- •АКАДЕМИЯ НАУК ЛАТВИЙСКОЙ ССР
- •механика
- •материалов
- •СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ, ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ*
- •const3
- •КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ В ВОЛОКНИСТОМ КОМПОЗИТЕ
- •РАЗРУШЕНИЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ УГЛЕПЛАСТИКОВ И РЕАЛИЗАЦИЯ В НИХ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ ВОЛОКОН
- •УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХ волокон В МАТРИЦЕ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДОКРИТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
- •РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ВОЛН СДВИГА В ОРТОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТАХ
- •УСТАНОВКА ДЛЯ ИСПЫТАНИЯ КОМПОЗИТОВ ПРИ ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
- •МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТА С ХРУПКИМ ВОЛОКНОМ
- •ОБ ОЦЕНКЕ АНИЗОТРОПИИ УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •ТЕРМОУПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ЛОКАЛЬНО НАГРЕВАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ СЛОИСТОГО МАТЕРИАЛА
- •НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НАЛИЧИИ ЗОН НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА СЛОЕВ
- •ОПТИМАЛЬНАЯ ВРАЩАЮЩАЯСЯ ОБОЛОЧКА ИЗ КОМПОЗИТА, НАПОЛНЕННАЯ ЖИДКОСТЬЮ
- •МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАПАНО-АОРТАЛЬНОГО КОМПЛЕКСА ЧЕЛОВЕКА
- •ИССЛЕДОВАНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МИОКАРДИАЛЬНОЙ ТКАНИ
- •шшшпттд
- •Кинетические уравнения. В нашем случае кинетические уравнения
- •СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРОВ УЛЬТРАЗВУКОВОГО И ОБЫЧНОГО РЕЗАНИЯ МЯГКИХ ТКАНЕЙ
- •ДИАГНОСТИРОВАНИЕ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ГИБРИДНОГО КОМПОЗИТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МЕХАНИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
- •ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДАМИ СПЕКЛ-ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ
- •ДИНАМИКА РАЗВИТИЯ ТРЕЩИНЫ И ЭФФЕКТЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ
- •ВОПРОСЫ ЗАИМСТВОВАНИЯ
- •ТЕРМИНОВ И ТЕРМИНОЭЛЕМЕНТОВ
- •ТЕПЛОФИЗИКА ПОЛИМЕРОВ
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 1, с. 77—84
УДК 624.074.001:678.067
В . А. Лазько
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НАЛИЧИИ ЗОН НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА СЛОЕВ
2\ ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ОРТОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ РАЗРЫВНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА
В [1] сформулирован вариационный принцип для слоистых анизотроп ных систем при наличии зон разрыва перемещений на границе раздела. Используем этот результат для корректного вывода двухмерных урав нений состояния слоистых ортотропных оболочек.
1. Представление компонент напряженно-деформированного состоя ния. Используем для сведения трехмерной задачи теории слоистых ани зотропных систем [и к двухмерной задаче теории слоистых оболочек представление компонент напряженно-деформированного состояния в виде рядов по полиномам Лежандра. Этот метод в различной форме ис пользовался многими авторами |2—5]. Следуя результату об аппрокси мации функции полиномами Лежандра при известных граничных значе ниях ее производной [5], перемещения и напряжения у-го слоя предста вим конечными рядами вида
771 |
|
|
П |
|
|
И а «»= 1 ]| и « |№ ( 2 <я) ( а ч * Р ) ; и ^ = |
h=О |
(1.1) |
|||
k=0 |
|
|
|
||
771 |
|
771 |
|
26 + 1 |
|
|
|
|
|
||
k=О |
|
ft=0 |
2 |
( 1.2) |
|
|
|
||||
|
n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а „ « > = |
Y J |
NazhU]Ph ( z « > ) |
( а |
||
|
A = 0 |
|
|
|
|
77+1 |
|
|
|
|
|
<гин> = Y i ^ P ~ N |
zzk^ P k{zU)) |
(/=1,2, |
|
,N - |
m < n + 1). |
h=Q |
|
|
|
|
|
Соответствующее (1.1) и (1.2) приближение задачи будем называть
(т , п)-приближением.
