- •механика
- •материалов
- •СТРУКТУРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО МАТЕРИАЛА
- •ПОДАТЛИВОСТЬ ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННОГО НЕУПРУГОГО МАТЕРИАЛА*
- •ПРОЧНОСТИ
- •РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ОТВЕРСТИЯМИ*
- •УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИТОВ ПРИ СДВИГЕ В ПЛОСКОСТИ ДЛЯ СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
- •РАЗРЕШИМОСТЬ И ОЦЕНКА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГРИГОЛЮКА—ЧУЛКОВА
- •МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИКИ НАМОТКИ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •РАВНОВЕСИЕ НИТИ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ ПРИ ХОРДОВОЙ НАМОТКЕ ДИСКОВ ИЗ КОМПОЗИТОВ
- •НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПОЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ИЗ КОМПОЗИТОВ ПРИ КРУЧЕНИИ
- •ВАРИАБЕЛЬНОСТЬ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ ПОЗВОНОЧНИКА ЧЕЛОВЕКА
- •ВЛИЯНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО СТАРЕНИЯ НА ДЕФОРМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИКАРБОНАТА
- •J (**—T)miaai(mi+1>(x)c*T=l,
- •ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СТРУКТУР
- •ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДЛИТЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЙ ПОЛИЭТИЛЕН
- •высокой плотности
- •ПОЛИИМИДЫ — НОВЫЙ КЛАСС ТЕРМОСТОЙКИХ ПОЛИМЕРОВ
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 5, с. 855—858
УДК 678.067+ 678.02:539.37
В. Т. Томашевский, В. С. Яковлев
ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИКИ НАМОТКИ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Современные исследования по кинетике полей напряжений, возни кающих в оболочках в процессе их намотки, методологически базиру ются на теории, разработанной в [1, 2] для многослойной навивки каната и проволочного бандажа. Согласно этой теории намотка тел вращения схематизируется концентрически кольцевой моделью, т. е. пространст венное тело заменяется плоским кольцом, которое формируется путем последовательного надевания друг на друга с натягом тонких кольцевых слоев. Применительно к намоточным изделиям из композитных полимер ных материалов (КПМ) этот подход был развит в [3—9]. Особенности механики намотки оболочек из КПМ, обусловленные фильтрацией поли мерной матрицы (ПМ), учитываются введением дополнительных упро щающих гипотез. К наиболее простой расчетной модели приводят допу щения об однородности, линейной упругости и высокой степени анизотро пии КПМ в трансверсальном направлении '[3, 4]. Линейно-упругая постановка дает существенные расхождения с экспериментом [5]. Поэтому были предложены уточненные модели, приводящие к решению плоской осесимметричной задачи для квазиоднородного анизотропного тела с не линейно-упругими свойствами в трансверсальном направлении [6]. С целью получения аналитического решения используют кусочно-линейную с подвижной границей слома аппроксимацию экспериментально полу ченной диаграммы напряжение—деформация [7].
Следует отметить, что на этапе намотки неотвержденная ПМ не обес печивает совместности деформирования армирующих волокон (АВ), ко торые представляют собой систему изолированных гибких связей. По этому предположения о квазиоднородности и высокой степени анизотро пии хотя и отражают суть дела с математических позиций, но искажают физическую природу релаксационных явлений в армирующем материале. Эти обстоятельства были учтены в [8, 9], где КПМ (в рамках кольцевой модели) представляется состоящим из двух фаз — нелинейно-упругого цилиндрически анизотропного армирующего материала (AM) и жидкой несжимаемой ПМ, а релаксация усилий натяжения при намотке из-за фильтрации ПМ находится из совместного интегрирования уравнений равновесия слоев кольца единичной ширины и уравнений сохранения массы ПМ.
Область достоверного применения полученных решений, несмотря на различие постановок задач, зависит от конкретных условий формирова ния конструкции, в частности от ее формы, схемы армирования, подат ливости оправки, термовязкоупругих свойств ПМ и AM. Очевидно, что кольцевая модель дает удовлетворительное приближение для намоточ ных конструкций в форме оболочек вращения, армированных по линиям главных кривизн, например, цилиндрической оболочки с продольно-по перечной схемой армирования.
Многочисленными исследованиями (например [10, 11]) показано, что максимальная эксплуатационная надежность конструкций в виде оболо чек вращения достигается при укладке AM под некоторым углом к ли ниям главных направлений. В этом случае условия, характерные для осесимметричной плоской задачи, нарушаются и, следовательно, кольце вая модель приводит к существенным погрешностям. Это требует разра ботки более общей модели механики ннмотки изделий из КПМ, свобод
ной от традиционных упрощающих гипотез, присущих кольцевой схематизации. Первой попыткой в этом плане явились исследова ния [12].
