1159
.pdfШ Х А Ш К А КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, ШО, '№ Ъ, х. '866—86$
&ДК 539374:624.074:678
В. Т. Томашевский, Б. А. Николаев, В. С. Яковлев
ОПТИМИЗАЦИЯ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ*
Рассматриваются подкрепленные кольцевыми ребрами конические, цилиндрические и гладкие сферические ортотропные оболочки, загру
женные равномерным давлением. Сложность их рационального проекти рования состоит в необходимости комплексного рассмотрения напряжен ного состояния и устойчивости. По существу это обратные задачи с вы сокой степенью неопределенности свободных параметров. На практике они обычно решаются методом последовательных приближений при варьировании всего двух-трех основных параметров. Преодоление ука занных трудностей лежит на пути использования методов математиче ского программирования с реализацией на ЭВМ.
В работе сделана попытка решить эти задачи в геометрически линей ной постановке применительно к названным выше типам оболочек. Материал принимается однородным, ортотропным, линейно-упругим.
Конические оболочки (КО). Математическая модель деформирова ния получена исходя из асимптотического решения [1]. Структура основ ных расчетных зависимостей приводится ниже.
Нормальный прогиб КО
Io = - C 0(p)iV0+Cb(p1) ^ + A(P), |
(1) |
||
где №, NL — начальные |
параметры (значения |
перерезывающих сил, |
|
действующих на краях КО |
s = 0, s = L); С°(|3), |
CL(|3i)— податливости |
|
КО в сечении s при А/0 = 1, NL=\, соответственно; А(р) |
— нагрузочный |
||
член (явная функция внешнего давления р)\ p(s), Pi(s) |
— параметры, |
||
зависящие от длины дуги s [1]. |
|
|
|
Перерезывающие силы |
|
|
|
Л/°= Ао(С00)~1; NL= —AL {Cl l ) -1,
где С0°= С°(р) |s=0; CZ/L = CI'(P i)\ S = L \ A0, AL — прогибы в сеченияхs=0
иs = L от действия внешней нагрузки. Угол поворота поперечного сечения КО
где £(Р), £((3i) — функции, введенные в [2]; с — постоянная, зависящая от упругих свойств материала.
Интересующие |
нас напряжения |
определяются из зависимостей |
<Jt= Tit~l+ \2zt~zMi\ |
i= 1,2, где 7* и |
являются функциями w и t — |
толщина КО. При необходимости может быть использована более точ ная модель, приведенная в [3].
Доклад, представленный на IV Всесоюзную конференцию по механике полимер ных и композитных материалов (Рига, октябрь 1980 г.).
Решение задачи об устойчивости КО приводит к зависимости для расчета верхнего критического давления, имеющей вид
Ркр |
t sin 2а |
t2 |
+ /i2a2 + ft4fl3 , 1 |
|
2(1 —pii2^) {k5 + ti2k6) |
12 (£2 + /22&3 + tt4&4) |
C L\ + M2# 5 -f- М40 б |
|
|
|
(2) |
где а |
— угол конусности; ki = ki(a)\ аь ..., а6 — величины, зависящие |
||
от ki |
(полные выражения |
не приводятся из-за |
громоздкости). При на |
личии ребер жесткости их влияние можно оценить путем перехода к конструктивно ортотропной схеме. Целесообразен учет жесткости ребер на изгиб и растяжение—сжатие только в их плоскостях. Тогда струк тура расчетной зависимости для Рщ>1Е\ останется той же, что и (2), но появятся дополнительные члены в выражениях аь а2, а3, а4, а5, а6, &з, /г4. При этом принято, что погонная жесткость ребер с присоединенным пояском на изгиб и растяжение — сжатие может изменяться по линей ному закону.
На основе приведенных выше математических моделей, разработан алгоритм комплексного расчета на прочность и устойчивость подкреп ленной кольцевыми ребрами КО с оптимизацией ее элементов по крите рию минимальной относительной массы. Задача математического прог раммирования в данном случае формулируется так: требуется найти из заданного допустимого множества значений параметров, характеризую щих геометрию оболочки и физико-механические свойства материала, такие, которые удовлетворяют неравенствам (при этом хотя бы одному как равенству)
О'г^СГдг; PKpj^>£jP |
(3) |
и минимизируют функцию Q — относительную массу КО. Здесь ст* — действующие напряжения в расчетных сечениях в оболочке и ребрах жесткости; адг — допускаемые напряжения в этих сечениях; piq)j — кри тические нагрузки, при которых происходит потеря устойчивости обо лочки (между ребрами или вместе с ними); р — расчетные нагрузки; KJ — коэффициенты, характеризующие запас по устойчивости. Для ре шения поставленной задачи использовался метод рандомизированного случайного поиска с адаптацией шага [4]. Анализ приведенных расчетов показал, в частности, что для каждого конкретного варианта геометрии и нагрузки КО существует лишь единственный материал с конкретным сочетанием физико-механических характеристик, доставляющий мини мум функции цели.