Компоненты тензора деформации представим следующим образом:
|
<?aa(j)= ^ e«akU)PhizM ); <?сф°> = |
|
еарh^Ph (z(3)) ; |
|
|
/1 = 0 |
|
|
h = 0 |
|
n+2 |
77|+1 |
(1.3) |
|
|
|
|||
eaz(j) = |
eazh{i)Ph(zM ) ( а |
р); в„«» = |
|
ezzkwPk(z(i)) ( / = 1 , 2 , . . . ЛГ). |
|
к=0 |
/1= |
0 |
|
|
|
|
* Сообщение 1 см. [1].
Для компонент объемной силы примем
т
F«U>= Y i ^ P - ' FahU)Ph{zU))
А-О
FZM = |
2k ~h 1 FAU>Pk{zU>) ( / = 1 , 2 , . . . N). |
(1.4) |
|||
|
|
A=0 |
|
|
|
В формулах (1.1) —(1.4) Pk{z<Я) — полиномы Лежандра |
|
||||
|
к (Я |
|
|
..(Я |
|
UshU)=-^±L J |
usMPk(zM)dzM-, |
N srk^ = - ^ - |
J N srw p h(zU))dzUh |
||
lh 3 |
Ь(Я |
|
_л«3'> |
|
|
|
-л1- |
|
|
|
|
|
i,(Я |
|
,(Я |
|
|
eSTkU)= 2^ )1 |
1 |
esr^Ph{z^)dz^\ |
Fshi})= ~ щ - |
j FsU)Ph(z^)dz^ |
|
|
-л»> |
(s, f = a, p, z, |
/ = 1, 2, .. . N). |
—л(Я |
|
|
|
|
|
2. Построение двухмерного функционала. Предположим, что каждый из слоев представляет собой тонкую оболочку, для которой справедливы равенства
Ha(»~A a(j) (a=^p) .
Используя (1.1) — (1.4), проинтегрируем трехмерный функционал [1] в пределах от —ДО до ДО , приведя его к двухмерному. Используем при этом преобразования типа
|
|
| | |
us{j)Osz{j)±dS = ± |
| | |
us(^ ± a S2^ )±i4a (JM p ^ )d a (j)d p (j); |
||||||||||
|
|
o(i)± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
_ ^(Я _ aeB(j)da,j)dp(j)rf2(j)= JJ |
по+2 |
|
|
||||||||
|
|
Л |
{ |
(2ft+l)X |
|||||||||||
|
|
yU) |
0Z |
|
|
|
|
|
S |
/1= 0,2,... |
|
|
|||
|
|
[( |
Ua{i)+ —Ua {j)~ |
|
A—-1 |
|
|
ni+2 |
|
|
|||||
|
X |
) |
- Х У |
^«Л (Я+ХУ |
(2Л+ 1) X |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
i - 1.3,- |
|
|
A=1,3,... |
|
|
||||
|
[( |
|
|
2 |
|
|
A—1 |
|
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
•) |
i = 0,2,... |
Uai(j)] |
# «*«> } |
da«>dp«) |
( оч±р); |
|||||||
|
|
|
|
|
- Х У |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni+1 |
|
|
|
|
|
j j _ a u z ^ _ ^ , .) d a ( .) d p , ., d 2 ( .) = J J |
j £ |
( 2 f e + 1 ) |
X |
||||||||||
|
|
V(j> |
|
^ |
|
|
|
|
|
S |
A-0,2,... |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
|
|
72o-}-l |
|
|
|
|
x [ ( |
- “-li,t+2“iU’~ |
) |
- |
£ |
- » |
] |
|
£ |
(» |
+ „ x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г= 0,3,... |
|
|
A - 1,3,... |
|
|
|
|
|
X |
[ |
( |
- - - ++~ |
|
) |
•) |
- |
^ utiW] |
N „kw } d a « )d p « ). |
2 = 0,2,...
