1134
.pdfтонкие слои толщиной б /, а их, в свою очередь, на неболь шие участки площадью 85, которые можно считать плоски ми конденсаторами. Каждый такой участок обладает сопро тивлением бR и емкостью бС
, D |
Ы |
|
ее08 5 |
|
6 * = р ¥ , |
6С = |
' |
||
|
|
|
Ы |
|
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
8/? = ее0р |
~ . |
(3) |
При последовательном и параллельном соединении всех участков среды сопротивления и обратные емкости склады ваются одинаково, и в однородном веществе пропорциональ ность 8R и 1/6С сохраняется. Следовательно, соотношение, подобное (3), останется и для всей среды.
2.1.5. |
Напряжения на конденсаторах. Два плоских |
|
конденсатора, заполненных веществами с диэлектрическими |
||
проницаемостями е, и е2 |
и удельными сопротивлениями р, |
|
и р2, имеют емкости С, |
и С2• Какие напряжения будут на |
конденсаторах, если их соединить последовательно и подать на них напряжение U ?
Воспользовавшись решением предыдущей задачи, най дем сопротивление каждого конденсатора (сопротивление утечки)
1 _ е,е0Р, |
д |
_ £2£рР2 |
С, |
2 |
С |
Так как эти сопротивления соединены последовательно, то ток, протекающий через них, будет одинаковым:
и _ исхс2
/?! + /?2 £0 (^iPi^2 ^гРг^-ч)
Соответственно падения напряжения на конденсаторах составят
|
— |
/j |
^^lP2^2 |
|
^ lP l^ 2 |
|
^ lP l^ 2 ^ 2Р г^ 1 |
2.1,6. |
Заряд на границе между диэлектриками. Про |
||
странство между обкладками плоского конденсатора запол |
|||
нено двумя диэлектрическим слоями 1 и 2 толщиной dx и d2 |
|||
с проницаемостями 6j и б2 |
и удельными сопротивлениями |
Pj и р2. Конденсатор находится под постоянным напряже нием U , причем электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2. Найти поверхностную плотность сторонних заря дов на границе раздела диэлектриков.
Внутри однородного проводника при протекании по не му постоянного тока нет избыточных зарядов. Это сразу сле дует из уравнения непрерывности (JjdS = 0, если его перепи
сать с учетом закона Ома j = Е /р . Тогда для однородного
проводника получаем |
|
-6 E d S = 0. |
( 1) |
р |
|
Входящий сюда интеграл в силу теоремы Гаусса про порционален избыточному заряду внутри замкнутой поверх ности и если р = const, то и заряд равен нулю. Но в нашей ситуации на границе раздела диэлектриков р * const. Пусть часть замкнутой поверхности находится в одном диэлектри ке, а другая - во втором, вблизи границы раздела. Тогда из соотношения (1) следует
E L = E L
PI Р2
Если к этой же замкнутой поверхности применить тео
рему Гаусса для вектора индукции D , то получаем
D2n ~ Dln = о» = е 0Е2Е 2 — |
• |
(3) |
Здесь а - искомая поверхностная плотность избыточных за рядов на границе раздела диэлектриков. Так как электриче ское поле внутри каждого диэлектрика однородное, то для него выполняется условие
|
U = \Edl = Exdx+ E2d2. |
(4) |
||
Из соотношений (2)-(4) нетрудно найти |
||||
|
a = b £ i i W _ EoU |
|
||
|
Pl^l + Р2^2 |
|
||
2.1,7. |
Конденсатор с переменной емкостью. В плоский |
|||
конденсатор заданных размеров вдвигается с постоянной |
||||
скоростью |
v пластина диэлектрика (рис. 2.11). Определить |
|||
ток в цепи батареи, подключенной к конденсатору. Считать |
||||
известными: ЭДС батареи |
, диэлектрическую проницае |
|||
мость диэлектрика в , толщину пластины d |
и ее ширину b |
|||
(на рисунке не отображена). |
|
|
||
Так как пластина диэлектри |
|
|||
ка непроводящая, то откуда в це |
|
|||
пи появляется ток? Связано это ^ |
|
|||
с тем, что при вдвигании пласти |
|
|||
ны на диэлектрике под действием |
Рис. 2.11 |
|||
внешнего |
электрического |
поля |
||
|
||||
появляются |
связанные заряды. |
|
Эти заряды вытягивают на себя заряды от источника тока, и таким образом в цепи появляется ток. Воспользуемся опре делением силы тока
Здесь dq - заряд, прошедший по цепи за время d t. Величина этого заряда определяется изменением емкости конденсатора dC при вдвигании пластины: dq =%dC. Если за время dt
пластина была вдвинута на расстояние dx= vdt, то измене ние емкости конденсатора составит
Таким образом, сила тока
j _ ^ o vdt-b
g f e 0 ( e - l ) v Z >
|
d d t |
d |
2.1.8. |
Дуговой |
разряд. На рис. 2.12 показана вольт- |
амперная характеристика разрядного промежутка дугового разряда. Найти максимальное сопротивление резистора R, соединенного последовательно с дугой, при котором дуга еще будет гореть, ес ли эту систему подключить к напряже
нию U0 = 85 В. |
|
|
|
При подаче напряжения |
U0 часть |
||
его «достанется» |
резистору |
R и ос |
|
тавшаяся часть |
1/ |
- разрядному |
промежутку. Это напряжение не явля ется постоянным и зависит как от то ка / , так и от сопротивления резистора R : Upa3p =U0- I R .
