ЛЕКЦИЯ 1х_ДУ_ДУ с разд пер

ЛЕКЦИЯ 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение 1. Уравнение, в которое входят независимая переменная (независимые переменные), искомая функция и ее производные называется дифференциальным.

Выделяют два класса дифференциальных уравнений – обыкновенные дифференциальные уравнения, если искомая функция зависит от одной переменной, и уравнения в частных производных, когда искомая функция является функцией многих переменных.

Будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения, их в дальнейшем назовем «дифференциальными уравнениями».

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Определение 3. Решением (интегралом) дифференциального уравнения называют любую функцию, обращающую уравнение в тождество.

Процедура нахождения искомой функции из дифференциального уравнения называется его решением или интегрированием.

Для этого необходимо «избавиться» от входящих в уравнение производных, что возможно, как известно, только с помощью интегрирования, то есть

3

вычисления неопределенных интегралов. При решении уравнения первого порядка, необходимо одно интегрирование, уравнение второго порядка следует интегрировать дважды и так далее. Но при каждом интегрировании, то есть вычислении неопределенного интеграла, появляется постоянная

постоянных интегрирования. Другими словами, решений каждого дифференциального уравнения бесчисленное множество, отличаются они значениями постоянных интегрирования.

Выделяют два вида решений дифференциального уравнения. Частное его решение, представляющее в соответствии с определением 3 любую функцию, обращающую уравнение в тождество. И общее решение - множество всех частных решений данного уравнения. Частное решение может содержать, или не содержать, постоянные интегрирования. В общем решении число постоянных интегрирования должно

дополнительных условий, задаваемых в одной точке (при одном значении независимой переменной), то есть в точке x0 задается значение искомой функции

4

условия называют начальными условиями задачи. Физически решение задачи Коши можно

представить следующим образом. Задается информация об исследуемом явлении в некоторый (начальный) момент, с помощью решения дифференциального уравнения определяется развитие этого явления в последующем.

Определение 5. Краевой (граничной) задачей для дифференциального уравнения называют задачу, в которой дополнительные условия задаются в более чем одной точке (на границах некоторого отрезка, на линиях или поверхностях для уравнений в частных производных). Дополнительные условия в этом случае называют краевыми или граничными условиями задачи. Общее число краевых условий, естественно, должно совпадать с порядком уравнения (числом постоянных интегрирования в общем решении уравнения).

В отличие от задачи Коши, в краевой задаче задается информация о поведении искомой функции на границе некоторой области, решение дифференциального уравнения позволяет определить эту функцию внутри заданной области (или вне ее).

Поскольку дополнительные условия задачи Коши или краевой задачи позволяют определить конкретные значения всех постоянных интегрирования, входящих в общее решение

5

уравнения, решения этих задач являются частными решениями дифференциального уравнения.

Замечание. Кроме общего и частного решений дифференциального уравнения, могут существовать, так называемые, особые решения, которые могут содержаться, или не содержаться в общем решении. О них будет сказано ниже.

Пример. Рассматривается падение некоторого предмета (скажем, камня) на землю. Считаем, что предмет падает под действием силы тяжести, тогда в соответствии со вторым законом Ньютона движение тела описывается уравнением: масса на ускорение равна действующей на тело силе. Поскольку ускорение есть производная от скорости, уравнение движения принимает вид my t mg , здесь

Итак, получено общее решение уравнения второго порядка, содержащее, как и

не дает информации о падении камня, поскольку время соприкосновения камня с землей зависит от значений указанных постоянных. Можно получить результат от t , равного нулю, до любого другого значения. Данное несоответствие решенной задачи реальности объясняется недостатком информации о камне. В самом деле, время падения камня на землю, зависит как от высоты падения, так и от начальной скорости. Ведь камень можно просто опустить с заданной высоты, а можно подтолкнуть вверх или вниз. Если задать эти дополнительные условия, мы получаем задачу Коши для уравнения второго порядка.

заданной начальной скоростью определяется из уравнения

12 gt 2 v0t H 0 .

