- •А.В. Аттетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Задания для самопроверки
- •ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
- •Буквы латинского алфавита
- •Буквы греческого алфавита
- •1. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Некоторые простые примеры
- •1.3. Задачи оптимального проектирования
- •1.4. Задачи оптимального планирования
- •1.5. Классы задач оптимизации
- •Вопросы и задачи
- •2. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
- •2.1. Предварительные замечания
- •2.3. Оптимальный пассивный поиск
- •2.4. Методы последовательного поиска
- •2.5. Сравнение методов последовательного поиска
- •2.6. Методы полиномиальной аппроксимации
- •2.7. Методы с использованием производных
- •Вопросы и задачи
- •3. МИНИМИЗАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
- •3.2. Выпуклые функции
- •3.4. Условия минимума выпуклых функций
- •3.5. Сильно выпуклые функции
- •ф{t) = (grad/(а; + th), h)
- •3.6. Примеры минимизации квадратичных функций
- •3.7. Минимизация позиномов
- •Qj = '%2aijci = Q> J = !.*»•
- •Вопросы и задачи
- •4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
- •4.1. Релаксационная последовательность
- •4.2. Методы спуска
- •4.4. Минимизация квадратичной функции
- •4.5. Сопряженные направления спуска
- •5. АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
- •|iufc|
- •5.3. Метод Ньютона
- •5.4. Модификации метода Ньютона
- •5.5. Квазиньютоновские методы
- •Вопросы и задачи
- •6. АЛГОРИТМЫ ПРЯМОГО ПОИСКА
- •6.1. Особенности прямого поиска минимума
- •6.2. Использование регулярного симплекса
- •6.4. Циклический покоординатный спуск
- •6.5. Метод Хука — Дживса
- •Щ + bjej,
- •6.6. Методы Розенброка и Пауэлла
- •Вопросы и задачи
- •7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •7.2. Минимизация при ограничениях типа равенства
- •7.4. Седловая точка функции Лагранжа
- •7.5. Двойственная функция
- •7.6. Геометрическое программирование
- •Вопросы и задачи
- •8. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •8.1. Метод условного градиента
- •8.2. Использование приведенного градиента
- •8.5. Метод проекции антиградиента
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Математика в техническом университете Выпуск XIV
- •Аттетков Александр Владимирович Галкин Сергей Владимирович Зарубин Владимир Степанович
- •МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
При этом отношение оптимальных значений высоты ребра к толщине примет вид
а максимальное значение теплового потока —
Q* = Q{h*) = 2 |
(Т0 - Тс) th^ « 1,2563 ч/а2ЛТ0(Т0 - Тс). |
1.4. Задачи оптимального планирования
Задачи математического программирования часто возни кают в экономике, при планировании производственных про цессов и количественной оценке альтернативу связанных с при нятием управленческих решений. Постановка этих задач обыч но основана на анализе и сопоставлении расходуемых ресурсов и полученного результата. Такой подход принято называть ме тодом „затраты — эффективность“. Применение этого под хода приводит, как правило, к двум связанным между собой типам задач: либо максимизировать эффективность при огра ниченных затратах, либо обеспечивать эффективность не ниже заданной при минимальных затратах. Таким образом, крите рием оптимальности может быть количественное выражение затрат или эффективности. Рассмотрим несколько примеров такого подхода.
Пример 1.11. Предположим, что предприятие может вы пускать продукцию п наименований, для производства которой требуется т видов ресурсов (сырья, энергии, оборудования и т.п.). Обозначим через aij затраты г-го вида ресурсов, г = = 1, га, на производство единицы продукции j-ro наименования, j = 1, гг, а через Ь{ и Xj полные объемы располагаемых ресур сов и планируемые объемы выпуска продукции соответственно. Если к тому же по каждому наименованию продукции заданы
нижняя a,j и верхняя Aj границы объема выпуска продукции, то можно записать ограничения типа неравенства
Т1 |
|
|
У ^ CLjjXj ^ |
^ = 1) |
Qj ^ £j ^ Aj) j = lj |
3=1 |
|
|
Если эффективность производства продукции характеризо вать суммарной выручкой от продажи продукции, то опти мальный план х = (ях, £2, •••> £п) выпуска продукции должен удовлетворять этим ограничениям и обеспечивать максимум
целевой функции
п
S = У ^djXj,
3 = 1
где dj — цена единицы продукции j - го наименования. В данном случае и целевая функция, и ограничения линейны относитель но параметров оптимизации xj, j = 1, п. Поэтому рассмотрен ная задача оптимального планирования выпуска продукции является задачей линейного программирования.