Отобразим эту линейную зависимость на вольт-амперной ха рактеристике разрядного промежутка, например, пунктирная прямая 1 (чем больше R , тем эта линия опускается круче). Точки пересечения этой линии и вольт-амперной характери стики определяют значение общего тока всей системы. Если таких точек нет, то невозможно и протекание тока (линия 2), и самое большое значение R будет на прямой, ка сательной к вольт-амперной характеристике (линия 3). В дан
ной точке: / = ЗА, (7 ^ = 70 В. Значит, резистору R «доста
лось» напряжение 15 В, и тогда его сопротивление будет равно 5 Ом.
2.1,9. |
Цепь с двумя конденсаторами. В схеме, показан |
|||
ной на рис. 2.13, один из конденсаторов зарядили до напря |
||||
жения U0 и в момент * = 0 |
замкнули ключ. Найти зависи |
|||
мость от времени тока в цепи. |
|
|
|
|
В процессе перетекания заряда |
|
|||
от одного конденсатора к другому |
|
|||
ток, очевидно, будет изменяться со |
|
|||
временем. И хотя закон Ома был |
|
|||
установлен |
для постоянного |
тока, |
— |
|
он остается |
справедливым |
и |
для |
рис 2 и |
мгновенных |
значений тока |
и |
на |
|
пряжений, если только их изменения происходят не слишком быстро. Распространение электромагнитных возмущений по цепи длиной I происходит со скоростью света с. Если за время т = //с, необходимое для передачи возмущения от од ного конца цепи до другого, ток изменяется незначительно, то мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи бу дут практически одинаковы. В этом случае, как говорят, мы имеем дело с квазистационарными токами.
Пусть исходный заряд одного из конденсаторов, напри мер левого, равен q0. Его величина связана с напряжени ем U0: q0 =CU0. Мгновенные значения зарядов обоих кон
денсаторов обозначим, как ^ |
и ^2, причем в силу закона со |
|
хранения заряда |
|
|
Я\ |
Яг “ Яо• |
О) |
Запишем теперь закон Ома для участка цепи от точки 1 (верхняя пластина левого конденсатора) до точки 2 (верхняя пластина правого конденсатора):
Здесь I - мгновенное значение силы тока в цепи (оно во всех сечениях одинаково); ф, и ф2 - потенциалы верхних обкла док конденсаторов. Если принять потенциал нижних обкла док за нуль (это наше право), то
С учетом этих условий закон Ома приобретает вид
(2)
С
В это уравнение входят три изменяющиеся со временем величины: l,q x и q2, причем две из них связаны услови
ем (1). И для определения функции /(f) осталось только свя
зать силу тока и величину заряда (либо qv, либо q2). Для это го воспользуемся определением силы тока
/ |
dq |
(3) |
|
dt |
|||
|
|
Здесь dq - величина заряда, прошедшего через любое сече ние цепи за время d t. Но именно на столько уменьшается за ряд левого конденсатора (или увеличивается заряд правого конденсатора) за это же время, т.е.
dq =-dql =dq2. |
(4) |
Теперь у нас есть два варианта преобразования уравне ния (2): либо выразить все через один из зарядов ( qx или q2), либо через силу тока. Второй вариант более предпочти тельный, так как мы сразу получим уравнение для искомой силы тока. Для этого продифференцируем по времени равен ство (2):
R d l ^ l f d q 1 |
dg2 |
|
dt C\ |
dt |
dt |
С учетом (3) и (4) имеем |
|
|
dl |
2 |
|
R— =---- / , |
||
dt |
C |
|
или |
|
|
£ + - i . i - o . |
||
dt RC |
|
|
Решение данного дифференциального уравнения, как |
||
легко проверить, имеет вид |
|
|
|
2 |
|
/(0 = v |
RC |
|
|
|
|
где /0 - начальное значение тока. Его величину нетрудно |
||
найти из закона Ома |
|
|
Тогда окончательно получаем |
|
|
(J |
|
t |
7(0 = — е RC |
||
R |
|
|
Величина т -R C называется |
временем релаксации |
и характеризует скорость разряда конденсатора (чем боль ше т , тем медленнее происходит разряд конденсатора).
2.1.10. Измерение напряжения. К источнику тока через переменное сопротивление R подключен вольтметр. Если сопротивление R уменьшить втрое, то показания вольтметра возрастут вдвое. Во сколько раз изменятся показания вольт метра, если сопротивление уменьшить до нуля?