Цилиндрические и сферические ортотропные оболочки (ЦО). За переменные принимаются параметры, характеризующие геометрию ЦО
и и ребер р: ц= 0,6425//~0'5/-0'5; $= |
где L — длина оболочки; I — |
|
расстояние между ребрами; F — площадь поперечного сечения ребра. |
||
Считаем, что из всего заданного множества значений |
0, р>>0 су |
ществуют лишь единственные «о. Ро, которые удовлетворяют ограниче ниям (3) (хотя бы одному из них как равенству), обеспечивают мини мум целевой функции. Поставленная задача может быть решена при установлении зависимости ограничений и критерия оптимальности от параметров и и р. Для этого воспользовались математическими моде лями расчета напряженно-деформированного состояния [5] и устойчи вости [6] регулярно подкрепленной ортотропной ЦО. Эти модели учиты вают анизотропию упругих свойств и слабую сопротивляемость сдвигам, в том числе и междуслойным. В предельном случае (б?1зДС2з—»-оо) вы
рождаются в модели изотропных оболочек.
Действующие напряжения рассчитываются по зависимостям, имею
щим структуру |
(^) |
Oi = pyit~^', Tmax~Pyt °’5- |
Здесь l= t\r \ Vi, V являются функциями и, (5, коэффициентов анизотропии, и определяются выражениями в соответствии с [5] (для замкнутой сферы уг= 0,5); г — радиус срединной поверхности оболочки.
Зависимость для расчета критической нагрузки для гладкой Ц0,
приведенная в [6], может быть преобразована к виду |
|
PKPi= £iFq>, |
(5) |
где ф зависит как от геометрии оболочки и, так и от коэффициента ани зотропии b\2, g 12, £ 13: bl2 = E2E r 1', g \2 = Е I-1 G12(I1 p-iц2) » gi3 = £iG13- 1. Для сферических оболочек ф= 2[3(1 —p,ip2)]_0’5-
Устойчивость ЦО вместе с ребрами может быть оценена по зависи
мости |
(6) |
Ркр,2= £Д/-1''~3ф, |
где Е41 — жесткость на изгиб ребра с присоединенным пояском:
ф=(0,5а2 + ц2-1)-Ц(>г2- 1 ) 2+ £ а4(&12- ц 2^ [а*+{ b u - ^ g u - ' a W -
—2ц2а2/г2 + &12/г4]}; a = zirL~l\ l=lr~l\ J=Ir~A\ g = ElE4-TlI-l(bi2- \ i 22) (1—рщ г)-1.
Воспользовавшись приближенной зависимостью для момента инер ции [7] и ограничив максимально допустимую высоту ребра из сообра жений устойчивости его стенки, пришли в итоге к такой структуре зави симости (6):
|
|
|
PKP2 = £ J 2,5^YI , |
|
|
|
|
|
ти(\ +4(3) (1 +ос2) I 1 + 2а2 — |
За22 \ |
; т = |
£ |
|
где^ = б[з(1 |
- ^ 2) т 1 + |5)1 |
1 + 4 р ; |
| я 2Е4 12(1 —р42) X |
|||
X |
/ _ а 4_ |
+ |
a2 = SF_1; 5 — площадь сечения полки ребра; ин |
|||
\23,9 |
дексом 4 отмечены величины, относящиеся к ребру жесткости. Очевидно, что ф и у/ являются функциями только параметров и и р при заданных относительной длине оболочки L/—1 и а 2. Учет физической нелинейности может быть при необходимости выполнен введением поправочного коэф фициента.
Подставив (4) —(6) в (1), ограничения можно привести к виду
|
|
(Jfli |
Г v(M*Р)—^—I |
|
|
|
*- |
Тд J |
|
[ - |
KiP |
. Г |
г> [___ Г |
(7) |
|
||||
L |
£1ф(и) |
-1 |
^ L ф(и, р)уЦн, Р)£4 J |
Критерий оптимальности — относительную массу оболочки — можно записать так:
<2 = &ФР?, |
(8) |
где — коэффициент формы, который принимает значение для под крепленной ЦО с полусферическими донышками
Таким образом, целевая функция и ограничения полностью опреде ляются совокупностью значений оптимизируемых параметров и и (3- Из анализа (7) и (8) следует, что Q принимает наименьшее значе ние, когда хотя бы одно из неравенств (7) выполняется как равенство.