Здесь w5»>±=us«>(±№>); n0=/i, n, = n - 1, если n — четное; и0= /г -1 , щ = п, если п — нечетное; S»»* — граничные поверхности /'-го слоя; S — его срединная поверхность; в выражении, содержащем знак 2', следует учитывать, что, если i> m , то uai= 0 (а ^ р ) .
Получим
1N4
|
/о = |
|
Jj" | 3 o (j) — |
|
MxaA^£ ^ a a h ^ ~~ |
|
||||||||||
_____ L |
( |
da<>> |
Лр»> |
1 |
|
|
|
|
|
|
_ |
|||||
Ла»> |
' |
|
<?Pl3> |
|
|
|
|
|
/ J |
|
||||||
m |
|
|
f |
|
1 |
|
/ |
dUpft»> |
«aftU |
|
& v > |
|
||||
Z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n^ |
|
Leppfe 1 |
ЛР(Я |
V <5р»> |
+ |
Ла(»> |
|
da»» |
+ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Лр»»Лр»»ц2Й(г') | |
j |
— |
|
Л^ар/t»* |
eapft»» — |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( |
dupkU) |
«aft(j) |
|
<Ma »> |
\ |
1 |
|
duakU> |
|||||||
Ла»> |
' |
|
d a »» |
|
Лр(Я |
|
dp»> |
/ |
Лр»» |
|
дяЧ) |
|
||||
«pft»» |
дЛрШ N |
n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
ДГ |
,(7)p |
. (i) _I_ |
^ |
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|1 _ |
|
|
|
|||||||||||
A a U> |
da»'» |
^1J |
|
iV a z A |
w xzA |
r |
|
1 |
|
|
|
|||||
A = 0 |
|
|
|
|
|
Ла»» |
ft=0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
71o+2 |
|
|
|
|
x- da»> |
|
|
fc=0 |
|
ft-1 |
ft= 0,2,... |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
/ Ua(j)+- « a U)_ |
\ |
|
|
V |
' |
«*Ч(Я 1 .. |
|
|
|
|||||
|
\ |
IftU) |
|
) |
|
.-2-! |
ftO |
J^ « * 0) + |
|
|||||||
n,+2 |
|
|
|
|
|
|
г = |
1,3,... |
Л-1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V |
Г |
|
,nt |
, 4 / |
М а^+И а»»- |
\ |
V ' |
U»iU |
1 |
|
||||||
.+ |
[ |
|
(2^ + I ) \ |
2/l<j>1 |
|
|
/ |
|
|
hU) |
J Nazhb)- |
|||||
;=1,3,... |
n+2 |
|
|
|
|
|
|
2 = 0,2,... |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
- |
^ i V p ^ e p zk( « + - J s r ( 2 , |
|
|
|
|
----- |
|
||||||||
|
|
A = 0 |
|
|
AnKJf |
\ --- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Л |
Р |
|
A = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
m |
|
|
|
Ho+zПо+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- f t p » ^ » » |
H |
^ p |
2ftu)Mpft,j)) |
+ |
1 |
J |
[ |
(2f e + l ) ( |
“ ‘>0>o 7 (“ l>til |
■) - |
||||||
|
|
A = 0 |
|
|
|
A = 0 ,2 ,... |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 = 1 ,3 ,... |
|
|
A - 1 , 3 , .. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
h_l |
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
n,+2 |
|
|
|
|||
- I |
j |
- Т 7 Г |
1 N * lhU) ~ |
X » |
N ^ |
U)e^ |
U) + |
Z |
i f |
(2fe+ 1) X |
||||||
• |
n o |
|
|
|
A =h=0 |
|
|
|
A = O.2.... |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ft— |
|
|
|
|
|
|
n0+l |
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] w «ft«> + |
]T , |
|
[ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
h«> |
|
■ |
|
A= 1,3,... |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
A— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ari«> |
' |
|
|
Z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Л«» |
|
] * « * « > - ( |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 0 |
|
|
+ |
|
|
Fzk^Uzh^ j J |
Aa^ A ^ ^ d a(^d^^ |
|||||
|
/1= 0 |
/1= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