6

Этот результат был подтвержден последователями Ньютона экспериментально, что доказывало верность второго закона Ньютона.

Однако в дальнейшем появились эксперименты, подвергающие сомнению этот закон Ньютона. Исследования в средах, отличающихся от воздуха, показало несоответствие экспериментальных результатов решению уравнения Ньютона и, чем более вязкой оказывалась среда, в которой проводились опыты, тем больше было это несоответствие. Дальнейший анализ экспериментальных данных показал, что в уравнение второго закона Ньютона верно, однако в случае вязкой среды при составлении уравнения следует учитывать ее сопротивление движению. Уточненное уравнение при этом становится более сложным:

Труднее и решение задачи Коши для этого уравнения.

Примечания.

1)В рассмотренном примере показано, как строится математическая модель реального явления. Ценность построения математической модели в том, что она позволяет теоретически (а не экспериментально, что не всегда удобно, а порой и невозможно) определять параметры изучаемого явления. Математическая модель, описывающая падение тела на землю, представляет собой дифференциальное уравнение и дополнительные условия, то есть задачу Коши.

2)Показана также возможность уточнения математической модели, если она недостаточно точно описывает изучаемое явление.

3)Становится ясным, что одно дифференциальное уравнение не может описать реальный процесс или явление, так как в его общем решении присутствуют произвольные постоянные, которые не позволяют получить единственное решение, так как могут принимать любые значения. Не ясно также, какое из частных решение может быть использовано в качестве нужного решения задачи.

Отсюда следует вывод, что математическая модель реального процесса или явления должна представлять собой либо задачу Коши, либо краевую задачу. Это зависит от того, где исследователь сумеет определить дополнительные условия задачи – в одной или нескольких точках.

Очевидно, построение решения дифференциального уравнения тем сложнее, чем выше его порядок. Поэтому изучение данного раздела математики начинается с наиболее простейших уравнений – уравнений первого порядка.

7

Уравнения первого порядка

Общий вид уравнения первого порядка

Это уравнение называется уравнением, разрешенным относительно производной.

Общим решением этих двух уравнений называют

обращающую уравнения (1) или (2) в тождества, здесь C произвольная постоянная интегрирования.

Если решение не удается представить в виде (3),

то его называют общим интегралом уравнения. Когда постоянная C принимает конкретное

значение, функции (3) и (4) называют частным решением и интегралом уравнения соответственно.

Любое частное решение дифференциального

конкретные значения постоянной интегрирования.

8

Поскольку в общее решение уравнения первого порядка входит одна произвольная постоянная, дополнительное условие также одно, следовательно, для этих уравнений имеет смысл только задача Коши. Краевые задачи формулируются для уравнений более высокого порядка.

Известно, что решение уравнения (2) и тем более уравнения (1) существует не всегда. Очевидно, прежде чем решать дифференциальное уравнение следует установить, существует ли его решение. На этот вопрос отвечает теорема Пеано, которая утверждает, что решение задачи Коши для уравнения (2) существует, если правая часть уравнения f x , y непрерывна.

Значительный интерес представляет теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

ограниченную частную производную по y , то есть

9

где K конечное положительное число.

интегральная кривая.

Следует отметить, что данная теорема имеет место и при менее жестких условиях – условиях Липшица, однако, приведенная формулировка позволяет легче определять, так называемые, особые решения задачи.

Определение 6. Особое решение дифференциального уравнения представляет собой интегральную кривую, в каждой точке которой нарушается единственность решения, то есть через каждую точку этой кривой проходит еще одна интегральная кривая.

Замечание. Особое решение дифференциального уравнения может содержаться, а может и не содержаться в его общем решении.

Для выяснения существования особого решения может быть использована теорема существования и единственности. С ее помощью устанавливается, на каких линиях не выполняются условия теоремы, а затем проверяется подстановкой в уравнение, не являются ли эти линии интегральными кривыми.

10

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

к этому классу.

называются уравнениями с разделяющимися

11

можно формально обосновать следующим образом. Уравнение (6) представляет собой равенство двух

отличаются на постоянную.

является решением исходного уравнения поскольку

12