 40x |
2 |
x |
3 |
, |
|||||
1 |
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|||
|
g( y) = 5y2 |
+ 6 y2 |
+ 12 y y |
2 |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Решение.
Приведем обе формы к нормальному виду методом Лагранжа. Рассмотрим сначала форму f (x) . Выпишем все слагаемые, содержа-
щие x1 , и дополним их до полного квадрата: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3x2 |
− 12x x |
2 |
|
− 18x x = ( 3x )2 |
+ 2 ( 3x ) (−2 3x |
2 |
) + 2( 3x )(−3 3x |
3 |
) = |
|
||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
= ( 3x − 2 3x |
2 |
− 3 3x )2 − 12x2 |
− 27x2 |
− 36x |
2 |
x = η |
2 |
− 12x2 |
− 27x2 − 36x |
2 |
x |
. |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|||||
Подставим полученное выражение вместо слагаемых с x1 |
и приведем |
|||||||||||||||||||||||||||
подобные слагаемые, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
f = η 2 |
− 2x2 |
− 2x2 + 4x |
2 |
x == η 2 |
− ( 2x |
2 |
− 2x |
3 |
)2 |
= η 2 |
− η 2 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
Здесь η1 = |
|
3x1 − 2 |
3x2 − 3 |
3x3 , η2 = |
2x2 − |
|
2x3 , η3 = x3 . |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь форму g( y) . Выпишем все слагаемые, содержащие y2 , и дополним их до полного квадрата:
6 y22 + 12 y1 y2 = ( 6 y2 )2 + 2 ( 6 y2 ) ( 6 y1 ) + 6 y12
= ( 6 y |
2 |
+ 6 y )2 − 6 y2 |
=ν |
2 − 6 y2 . |
|||
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||
Подставим полученное выражение вместо слагаемых с |
|||||||
подобные слагаемые, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
g =ν 2 − 6 y2 |
+ 5y2 |
==ν 2 − y2 |
=ν 2 |
−ν 2 . |
|||
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
− 6 y12 =
y2 и приведем
Здесь ν 1 = 6 y1 + 6 y2 , ν 2 = y1 , ν 3 = y3 .
Так как нормальные виды квадратичных форм совпадают, приравняем
ηi к ν i (i = 1, 2, 3) . Получим:
|
3x1 − 2 3x2 − 3 3x3 = 6 y1 + 6 y2 |
|
|||
|
2x2 − 2x3 = y1 |
. |
|||
x |
3 |
= y |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
Выразим xi через yi |
(i = 1, 2, 3) : |
|
10