— JJ |
(иа(Ю+Оа2++ U£{N)+G$z++ Uz(N)+Ozz+—^ a (1)“ CT2z” |
— ^ P (l)_ Crpz“ “ |
|||||||
S |
|
|
N |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
—и7(1)о77~) AnAfidadR— |
, |
h(J) } ( ] ^ P a / i (j)^a/i(j) + |
||||||
|
|
|
j=l |
ьа |
fc- 0 |
|
|
||
|
?n |
|
n |
|
|
|
N |
m |
|
+ |
, X J PP/I (J)WP/I0 )+ '!t^Pzh{j)UzkU)^ dl— |
Л(j) J [ |
E |
pah{i)X |
|||||
|
A = 0 |
|
/t = U |
|
|
j = l |
X. |
Л - 0 |
|
|
|
|
771 |
|
|
П |
|
|
|
X (Uahu)-Uahu)) + |
^ / ?e'‘ U ,(Wefc(j,- « e A (j)). + |
I j |
Pzh{i) (UzhU)~ UzhUо ] d l- |
||||||
|
N - \ |
|
h =0 |
|
|
/i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Y . |
Я [ |
< W W +1) ( « a ‘' ) + - « |
a |
(' + 1)- + |
a p z (,', + 1 ) ( u P( 0 + - |
WP('+ I , _ ) . + |
||
|
/ = 1 |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ <Тгг('’'+1) («z(,)+—«z(,+1)_) ] |
ds. |
|
(2.1) |
В формуле (2.1) Э0О — удельная энергия деформации /-го анизотроп ного слоя, которая в случае ортотропии материала записывается в виде
т
|
Э0«> = |
(£aW+Xa(^2£z‘j)) Y |
- ^ Г Г Г eaahU)2 + |
|
|
+ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
А = 0 |
^ Й + 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
771 |
|
|
|
|
|
71+1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ V j)2^ (i)) |
|
^ — ер№Ш2 + £ гШJ ] , — |
А |
^ |
> |
2 + |
||||||||
|
|
|
/i=0 ^/г_т'А |
|
771 |
|
к=0 |
ZRr ‘ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 (fip^Vpa^ + |
|
|
|
|
- |
|
- £аа/i^pp/t^ + |
|
||||||
|
|
|
77i |
|
|
Л = 0 |
^ |
+ 1 |
|
I |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
2 E z^ X a i j ) Y |
i - |
о ь |
, r g « t t f t ( j ) gzzfc<j ) |
+ |
2 £ |
z 0 U p |
( i ) X |
J |
|
* |
Г Х |
|||
|
|
Л=0 |
^ |
+А |
|
|
|
|
|
ft-о |
^ |
+ 1 |
|||
|
|
|
|
|
771 |
|
|
|
|
71+2 |
|
|
|
|
|
X ^p p /i(j)ezz/i(j, + |
G a p(j) |
|
ОЬл-1~ |
gaPfc(i)2+ |
Q a z(j) |
|
9 . |
|
«----^az/t(j)2 + |
||||||
|
|
|
|
ft= 0 |
|
|
|
|
k = 0 |
|
|
|
|
||
|
n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Jj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
2. , , |
eP *0)a; |
Ps,*0 )= w |
*f |
ps°)pk(z{i))dzw-, |
|||||||||
GPz(i)l j - ^ |
r |
|
|
|
|
|
n |
t (j) |
|
|
|
|
|||
|
h=Q |
Z K ‘t’ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—h |
|
|
|
|
|
|
2k+ 1 |
f |
“sli)Pb(z{i))dzW-, |
|
|
|
|
Ea<» |
|
|
( a * * p ) ; |
||||
“shU)=~ 2h<» '~ J |
£ ««> = |
1 — |
V a p ( i ) V p a <j| |
||||||||||||
|
-liU |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( l - v ep«)vpa«>)£^)
E zd>= -
1— V a p 0 , V p a 0 ) — V a z ( j , V z a U ) —
,m V a p 0 ) V p z , j ) + V a z 0 '>
V p z <i)V z p (-’) — 2 v a p ( j ) V p z ( j ) V z a (j)
£ <x(j) ,
* * -----1 - W « v * « ’ ~ Ё Г (“ ~ w -
Ea^\ £p(i), Ezm — модули упругости для главных направлений ортотропии, которые мы принимаем совпадающими с направлениями координат ных осей; GpzW, Gaza), Ga^j) — модули сдвига, характеризующие измене ния углов между главными направлениями (№’) и z ^ \ a w> и z ^ \ и ро*>; vap(j), vpa(j), Vaz(j), vpz(j), vza0), vzp(j) — коэффициенты Пуассона, характери зующие поперечные изменения; поверхностные интегралы вычисляются по области, занимаемой срединной поверхностью слоя, контурные ин тегралы — по границам этой поверхности.