Поиск оптимума осуществлялся методом Гаусса—Зейделя. Состав лены блок-схема и программы расчета на ЭВМ. Анализ расчетных дан ных подтвердил эффективность предложенного метода комплексного расчета подкрепленных оболочек с оптимизацией их элементов по массо вым характеристикам.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М., 1961. 384 с.
2.Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М., 1947. 252 с.
3.Николаев Б. А. Осесимметричный изгиб ортотропной конической оболочки. — Сб. статей НТО судостр. пром-сти, 1965, вып. 67, с. 38—42 (1.).
4.Шкварцов В. В. Постановка и алгоритм решения задачи поиска оптимума. Л.,
1974. 47 с.
5. Томашевский В. Т. Осесимметричная деформация толстого кругового цилиндра из стеклопластика, подкрепленного ребрами жесткости. — Механика полимеров, 1966,
№1, с. 107— 115.
6.Томашевский В. Т. О влиянии поперечных сдвигов и напряженного состояния на
устойчивость анизотропного цилиндра. — Прикл. механика, 1966, т. |
11, вып. 4, с. 7— 16. |
7. Попкович П. Ф. Строительная механика корабля. Т. 1. Ч. |
1. М., 1945. 618 с. |
Военно-морская академия * Поступило в редакцию 29.01.80 им. Маршала Советского Союза Гречко А. А., Ленинград
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, № 5, с. 870—874
УДК 624.074.001:539.411
]М. А. КолтуновI , А. И. Каримов, Т. Мавлянов
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ вязкоупругих
конструкций
В настоящей работе исследуется динамическая задача устойчивости вязкоупругой ортотропной цилиндрической оболочки в геометрической нелинейной, физической линейной постановке. В качестве критерия ди намической «потери устойчивости» принимаем достижение характерным прогибом величины, равной толщине оболочки. Зависимость между па раметром нагрузки Р (при осевом сжатии) и временем t примем как линейный закон возрастания Р, т. е. P = st, s — скорость нагружения. Вывод исходных уравнений для исследования устойчивости вязкоупру гой ортотропной оболочки будет таким же, как для упругой ортотропной оболочки [1]. Из уравнений равновесий и условий совместимости дефор маций срединной поверхности оболочки получим следующую систему уравнений [2]:
Я3 |
|
|
|
|
|
d2w |
|
—-K74W = L(W, Ф) +VfeO + /7- p 0fr—— ; |
|||||||
12 |
|
|
|
t |
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ур4Ф = - В и ( i-L(w, ш ) + У йа;) + £ ц | Г ц (/ - т ) (yL*(ay,ay) + |
|||||||
|
|
+ V*hW j dx, |
|
|
|
|
|
где Tn(t) — ядро скорости релаксации; |
|
|
|
|
|||
|
Г |
d2w d2w |
|
( |
d2w |
\ 1 |
|
("’■ » ) “ 2 K j * |
dy2 |
|
W ) ] ; |
||||
V |
h' = |
• , |
d2- |
|
d2- |
|
|
|
о +cc*1^2 |
dx2 |
|
|
|||
|
|
|
dy2 |
|
|
|
|
|
<Э4Ф |
д4ф |
|
|
д4Ф |
|
|
Vp4® = P! dy4 |
'•fj2~ dx2dy2 + Рз‘ dx4 |
’ |
|||||
-T?j[ Я. |
d4w |
_ . _ |
__ |
d4w |
|
d4w |
|
dx4 |
ц в а + щ |
дх2ду2 |
+ B22 |
dy4 X |
ХГц (i —т) dx.
Остальные дифференциальные операторы будут такими же, как в упру гом случае.
