1134
.pdfПосмотрим теперь, как можно воспользоваться экспе риментальной зависимостью В(Н). Для этого перепишем
уравнение (2) так, чтобы в него явно вошли значения В и Н в железе
|
nd-H +b— = NI |
(5) |
|
Mo |
|
(мы учли, что b « |
d и В = В0). |
|
И з(5)находим |
|
|
д = М |
^ _ я ^ Ягз1,о7_1,97 Я (ка/м) |
(6) |
b |
b |
|
Кроме того, между В к И есть зависимость, представ ленная на рис. 3.44. Искомые значения В и Я , определяю щие величину ц , должны удовлетворять одновременно ли
нейной зависимости (6) (представлена на рисунке пункти ром) и нелинейной В (Н ). Из графика находим Д = 0,9Тл,
Н= 0,08 кА/м. И тогда получаем
р= - ^ - = 8,9103 р0Я
Д.Тл
1,25
1.0
0,75
0,5
0,25
0 |
0,1 0,2 0,3 0,4 |
0,5 0,6 0,7 Я, кА/м |
Рис. 3.44
3.3.4. Парамагнитная жидкость в капилляре. Длин ный соленоид, намотанный на тонкостенный капилляр, по гружен одним концом в парамагнитную жидкость на глуби ну, значительно превышающую его диаметр (рис. 3.45). Плотность жидкости р, магнитная проницаемость р . На
сколько поднимется уровень жидкости в капилляре, если по соленоиду пропустить ток / ? Число витков на единицу дли ны соленоида равно п .
В |
Подъем жидкости |
в капилляре |
обусловлен взаимодействием молеку |
||
лярных микротоков |
парамагнетика |
|
с |
неоднородным магнитным полем |
соленоида вблизи конца, находящего ся в парамагнетике. Понятно, что, прежде всего, нам необходимо рас считать эту силу взаимодействия. Для этого выделим вертикальный столбик жидкости с площадью сечения, рав ной площади сечения соленоида S
(выделен пунктирной линией). На каждый малый элемент этого столбика толщиной dx действует сила
,г , dB
dF=dPm~ Г ’ dx
где dpm - магнитный момент выделенного элемента столби
ка; dB/dx - вертикальный градиент индукции магнитного поля в месте нахождения данного элемента. Правда, здесь возникает вопрос, о каком поле идет речь? Это индукция маг нитного поля в присутствии магнетика или собственное поле
соленоида без магнетика? Полное поле в магнетике В скла
дывается из двух полей: внешнего поля В0, созданного тока
ми проводимости, и собственного поля В' , созданного тока
ми намагничивания. В соответствии с этим сила взаимодей ствия магнетика с магнитным полем также состоит из двух
частей: взаимодействие |
магнетика с внешним полем В0 |
и собственным полем O' |
Очевидно, полная сила взаимодей |
ствия микротоков намагничивания с собственным полем В' должна быть равна нулю. Это взаимодействие может привес ти только к появлению внутренних механических напряже ний. Значит, под полем В нужно понимать собственное поле соленоида В0 =ц0Н , где Я - напряженность магнитного
поля соленоида без учета магнетика.
Полагая магнитное поле однородным по сечению S , для магнитного момента dpm находим
dpm= JdV =%H(x)Sdx =(р -1 )SH(x)dx,
где J - намагниченность парамагнетика; % ~ ег0 восприим
чивость. И для силы dF имеем
dF = (р -1 )HSdx^ = (|Х - l)li0SHdH
После интегрирования по всем элементам выделенного столбика жидкости получаем
F =(Ц- 1)Ц0-Ч HdH = ^ ~ 1)^°5Яо ,
здесь Н0 - напряженность магнитного поля внутри соленои да без магнетика вдали от края соленоида: Н0 = л/ (при этом
мы полагали, что поле вдали |
от соленоида |
обращается |
в нуль). |
|
|
Окончательно имеем |
|
|
(р -1)р05л2/ 2 |
(1) |
|
F=^~— |
------- . |
2
Под действием данной силы жидкость будет поднимать ся до тех пор, пока эта сила не уравновесится силой тяжести выступающего над первоначальным уровнем на высоту h столбика жидкости (пренебрегаятсолебаниями)
mg = рShg |
(2) |
Приравнивая (1) и (2), получаем
/1_ Ц0(Ц~1 )п2! 2
2рg
3.3.5. Провод над сверхпроводящей плоскостью. Над плоской поверхностью сверхпроводника параллельно этой поверхности подвешен тонкий прямолинейный провод на расстоянии h от плоскости. По проводу течет постоянный ток / Найти распределение линейной плотности сверхпро водящих токов по поверхности сверхпроводника и силу, дей ствующую на единицу длины проводника.