В этой задаче неясными остаются два момента, каким образом подключен вольтметр и надо ли учитывать сопро тивление источника тока? Судя по условию задачи, вольт метр подключен последовательно переменному со
г |
противлению, так как при параллель |
|||||||
ном подключении |
уменьшение |
со |
||||||
□ |
||||||||
противления |
до |
нуля |
привело |
бы |
||||
ф |
к короткому замыканию вольтметра. |
|||||||
Таким образом, |
схема подключения |
|||||||
выглядит так, |
как |
показано |
на |
|||||
рис. 2.14 (g7 |
- ЭДС источника тока). |
|||||||
Рис. 2.14 |
||||||||
Несколько |
сложнее |
дело |
обстоит |
|||||
|
||||||||
с внутренним сопротивлением источника тока |
г. |
Полагать |
его сразу равным нулю мы не имеем права (об этом явно не сказано в условии задачи). С другой стороны, если состав ленная нами система уравнений, реализующая условия зада чи, окажется недостаточной для его определения, то нам придется принять это сопротивление равным нулю.
Пусть первоначальное показание вольтметра при сопро тивлении R равно U . Это значение нетрудно найти из зако на Ома для замкнутой цепи:
и = - |
%RV |
О) |
|
R + г + Rv |
|||
|
|
где Rv - сопротивление вольтметра. При уменьшении сопро тивления R втрое имеем
&Ry |
(2) |
2U = |
|
R / 3 + т+ Ry |
|
При R =О |
|
ZRy |
|
П и = r +Rv |
(3) |
где значение Г| и является вопросом задачи.
На первый взгляд в трех уравнениях содержится шесть неизвестных: U,2?,Rv,R ,r и т]. На самом деле независимых переменных только три, некоторые величины входят в виде
отношений. Таким образом, система уравнений (1)—(3) явля ется достаточной для определения величины т], и после не
сложных вычислений находим: г| = 4, т.е. показания вольт
метра возрастают в 4 раза.
2.1.11.Зарядка аккумулятора. Генератор с ЭДС
ивнутренним сопротивлением г, подключен к аккумулятору с ЭДС «Г2 и внутренним сопротивлением г2 через внешнее
сопротивление R , как показано на рис. 2.15 (кружком со стрелкой обозна чен генератор, стрелка указывает на правление тока). При каком наибольшем значении R аккумулятор будет нахо диться в режиме зарядки?
Это классическая задача на приме нение правил Кирхгофа. Эти правила «на автомате» позволяют написать пол ную систему алгебраических уравнений, из которых можно найти, например, как
неизвестный нам ток, протекающий через аккумулятор, так и все другие токи. При этом нужно учитывать следующее:
а) если в разветвленной цепи имеется N узлов, то число независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа мож но составить лишь для N -1 узлов;
б) если в разветвленной цепи можно выделить несколько замкнутых контуров, то независимые уравнения по второму правилу Кирхгофа можно составить только для тех конту ров, которые не являются наложением уже рассмотренных. Иначе говоря, в каждое следующее уравнение должен вхо дить какой-нибудь новый, не рассматривавшийся ранее уча сток цепи.
В нашей схеме два узла, значит, число независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа только одно. Неза
висимых контуров - два (например, верхний, включающий в себя и «?2, и нижний, включающий в себя %г и R ). Зна чит, уравнений по второму правилу. Кирхгофа будет только два. Таким образом, для трех неизвестных токов /,,/2 и / мы имеем систему из трех независимых уравнений. Обозна чим стрелками (не задумываясь) предположительные на правления токов /,, /2 и I (см. рис. 2.15). Если после вычис лений окажется, что какой-то ток отрицателен, то его истин ное направление противоположно направлению стрелки (выбранное нами направление тока /2 соответствует режиму зарядки аккумулятора). Условимся считать ток положитель ным, если он втекает в узел, и отрицательным - в противном случае. Тогда для узла 2 первое правило Кирхгофа запишется как
- / 1+ /2 - / = 0 . |
( 1) |
Составим теперь уравнения по второму правилу Кирх гофа. Для этого произвольно выберем положительное на правление обхода контуров (например, как показано на рис. 2.15). Если предположительное направление некоторого тока совпадает с выбранным направлением обхода контура, то соответствующее слагаемое IR во втором правиле Кирх гофа нужно брать со знаком плюс, в противном случае - со знаком минус. Аналогично поступаем и с ЭДС - если на правление обхода совпадает с направлением действия ЭДС, то ее нужно брать со знаком плюс. Иначе, если контур обхо дится от плюса ЭДС к ее минусу по внешней цепи, то знак ЭДС положителен. В противном случае знак отрицателен. В соответствии с этими договоренностями имеем
ЛГ1 ^2Г ~ ^ \ - ^ 2 ’ |
(2) |
/2г2 + т = |
О) |