Пусть оболочка шарнирно скреплена по торцам жесткими шпангоу тами, т. е. выполняются следующие граничные условия: при x = 0,L w (t, 0,у) =w(t, L, у) =0; Af.r |x=0= Alx|x=L= 0. Аппроксимируем выраже
ние для прогиба функции пространственных координат и времени выра жением [3]:
г /»\ . тлх |
. п и „ , |
„ тпх |
w = f\ ( O s i n — — |
s i n - ^ - + f 2( O s i n 2— ■ +cpfi. |
Оболочку считаем «неидеальной» и имеющей некоторое начальное откло нение прогиба WQ. Начальное отклонение прогиба берем в той же форме, что и полный прогиб, —
|
, . тлх . |
пу |
тпх |
(3) |
|
|
Wo = fl,o Sin--------- Sin— |
b/2,0Sin2 |
-— |
||
|
|
|
|
L |
|
Д л я этой задачи исходные уравнения |
(1) будут: |
|
|
||
1о |
|
|
|
ло |
|
— |
V * ( w - w Q) =L(w, Ф) + VftO + F —p0/i— |
; |
|||
12 |
|
|
ОГ |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
Vp40 = |
—5ц [-^-L(ay, w) - |
^ L ( w 0, w0) +V«w —Vfttt>0] + |
|||
t |
|
|
|
|
|
+ Bn j* Г ц (/-т ) [ yL*(oi, w) - |
^ L * ( w 0, w0) + V*hw - V * hwQ] dx. |
||||
0 |
|
|
|
|
|
Подставляя (2), (3) в правую часть второго уравнения (4) и интегри руя, определяем функцию напряжений в срединной поверхности
„ I „ |
2тлх |
„ |
2пу |
„ |
. |
тих . пу |
|
Ф = 5 ir^ /(i cos — ------ЬК.2 cos—-—b/Gsin— |
-— sin—| —b |
||||||
|
|
Зтлх |
R |
|
|
|
R |
|
sin |
. ny \ |
Py2 |
(5) |
|||
|
L |
Smm-RT |
l - |
2 |
’ |
||
|
|
|
где P — интенсивность при динамических сжимающих усилиях; Ki =
=Ki(fi,fo,tn,n,L,R,h,a*{,a*2,a*3,Tn{t)\ (£=1,4). Применяем методы Бубнова—Галер кина к первому уравнению системы (4):
L 2 л Н |
тпх |
. пу . , л |
//ч. |
L 2nR |
, , |
|
. |
Г |
Г „ . . тпх |
||||
X sin — -— |
sm-£-dxdy = 0\ |
(6) |
J |
JXsin2-----— |
dxdy=0, (7) |
|
oo |
L |
К |
|
0 |
0 |
|
где |
|
h3 |
|
|
d2w |
|
|
X = |
|
|
|||
|
- V 4(W - W Q) —L(w, |
Ф) - У ь Ф - Г + ро/г-^-. |
Интегрируя (6), (7), с учетом (2), (3) и (5) получим следующие не линейные интегродифференциальные уравнения второго порядка:
1 ( l ------— ) [ ( H - fll ) l l + a2El^2 + «3|l^22 + a 4i 2 +
X
+ ^5^12 + ЛбЕ13 + а 8^12^2+ ^7] = (fll +^6^2) J Г ц ( т — S)£i (s) ds +
0
+ (02+ 011^2) J Г11 (т — S)£I (s)%2 (s) ds+ (fl3+ fl7^l) Jr!! (T —s)^i2(s)rfs +
0 |
0 |
|
T |
T |
|
+ (a4 + a8ii) |
Г п (T —s ) |2(s)^s+ (a5 + a9£i+ 010^2) J Г п(s)ds+ |
|
|
+^13^1J Гп( T —S ) £2(s) ds] |
(8) |
0
Пусть Ы т), Ы т) — действительные главные функции, допускающие в интервале О ^ т ^ о о производную по т. Тогда функции £I (T ), | 2(т ) можно разложить в ряд Тейлора в точке то = 0:
h (т) = (0) + Г 1(0)т+ -^рГ 1(0)т2+ |
+ - ^ |
|
( П ) |
£2СО =Ь(0) +Е/2(0)т+-2|-^//2(0)т2+ |
+-^-^2(п)тп. |
Сравнив ряды (10) и (11) соответственно, находим неизвестные коэффи циенты
Р „ = Т - Si“>(0); |
4 k = - ^ h ' kH0) (А=ТДГ). |
|
(12) |
|||
Производные £i(ft>(0) |
и b (fe)(0) |
(k=\,ri) |
определяются |
из |
системы |
|
уравнений (8) при т=0. Тогда |
(10) с учетом (12) примет вид |
|
|
|||
IV |
|
|
|
IV |
|
|
Ы О = 1 ] |Т г Ь (к'(0)т»; |
| 2(т)= |
T - l 2w(0)t». |
(13) |
|||
к—0 |
' |
|
|
й=0 |
|
|
Можно доказать по признаку Даламбера, что ряды (13) |
абсолютно |
сходятся, радиус сходимости равен бесконечности. Подставив соответст венно (13) в (9), после некоторых преобразований получим выражения для интегральных сверток
|
e - P ( t - s ) |
|
IV |
|
|
IV |
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|||
|
|
|
phShds= J], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J (т—s) 1_а |
|
P i ,71— h |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
к = 0 |
|
к=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
где |
|
|
|
|
|
|
n—k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
P l , n —h — |
^ |
biT4; |
p2,h= |
|
|
P 2 ,0 ( 0 |
= 0 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
i = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично получа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ются |
выражения |
для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
других |
интегральных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сверток, которые затем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
подставляются |
в |
(8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Система |
(8) |
с учетом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(14) |
решается |
мето |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дом Рунге—Кутта. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Результаты |
|
дина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
мического |
нагружения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
оболочки |
при |
постоян |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ной |
скорости |
|
увеличе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ния нагрузки по линей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ному закону p=st пред |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ставлены |
на |
рис. |
1, |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Скорость |
|
нагружения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
принята |
|
равной |
s = |
Рис. 1. |
M= l ; |
N = 5; S = 2 -1 0 6 |
кгс/см2-с. Л0= 0 |
(1,2)\ |
||||||||||
=2-106 кгс/см2-с. Кри |
0,0044 |
(3, 4)\ |
0,01 (5, |
6); |
0,02 |
(7, 8). 1, 3, |
5, 7 |
— \ь |
||||||||||
вые |
1—8 |
на |
рис. |
1 |
|
|
|
|
2, 4,6, |
8 — Ь- |
р = 0,05; |
|
|
|||||
характеризуют |
соот |
Рис |
2. |
M =U |
N = 3; |
сх=0,025; |
А =0,0044. |
|||||||||||
ветственно |
|
изменение |
5 = 0,8- 106 (1, |
2)-, |
1,2- 106 (3, 4)\ 3- |
10е кгс/см2-с |
(5, 6). |
| I (T), £г(т) при различных параметрах вязкости материала оболочки. С увеличением вязкости материала абсолютные значения £i, £2 при первом полупериоде колебаний соответственно увеличиваются. С те чением времени нелинейный колебательный процесс приобретает сложный характер, т. е. происходит динамическая потеря устойчивости с резким возрастанием прогибов. На рис. 2 различные серии кривых относятся к нагружениям со скоростями s = 0,8 -106; 1,2-106; 3,0-106 кгс/см2-с для вязкоупругих оболочек. Здесь бурные возрастания прогибов £I (T ), £2(т ) наблюдаются с увеличением скорости нагруже ния. Из приведенных кривых видно, что динамическая потеря устой чивости в вязкоупругих оболочках происходит быстрее, чем в упругих
оболочках. |
При |
вычислении |
приняты следующие |
исходные данные: |
||
|
|
|
В 11 |
в |
|
|
■Вп = 2,32-105 кгс/см2; „ „2-=1; |
^ .= « ,= 0 ,7 8 ; |l2.=n2 = 0,004; ~ = п 3= |
|||||
|
|
|
РоС |
Вп |
£>ц |
£>ц |
=о,е0,6; |
fci = 0,01; |
/г2 = 0,1; /г3 = 0,001; |
М Х 1 = ЛГ2 = 0,38; |
= jVi = 0,06; |
||
|
|
|
|
|
м ц т ) |
Г ц ( т ) |
Г(т) |
= Л^з = 0,107; a*2= Wi; |
|
|
|
||
Гм(т) |
|
|
|
|||
|
|
a i =» ti\N2~\~ti2(N\ —1)—n<fN\ |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ni—n2 |
|
|
* |
(1 + A^2 —А7з) +/i2(l —N {) +п 22(А^з—2Af2) -\-n2{N i — А^3)/гз |
||||
a |
3 — ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
|
|
|
П\ — П22 |
|
|
|
|
|
|
|
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Огибалов П. М., Колтунов М. А. Устойчивость ортотропных вязко-упругих обо
лочек. — Прикл. механика, 1967, т. 3, вып. 8, с. 1— 10.
2.Каримов А. И., Мавлянов Т. Исследования усточивости цилиндрической оболочки типа тоннеля. — В кн.: Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений.
Ч.2. Ташкент, 1977, с. 132— 135.
3.Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., 1973. 432 с.
4.Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. М., 1976.
Институт механики и сейсмостойкости сооружений |
Поступило в редакцию 24.01.80 |
им. М. Т. Уразбаева АН Узбекской ССР, Ташкент |
|