3. Вывод основных соотношений. Как и в трехмерном случае [1], для функционала (2.1) справедлива аналогичная теорема. Из нее следуют
соотношения теории |
ортотропных слоистых |
оболочек произвольного |
(яг, п)-приближения. |
Их будем записывать |
относительно компонент |
обобщенных усилий и перемещений, исключив компоненты обобщенных деформаций, а также перемещения точек граничных поверхностей слоев, использовав при этом граничные условия для напряжений на поверх ностях слоев.
Запишем основные соотношения (выкладки из-за громоздкости опу
скаем). Уравнения равновесия будут иметь вид |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дАаи |
|
|
|
|
— {ApMNaah^) + |
dftuT H a(j)Nap/t(j)) + ^ ap/t0) <?p<j> |
|
|||||||||||
|
|
|
|
дЛ«(Я |
|
|
|
|
|
|
/ |
2(Ja2(j) |
|
||
|
|
— Mppfc(j,)- |
(j) |
— hfea (j)^ a (j)^ P (j)^ a z / t ( j) + у |
~ f ju T ~ |
|
|||||||||
|
|
|
|
h-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
H i |
2L^ |
-Nazi^ + Fah^ ) |
Ла«Мэ<я= 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
( a ^ P ; |
Л = 0 ,2 , |
|
/ = 1 , 2 , . |
N)\ |
|
(3.1.) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
d ..................... |
|
|
d |
|
(Aai»N 'th<»)+ N ^ » |
d A Jti |
||||||||
|
|
W » N mk< »)+ — |
|
|
|
----- |
|||||||||
|
|
- N m |
U) d^ |
U) |
-+ ka.U)A a U)A$MNazk0 > + ( |
—jjjT )------- |
|||||||||
|
|
|
|
h-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
H i |
2-~ |
- |
NaziU)+ F ah^ ) Ла^>ЛрО) = 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
г= 0,2,... |
|
|
|
|
|
|
|
___ |
|
|
|
|
|
|
|
( a ^ P ; f e = l , 3 , . . |
, т й j = l , 2 , . . . , N ) \ |
|
|
||||||||
---- — |
|
( i4 e « W a z h (i)) + |
dpu) |
|
* U ) N № |
U' ) |
|
|
|
|
|||||
d aU) * |
|
|
|
|
|
|
/ir-l |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
2aZ2(j) |
|
2 i+ 1 |
|
... |
||
- v w i M p ° w Piik(i>+^ —p — |
|
2 J |
— N™{3)+ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l —* . . . |
|
|
|
|
+ /r* ,j,) A * w,V J, = 0 |
|
(6 = 0, 2 , ... , |
n0; /= 1 ,2 ,. |
|
N); |
||||||||||
^ — |
|
|
+ - J - T |
(i4aliWpzk(J)) |
|
|
|
||||||||
|
|
j) |
|
|
|
|
ac?p(J»1-" |
|
|
|
|
|
|
|
|
dau> |
|
|
|
|
|
, i |
|
|
h-l |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
—/ep(jMa(jMp(j)Npp/<(j) |
^ |
к » |
■ |
L |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2=0,2,... |
|
|
|
+ |
i4a^Mp(i) = 0 |
(fe = 1, 3 , . |
, П\\ / = 1 , 2, |
., yv). |
Обобщенные усилия определяются из зависимостей |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
МиаО>=- |
|
|
|
-аШ[ |
|
1 |
|