Рассмотрим процесс формирования на податливой оправке оболочки произвольной формы общей толщиной Я. Оболочка фор мируется путем послойной намотки с На чальным усилием натяжения (1Ч0) ленты или полосы AM, предварительно пропитан ной жидкой ПМ. Полагается, что усилия натяжения воспринимаются только систе мой волокон AM, которые наделяются свойствами линейной упругости и анизотро пии. Полимерная матрица считается изо тропной слабо сжимаемой вязкотекучей жидкостью, которая занимает все простран
ство между волокнами AM.
Оболочка задается в ортогональной криволинейной системе коорди нат ai {i= 1,2,3), направление которых характеризуется единичными ор тами ег (рис.). Координатные линии а\ и ссг совпадают с линиями глав ной кривизны наружной поверхности оправки (а3 = 0). Координата а3 определяет положение наматываемой ленты по толщине оболочки. В вы бранной системе координат метрика поверхности слоя характеризуется коэффициентами первой ац и второй Ьц квадратичных форм. Главные радиусы кривизны определяются по зависимостям Яц=ацЬц-1.
Кроме этого введем систему координат, связанную с направлением армирования. Положение точек на линии намотки S в этой системе коор динат будем определять нормальной и геодезической кривизнами (Rsn~\ Rsr~l) и касательной к 5, которые примем за направление осей подвиж ного репера е\ Направляющие косинусы углов между направлениями
осей |
подвижной и криволинейной систем координат обозначим hj = |
= с |
о (*,/ = 1,2,3). |
Процесс намотки схематизируем как наращивание толщины H(t) оболочки. Величина H(t) в каждый конкретный момент времени нахо дится из условия непрерывности намотки. При формировании поверх ностного слоя £2(0, соответствующего а3 = # (/), в ленте AM, в силу ее натяжения, создается напряженное состояние, характеризуемое тензо ром afl(N0, е1'), а в ПМ, занимающей объем V(t) =vMQ(t)H{t) (vM— ко эффициент объемного содержания ПМ), создается неоднородное поле давлений — p(t, а г). Под действием этого поля давления жидкая ПМ, просачиваясь сквозь АВ, фильтрует в направлении убывания градиента давления V/?. В результате нижележащие слои AM получают просадку, характеризуемую вектором смещений u&= uaiei и приводящую к падению усилий натяжения AM. Явление релаксации начального усилия натяже ния наблюдается и после завершения формования оболочки полной тол щины H(t= то). Оно продолжается (Л>т0) до тех пор, пока V p < 0.
Пусть в момент времени t = t0 сформирована оболочка толщиной Н (t0) с наружной поверхностью Q{t0). Напряженное состояние AM, при надлежащего этому слою, найдется по известным уравнениям теории напряжений
Oij(a,i, t0) =a.imnlmil„j. |
(1) |
И пусть t —x — момент времени, в который мы хотим определить напря жения в AM этой же поверхности Q(/0). Разобьем временной интервал, прошедший до момента т, на два периода: первый — от момента U до то — момента окончания намотки оболочки полной толщины #(то) и второй — от то до т, характеризующий продолжительность хранения по луфабриката в нсотвержденном состоянии. В свою очередь каждый вре менной период разобьем на некоторые малые подынтервалы
to, 11, . . . , th, . . , /». = То; Т|, . . . , Т/„ . . . |
, т« = т. |
Фильтрацию ПМ сквозь слои AM, принадлежащие поверхностям £2(4), будем рассматривать как движение вязкой жидкости в пористых средах.
Слои AM играют роль полупроницаемых преград, обладающих свойством проводить жидкость только в одном направлении — в направ лении внешней нормали к поверхности £2(/). Обозначая для каждого ин
тервала времени v= uM— вектор скорости, р — плотность, <тм и DM— тензоры напряжений и скорости деформаций, I — единичный тензор,
К — тензор констант вязкости, кп, хПр, хс — коэффициенты пористости, проницаемости и сжимаемости ПМ, компоненты вектора перемещений найдем интегрированием системы уравнений, включающей уравнения сплошности для пористой среды [13]
Xnp+ V(pv) =0; |
(2) |
||
уравнения фильтрации |
v= —y.npVp; |
(3) |
|
|
|||
физические и геометрические соотношения |
|
||
ом= -р Г + К м6 м; |
(4) |
DM= 0,5[Vv+(Vv)*]; |
(5) |
уравнения состояния ПМ |
|
|
|
р(4) =р(М {1+хс|> (4 ) -р(*о)]}- |
(6) |
Считая, что при фильтрации имеют место малые деформации, урав нения релаксации напряжений AM получаем из системы линейных урав нений теории анизотропных тонких оболочек, записанных для слоя й (/о) толщиной hn(t0)/Rij(to) <Cl: геометрические уравнения
ea= 0,5[Vua+ (Vila)*]; |
(7) |
физические соотношения |
|
<M 0=C ea(0. |
(8) |
Здесь 8а — тензор деформаций слоя Q(to) в момент времени t\ С — тен зор упругих констант AM слоя £2(4). Обе группы уравнений (2) — (6) и (7), (8) связаны соотношениями, характеризующими условия полупро ницаемости слоев [12] (Vp^sO, фильтрация отсутствует) и кинематиче ского взаимодействия AM и ПМ. Кинематические условия очевидны: перемещения АВ, лежащих на поверхности £2(4), должны равняться ве личине смещений, вызванных фильтрацией и обжатием ПМ в объеме, ог раниченном поверхностью £2(4)
иа= - и м. |
(9) |
Интегрирование связанной системы уравнений производится при задан ных начальных и граничных условиях.
