2.3. Задача нелинейного программирования

Рассмотрим теперь задачу на условный минимум с ограничениями в виде неравенств. Поло-

жим Часто простейшие ограничения системы неравенств выписывают от-

дельно. Например, такими ограничениями могут быть ограничения на знак переменных. В этом

случае .

Целевая функция и все функции, вообще говоря, нелинейны, поэтому такую задачу отыскания условного минимума называютзадачей нелинейного программирования.

Задача нелинейного программирования значительно сложнее классической задачи на условный экстремум. Причиной тому – особенность «конструкции» множества . Граница его, даже если все функции дифференцируемы, представляет собой, вообще говоря, «негладкое» многообразие. Поэтому приведенные выше теоремы мало чем могут помочь в исследовании и решении задачи нелинейного программирования. Отсутствие в классическом анализе необходимого аппарата исследования потребовало разработки современной теории экстремальных задач. С основами этой теории мы познакомимся в рамках данного пособия.

В классической задаче в любой допустимой точке равенствавыполнены для всех, а в задаче нелинейного программирования часть ограничений может выполняться в виде равенств, а часть – в виде строгих неравенств.

Введем следующие определения.

Определение 3. Ограничение с номером () называетсяактивным (или жестким) в точке , если.

Определение 4. Ограничение с номером i () называетсяпассивным (или нежестким) в точке , если.

Множество номеров всех активных в точке ограничений обозначим . Таким образом,

.

Определение 5. Пусть в задаче нелинейного программирования ; векторы,,. Будем говорить, что векторудовлетворяетусловию дополняющей нежесткости, если выполнено равенство

. (3)

Условие (3) можно записать как . Отсюда, в силу знакопостоянства слагаемых,. Поэтому, если-тое огра-ничение задачи нелинейного программирования пассивно в точке, то. Таким образом, ограничение на знак множителя Лагранжаявляется в

точке активным. Если же(ограничение на знакв точкепассивно), то, что означает активность-того ограничения задачи в точке.

Теорема 4.Пусть в задаче нелинейного программирования . Пусть неотрицательные векторы,таковы, чтодля всех. Тогдаудовлетворяет условию дополняющей нежесткости.

Доказательство.По условию теоремы

,

то есть

. (4)

Покажем, что отсюда следует неравенство

(5)

Действительно, если найдется значение () такое, что , то, полагаядля всехиз неравенства (4) имеемпри любых неотрицательных значениях компоненты, что невозможно при достаточно больших.

Итак, (5) имеет место, поэтому с учетом неотрицательности вектора получаем, что.

Так как векторы и,

. (6)

С другой стороны, из (4) при получаем

. (7)

Из (6) и (7) следует (3). Что и требовалось.

Теорема 5.Пусть в задаче нелинейного программирования . Пусть неотрицательные векторы,удовлетворяют условию дополняющей нежесткости и неравенству

. (8)

Тогда вектор – решение задачи нелинейного программирования.

Доказательство.Из (8) и (3) получаем

. (9)

Пусть . Тогдаи, так как, имеем. Отсюда и из (9) получаем. Что и требовалось.

Заметим, что в условиях теоремы 5 точка является условным минимумом функции по переменным на неотрицательном ортанте

-мерного евклидова пространства.

Определение 6. Неотрицательный вектор называетсяседловой точкой функции

Лагранжа, если для всех ивыполняются неравенства

.(10)

Теорема 6.(О связи седловой точки функции Лагранжа с решением задачи нелинейного программирования) Если – седловая точка функции Лагранжа, то вектор– решение задачи нелинейного программирования.

Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из теорем 4 и 5.

Теорема 6 – достаточное условие оптимальности, но оно, вообще говоря, не является необходимым. Например, седловых точек не существует в случае, если . Существуют также задачи нелинейного программирования, у которых, но их функция Лагранжа не имеет седловых точек ([2], стр. 238). Тем не менее, для некоторых классов задач нелинейного программирования наличие седловой точки функции Лагранжа является не только достаточным, но и необходимым условием оптимальности (см. теоремы Куна-Таккера в разделе «Выпуклое программирование»).

18