duahU) |
|
|
|
|
UfikU) |
|
|
дАа0> |
|
||||||||||||
2А+1 |
|
|
|
|
даo> |
|
+ |
|
Ааи>А^> |
|
d № |
|
+ ' |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L Л«о> |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
du$hU) |
|
|
|
|
UahU) |
|
dAfiW |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
"1" VaP*^ ^ Л ри> |
|
d p u > |
|
+ |
' |
Л а о > Л рО) |
<?aU) + |
|
||||||||||||||||
+ V |
j)« ^ ,j> ) |
|
] +Ла0)^ к (Л |
|
(а =Г* P; |
|
A = 0, 1 ,..., |
От, j = |
1 ,.. •, Л/); |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( |
|
д и ^ |
|
|
|
|
u<xhU) |
|
dAaU) |
> |
+ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<?a«) |
|
|
|
|
A„«> |
|
dpo) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
/ |
duakU) |
|
|
u$hU) |
|
|
dAfid) |
\ |
I |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Лр0) |
V |
dpo> |
|
|
AaU) |
|
|
<?a0> |
/ |
J |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
( / s = 0, 1, — , m ; / = 1, 2, . . . , J V ) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nazk^^ + ~ |
|
|
|
|
|
|
■ |
£ |
|
(2i+ l)iVaziO* = |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2(n0+2) + l |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
,=o2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n0+l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2G «*U „> |
|
| |
^ |
|
|
|
|
Uap{i) |
|
■ |
|
|
1______ —1 |
( |
du* m |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
p = /i+ l, fc+3,... |
|
A«> |
|
+ |
2k:+1 |
|
Л«0) |
V |
d a^ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
} |
|
-|- 2(n,+22) + l |
•CTalO |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(ач^Р ; |
|
A = 0 ,2 , .. . , |
n0; |
/ = 1 ,2 , ... ,/ / ) ; |
|
|
|
|
(3.2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tlj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Л'“ ‘ Й + 1 ? ^ 12 Т Т Г . ? ' |
|
(и+1)л,<“ ‘ш= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
{p = |
ni+l |
|
|
|
|
|
|
|
i= |
1,3,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= 2GOZ0) |
г |
|
. |
|
U<xp(j) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
/ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
/t+l, |
/1+3,... |
|
АО |
|
|
+ -2A+■1 |
|
л«0) |
V |
daO) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
-А ао>Лао)Иа/1(я ) |
} |
|
+ |
2 (ni+ 2 ) +1 |
“Oa2( j ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
|
|
P; |
k = 1 ,3 ,..., |
nr, j = |
1 ,2 ,... ,N ); |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71,-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iV22fc0) |