Пример 1.12 (транспортная задача). Пусть необхо димо составить план перевозок некоторого товара с т складов в п магазинов так, чтобы затраты на эти перевозки были мини мальными. Предположим, что на г-м складе, г = 1, т , имеется а* единиц товара, a j -й магазин, j = 1, п, сделал заказ на bj единиц этого товара, причем стоимость его перевозки с г-го склада в j -й магазин равна сц. Обозначим через х^ планируемое коли чество товара, перевозимое с i-го склада в j -й магазин, тогда стоимость его перевозки составит CijXij. Общие затраты на пе ревозки — это сумма затрат на перевозки со всех складов во все магазины. Поэтому оптимальный план перевозок соответ ствует минимуму целевой функции
771 |
71 |
S = |
->• min, |
i—1 j=l
что должно быть достигнуто выбором ran значений X{j ^ О, которые в данном случае являются параметрами оптимизации. Но при этом необходимо обеспечить потребности магазинов, т.е. должны быть выполнены ограничения типа равенства
771
^ ^ ij ~ bji J = 1?
г—1
Однако с любого склада нельзя вывезти товара больше, чем там его находится. Следовательно, должны быть выполнены ограничения типа неравенства
п
г — 1,тп.
j = 1
Отметим, что сформулированная задача оптимизации, отно сящаяся к классу задач линейного программирования, имеет решение, если сумма заказов магазинов не превышает суммар ного запаса товара на всех складах, т.е.
П771
j —1 |
2=1 |
Пример 1.13 (задача о диете). Рассмотрим задачу по строения оптимального рациона питания. Обозначим: п — число видов пищевых продуктов; т — число видов питатель ных веществ; — число единиц i-го питательного вещества в единице j-ro продукта; 6; — ежегодная потребность в г-м питательном веществе; cj — стоимость единицы j -го продук та. Выясним, сколько единиц каждого пищевого продукта нужно употребить за рассматриваемый период (в данном слу чае за год) таким образом, чтобы, обеспечив потребности в каждом питательном веществе, затратить минимальное коли чество денег.
Назовем рационом вектор х = (х\ |
Х2 |
хп) |
, где Xj — |
ежегодное потребление j -го пищевого |
продукта. |
Речь идет, |
таким образом, о построении рациона минимальной стоимости. Математически эта задача может быть сформулирована следу ющим образом: минимизировать целевую функцию
(1.15)
при ограничениях |
з |
|
|
п |
г = 1, т ; |
^ ^ a ij Xj ^ |
|
3 |
(1.16) |
|
0, j = l,n.
Пример 1.14. Предположим, что предприятие может про изводить п изделий, причем затраты на производство Х{ еди ниц г-ro изделия составляют S(x{) = где а* — затраты на производство одного г-го изделия (при мелкосерийном или индивидуальном производстве обычно к{ ^ 1, а при крупно серийном — к{ < 1). Предположим также, что должно быть выполнено так называемое условие на ассортимент: предпри ятие должно выпустить не менее Ь{ единиц г-го изделия, т.е. имеем п ограничений типа неравенства Х{^Ъ^ i = 1, п. Если эффективность производства изделий определить как суммар ную выручку от их продажи, то получим еще одно ограничение
типа неравенства
п
^ j jjXj ^ Ь, |
(1.17) |
2— 1
где dj, г = 1, п, — цена единицы г-го изделия, а b — заданный нижний уровень эффективности. При этих ограничениях необ ходимо минимизировать нелинейную целевую функцию
п
S' = ^ a i x f <)
2=1
характеризующую суммарные затраты на производство изде лий. Следовательно, сформулированная задача является зада чей нелинейного программирования.
Пример 1.15. Пусть сеть газопроводов связывает между собой га месторождений А*, г = 1, га, газа и п пунктов J3j, j = = 1, п, его потребления с известными значениями pj ^ 0 расхода
газа в единицу времени. Производительность g\ i-го |
место |
||
рождения, г = 1, га, ограничена заданным значением |
G{, т.е. |
||
заданы ограничения типа неравенства 0 |
Затраты на |
||
добычу газа на г-м месторождении, г = 1 , г а , |
являются функци |
||
ей (pi{gi) производительности |
Сеть состоит из К участков, |
причем стоимость подачи газа по fc-му участку, к = 1, К, явля ется функцией fk(qk) расхода qк через этот участок. В пунктах потребления газа имеем ограничения типа равенства
X |
Як = Pj + X 9fc’ •? = ^ |
кев+ |
кев~ |
где В* и В~ — множества участков сети с входящими в j-й пункт и выходящими из него потоками газа соответственно. Аналогично для месторождений газа получаем ограничения типа равенства
9 i = X 9fc> i =
к€А~
Оптимальным планом добычи газа на месторождениях и рас пределения потоков газа по участкам сети газопроводов будет план, который удовлетворяет указанным ограничениям и обес печивает минимум общих затрат
m К
S = ^ 2 tPi(9i) + '^2fk (Як)
г=1 к=1
на добычу и подачу газа. Все ограничения в сформулированной задаче линейные. Поэтому в частном случае линейных функций (pi(gi) и fk{qk) она будет задачей линейного программирования, но в общем случае — задачей нелинейного программирования.