Как отмечалось во введении к данному параграфу, внут ри сверхпроводника нет магнитного поля и нет объемнораспределенных токов. Вытеснение магнитного поля обу словлено появлением поверхностных индукционных токов, которые согласно правилу Ленца препятствуют всякому из менению магнитного потока внутри сверхпроводника. Эти поверхностные токи возбуждают такое магнитное поле, ко торое компенсирует внутри сверхпроводника внешнее маг нитное поле. Данная ситуация очень напоминает поведение проводника в электрическом поле. Компенсация внешнего электрического поля внутри проводника происходит из-за появления индуцированных зарядов на поверхности провод ника. И при наличии определенной симметрии формы про водников для расчета полей мы использовали так называе мый метод электрических изображений. Посмотрим, нельзя ли воспользоваться аналогичным приемом и для расчета маг нитного поля.
Метод изображений в электростатике основан на под гонке потенциала под граничные условия. Мы находим дру
гую конфигурацию зарядов, для которой поле вектора Е в интересующей нас части пространства остается тем же. При этом линии вектора Е должны подходить к поверхности проводника перпендикулярно. А что должно быть в случае магнитного поля? Нетрудно понять, что линии вектора В должны быть параллельными поверхности сверхпроводника. Это связано с теоремой Гаусса для вектора В . Возьмем не большую замкнутую поверхность,
часть которой Sx находится в вакууме, прилегая к поверхности сверхпровод ника, другая часть S2 - внутри сверх
проводника (рис. 3.46). Так как 5 = 0
Рис. 3.46
на поверхности сверхпроводника, то из
соотношения (jBdS=0 сразу следует, что Вп на 5, также
равно нулю, т.е. линии вектора В вне сверхпроводника па раллельны его поверхности.
Таким образом, в нашей задаче необходимо подобрать такой фиктивный линейный ток, который в сумме с задан ным линейным током над поверхностью сверхпроводника создал магнитное поле, подходящее параллельно поверхно сти сверхпроводника. Нетрудно сообразить, что в случае плоской поверхности сверхпроводника фиктивный линейный ток /' должен быть равным току / и являться зеркальным отражением реального тока I относительно поверхности сверхпроводника, а его направление противоположно току / Только в этом случае мы получим заданную конфигурацию поля вблизи поверхности сверхпроводника (рис. 3.47). Можно сказать, что суммарное действие всех поверхностных токов эквивалентно действию искусственно введенного тока /'
Поверхностные токи с линейной плотностью i' в нашем случае на правлены перпендикулярно рисунку из чертежа к нам. Их величина свя зана с полем В теоремой о циркуля ции вектора В . Обратимся к рис. 3.46 (теперь пунктирной линией изо бражен маленький контур). Из тео ремы cjBdl =ц0/ сразу следует, что
/' = — |
( 1) |
Мо |
’ |
т.е. для определения i необходимо знать распределение поля В вблизи поверхности сверхпроводника, которое складыва ется из двух частей:
В = В++В_.