|
|
|
I ) T |
r (. 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
" + W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 2£z0) |
r |
|
|
V |
|
|
JO / |
|
* + |
Я аО ). |
J U |
|
|
^Mafc(j) |
, |
Мрл(Л |
|
-X |
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
A |
\ |
|
|
|
Лр^‘> |
|
||||||||||||||||
|
|
P=/t+l, /i+3,... |
|
|
|
|
|
Ла(^„(J) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
<?po> |
+fea(j)i4a<j)Uz,t,j>) |
+xplj> |
л |
^ г ( |
^ n |
r |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x ~ ^ S r |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
+- «a/i,j) |
|
(ЭЛрО |
|
|
■ +АрО)ЛpOTu^o) ^ J |
|
+- |
2(nt + l) + |
l |
■Hzi(J) |
|||||||||||||||||||
|
Ла(Л |
|
daO> |
|
|
' |
" |
|
|
|
' ‘,v |
/ J |
|
■ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(A=0, 2 , .... /г, —1; |
/= 1 ,2 ,. ..,N ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71о—1 |
|
|
|
|
|
Nzzl№+ |
|
- |
Y |
(2t + |
l)iV2Zi<j> = |
|
||||
|
|
|
2 (no + 1) + |
1=1,3,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2£ 2H> |
|
U z p (j ) |
+ |
L _ ( |
d U a k {}) |
|||||
[p = /i+1l, Л +3,.. |
|
|||||||||
|
|
A«) |
|
Л«',U) \ |
da,U> |
|||||
ивл0) |
<ЭЛаш |
, |
|
\ |
|
l |
/ |
дильМ |
||
+ ~ T 7 T |
~ iR(n |
•+fettlW |
J)H*fc»>) + ^ ,j)-T7rV |
^ |
4 - |
|||||
ЛрО) |
|
|
|
|
/ |
p |
Лр‘-|> |
\ |
(Зри) |
|
uahU) |
|
da(j) |
•-H --H |
|
\ I |
• 2(no+l) + l |
||||
+ ^ П ] Г |
|
|
/) jJ |
|||||||
|
|
(£=1,3....... По- l ; |
/= 1 ,2 ,...,1V). |
|
|
(3.2) |
На краю оболочки должны выполняться следующие граничные условия:
—► —>■
N o a h 1» COS (n , a (j)) + N a (ihU) COS (n , p № ) = p a k(i)
(a=^P ; £ = 0 ,1 ,... , m; / = 1, 2 , ... , N);
N a z k U) COS (rt, a0>) + N pZkU) cos (n , p<>>) = p2h<-'>
(£ = 0 ,1 ,..., n; / = 1 ,2 ,----TV);
«aft(j) = «ah(j) (a=^P ; £ = 0,1........ nr, / = 1 ,2 ,..., Af); = «2,t0) (£ = 0 ,1 ,..., n; / = 1 ,2 , ... , IV).
На поверхностях контакта имеем:
а) в зонах идеального контакта подлежат определению все три со ставляющие вектора контактных напряжений; для перемещений выпол няются условия
ИаО) = « * « + • > ( а ч ± Р ) ; н 2(') = и 2(Ж ) ( / = 1, 2 , . . . , N - 1 ) ;
б) в зонах неидеального контакта касательные напряжения известны и могут задаваться произвольно; тангенциальные составляющие пере мещений терпят разрыв (между слоями может происходить скольже ние); для нормальных составляющих перемещений выполняется условие
Иг(0= и*«+» (/= 1 ,2 ,..., N —1). |
(3.3) |
Если условие (3.3) не выполняется, то в зонах S ew+1) имеет место от
липание слоев.