В качестве граничных условий на непроницаемой наружной поверх ности оправки £2о(0 принимается требование обращения в нуль нор мальной и касательной компонент вектора скорости vM, а также равен ства нормальных к поверхности £2о компонент вектора перемещений и тензора напряжений соответственно перемещению и давлению ПМ, т. е.
(ыые3 = «опез, cron= - p ) e Q o . |
(Ю) |
На поверхности £2(0 сформированного слоя AM в силу отсутствия внеш ней нагрузки в каждый момент времени для периода to< U ^xо должно выполняться условие (1), а для периода т о < /< т — требование равен ства нулю нормальной к £2(то) компоненты тензора напряжений и дав ления
р = сте3 =Ое£2(то). |
О 1) |
За начальный момент времени для периода К т0 принимается время формирования изучаемого слоя AM на поверхности Q (t=tk), а в ка честве начального условия — равенство (1) и распределение давления в ПМ, занимающей объем, ограниченный поверхностью £2(/а). Для пе
риода |
то в качестве начальных условий принимается поле напряже |
ний и |
давлений, соответствующее времени то. |
Таким образом, в общем случае математическая модель релаксации полей напряжений, возникающих при намотке и последующем хранении изделия в неотвержденном состоянии, представляет замкнутую связан ную систему дифференциальных уравнений (2) —(8) и условий (1),
(9) —(И). Аналитическое интегрирование этой модели в общем виде за труднительно, но оно реализуется с помощью численных методов на ЭВМ.
Полученная модель допускает предельные переходы. В частности, вводя гипотезы, свойственные для кольцевой модели, из (2) —(8) придем
кзависимостям, совпадающим с решением [9].
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Саусвелл Р. В. Введение в теорию упругости. М., 1948. 674 с.
2.Ковальский В. С. Теория многослойной навивки каната. — Докл. АН СССР,
1950, т. 24, № 3, с. 429—432.
3.Тарнопольский Ю. М., Портнов Г Г. Изменение усилия натяжения при намотке изделий из стеклопластиков. — Механика полимеров, 1966, № 2, с. 278—284.
4.Бидерман В. Л., Димитриенко И. П., Поляков В. И., Сухова Н. А. Определение
остаточных напряжений при изготовлении колец из стеклопластика. — Механика поли меров, 1969, № 5, с. 892—898.
5.Благонадежин В. Л., Мищенков П. В., Перевозчиков В. Г. Исследование давле ния на оправку в процессе изготовления намоточных изделий методом теизометрироваиия оправки. — В кн.: Динамика и прочность машин. М., 1970, с. 133—138 (Тр. МЭИ; вып. 74).
6.Очан М. /О. Программированная намотка изделий из композитов, нелинейно-уп
ругих в поперечном направлении. — Механика полимеров, 1977, № 6, с. 987—993.
7. Портнов Г Г., Бейль А. И. Модель для учета нелинейности свойств полуфабри ката при силовом анализе намотки композитов. — Механика полимеров, 1977, № 2,
с.231—240.
8.Мурзаханов Р. X. Релаксация начальных напряжений в процессе намотки изде
лий из композиционных материалов. — В кн.: Механика деформируемого твердого тела
итеория надежности. М., 1978, с. 41—44 (Тр. МЭИ; вып. 33).
9.Болотин В. В., Воронцов А. И., Мурзаханов Р. X. Анализ технологических нап
ряжений в намоточных изделиях из композитов на протяжении всего процесса изготов ления. — Механика композитных материалов, 1980, № 3, с. 500—508.
10.Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М., 1955. 272 с.
11.Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование обо
лочек вращения из композиционных материалов. М., 1977. 144 с.
12.Томашевский В. Т., Яковлев В. С. Техническая теория механических явлений, возникающих в композиционных полимерных материалах при их переработке в изделия методом намотки. — Тез. докл. V Всесоюз. конф. по композитным материалам. М., 1981,
ч.2, с. 47—48.
13.Дюво Г., Лионе Ж. Неравенства в механике и физике. М., 1980. 384 с.
Военно-морская академия |
Поступило в редакцию 23.02.82 |
им. Маршала Советского Союза Гречко А. А., |
|
Ленинград |
|