здесь В+ - поле тока I , В_ - поле тока / '. Модули этих по
лей |
|
В + = В _= ^~, |
г =yjx2+ h2 |
Складывая векторы В+ и й |
, получаем |
h _ \i0Ih |
|
2nr г |
nr2 |
Тогда из (1) следует |
|
lh |
|
7l(x2+A2) |
|
Для силы взаимодействия тока / и сверхпроводящих |
|
поверхностных токов получаем |
|
= j v |
l |
nh
33.6. Магнитик над сверхпроводником. На какой вы соте h постоянный магнитик с магнитным моментом рт
и массой т будет парить над плоской горизонтальной по верхностью сверхпроводника?
Для того чтобы понять, почему
Рт
магнитик зависает над сверхпровод ником, представим магнитик в виде небольшого витка с током (магнит ный диполь). Как мы уже знаем из предыдущей задачи, любой малый элемент тока зеркально отражается относительно поверхности сверхпро водника со сменой направления тока (рис. 3.48). Это приводит к отталки ванию проводника с током от сверх проводника. Так как сила отталкива ния убывает с увеличением расстоя
ния до сверхпроводника, то при наличии силы тяжести маг нитик зависнет над сверхпроводником на некоторой высоте. Это произойдет при выполнении условия
=т&’ |
(1) |
где FMmi - сила магнитного взаимодействия реального кон тура с током и его изображения. Осталось только выяснить,
вкаком положении контур зависнет над сверхпроводником (это определяет силу отталкивания). Нетрудно понять, что
вположении устойчивого равновесия плоскость витка долж на быть параллельна поверхности сверхпроводника, т.е. век
тор магнитного момента рт будет направлен перпендику
лярно поверхности сверхпроводника. Если, например, виток из равновесного положения повернуть против часовой стрел ки, то расстояние между точками А и А' уменьшится (см. рис. 3.48). Это влечет за собой увеличение силы отгап-
кивания между элементами, близкими к этим точкам. Рас стояние же между точками В и В' возрастет, что приводит к уменьшению силы отталкивания между элементами, близ кими к этим точкам. В итоге при любом малом отклонении витка от положения равновесия появляется момент сил, воз вращающий виток в прежнее состояние.
Сила взаимодействия магнитика с магнитным моментом рт и магнитного поля, созданного токами сверхпроводимо сти, определяется выражением
дв
(2)
где дВ/дх - градиент магнитного поля вдоль вектора рт.
Это поле эквивалентно полю зеркально отраженного магнит ного диполя, для которого нами было ранее получено выра жение (формула (6) задачи 3.1.1 при 0 = 0):
Подставляя это выражение в (2), получаем
ЗРоРт_ _ ЗЦрРт
Тогда из (1) находим
4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
4.1. Электромагнитная индукция
До сих пор мы занимались задачами, в которых рас сматривались электрическое и магнитное поле по отдельно сти, не обнаруживая никакой связи между ними. Это было возможно, потому что поля являлись статическими. На самом деле электрическое и магнитное поле являются компонента ми единого электромагнитного поля, соотношение между ко торыми в решающей степени зависит от системы отсчета. Например, движущийся с постоянной скоростью заряд в не подвижной системе отсчета создает как электрическое, так и магнитное поле, причем эти поля являются переменными во времени. Если же перейти в систему отсчета, движущуюся вместе с зарядом, то, так как в ней заряд покоится, мы на блюдаем только электрическое поле.
Кроме того, существует и более глубокая связь между электрическим и магнитным полями и обнаруживается это в явлениях электромагнитной индукции. Это одно из наибо лее фундаментальных открытий в электродинамике. Заклю чается оно в том, что в замкнутом проводящем контуре при любом изменении магнитного потока Ф, связанного с этим контуром, появляется индукционный электрический ток.
Возникающая в контуре ЭДС индукции |
определяется как |
|
d<t> |
( 1) |
|
dt |
||
|
Знак минус в этой формуле связан с так называемым правилом Ленца: индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей. Соот ношение (1) замечательно тем, что в нем никак не оговарива ется причина изменения магнитного потока и, по сути, явля