В (3.1), (3.2) принято m0=m ; m i=m — 1, если т — четное; т 0= т —1;
т.\ = т , если т — нечетное; |
asi(j)=^-(crs2^J+1)+Osz(-’_I,’); aS2^) = 2"(osz(i’5+1)— |
||
—aS2(j-U) |
(s = a,P,z; |
/ = 1 ,2 ,... ,IV); oS2(°'|) = aS2- aS2<N'-N+1'= a S2+ Выраже |
|
ния для напряжений oazU), |
apz0), ozzU) с учетом условий на поверхностях |
||
слоев запишутся: |
По |
|
|
|
|
|
|
|
OazU)= ^ |
----- X"---- Nazh0) ( P k ~ P П0+ 2) + |
|
|
|
ft=0,2,... |
|
|
Til |
|
|
+ |
^ |
" - Nazh{j) {Pk — Pni+2 ) + CTal {i)Pn0+2 + (Увг^Рти+г |
|
|
/1=1,3,.. |
2 |
|
( a ^ P ) ;
n,-l |
|
|
По-1 |
|
(Tzz(j) - 1 |
2& + i Nzzh(i)(Ph—Pm-i) + |
|
2Л +1 |
|
/1 = |
Nzzl№ (Pit —Pno-l) + |
|||
/t=0,2,... |
“ |
|
1,3,... |
|
|
+ O zl^'^P ni+1 |
no+1 |
( / = |
1> 2 , . . . , N) . |
Выражения для перемещений точек граничных поверхностей слоев за пишутся [5]:
/гО) |
... |
h{i) |
UaW(±/lV>)=- |
т—(Wazl(-',±MxzOU)) +Ua0lj) — |
X |
2GazU) |
Ла«> |
X |
(4 |
f ' n ' * |
4 |
?T~) |
+ /г<Я*“Ш( ^ Т ^ -± “«ои> ) (a ^ P); |
|
|
\ Я |
<9nfO |
d«OJ / |
' 3 |
' |
и20) (±A0>) =■
X14( 1
з' л а{-')
A»)
— (У221<л ±W220<i>) +«*0») -А0)Л«0>Х zEz'3'
dua\{i) |
«pi (j) |
ЙА.Н) |
+ |
£ a ( j) « z l (j) |
|
’ л«о)лро) |
apO) |
||
|
|
» ) * |
± (V—Л«0)^„<j |
duaoU) |
|
|
«p0, ( j ) |
M a0> |
||
да<» |
+ |
|
Л аО)ЛрО) |
dpo) |
—■ +Аао’)и2оО ) ] — |
||
з V ЛрО |
a«piO) |
ыа10) |
дЛрО) ' + ЛрО)н210)| ± |
||||
|
<?рш |
+l л«оМрО) |
aaO) |
||||
- ‘ “ ^ " [ ■ 5 ( - 3 3 |
|
+ |
|
|
j}— hApO’urtO’) ] |
||
± (_L |
d«po(j) |
|
UaoU) |
||||
|
|
|
|
|
MpO> |
||
\ ЛрО)J4AO |
apo) |
|
|
л ао>Лр«) |
aaO» |
||
|
|
|
(/ = |
1, 2 ,... |
,N ). |
|
Таким образом, получены основные соотношения для слоистых ортотропных оболочек произвольного (т , п) -приближения. При решении конкретных задач для каждого слоя может быть выбрано такое прибли жение, уравнения которого наиболее полно отражали бы специфику его механического поведения.
В [5] приведены уравнения приближения ( т = п + \,п ) при л = 0 ,1,2 для однослойных оболочек. Уравнения трансверсально-изотропных плас тин приближения т = 1 , п =2 получены в [6].
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Лазько В. А. Напряженно-деформированное состояние слоистых анизотропных оболочек .при наличии зон неидеалыюго контакта слоев. 1 . Вариационный принцип тео рии упругих слоистых анизотропных систем при наличии зон неидеалыюго контакта. —
Механика композитных материалов, 1981, № 5, с. 832—836.
2 . Векуа И. Н. Теория оболочек переменной толщины. Тбилиси, 1955. 103 с.
3.Калекин О. Ю. Применение полуобратного метода к исследованию симметрично нагруженных оболочек вращения средней толщины. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, канд. техн. наук. Харьков, 1967. 28 с.
4.Понятовский В. В. К теории изгиба анизотропных пластинок. — Прикл. матема тика и механика, 1964, т. 28, N° 6, с. 1033—1040.
5.Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Контактные задачи теории упругих анизотроп ных оболочек. Киев, 1980. 214 с.
6 . Пелех Б. Л., Лазько В. А. Напряженно-деформированное состояние трансвер сально-изотропных пластин, слабо сопротивляющихся поперечным деформациям. — Докл. АН УкрССР. Сер. А, 1976, N° 7, с. 639—642.
Институт прикладных проблем Механики |
Поступило в редакцию 10.06.80 |
и математики АН Украинской ССР, Львов |
|