- •Жанжеров Е.Г.
- •1.1. Назначение системы стабилизации летательных аппаратов
- •1.2. Функциональная схема системы стабилизации
- •1.4. Возмущения, действующие на летательный аппарат в полете
- •1.5. Рулевые органы летательного аппарата
- •СТАБИЛИЗАЦИЯ УГЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ ЖЕСТКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
- •2.1. Структурная схема системы стабилизации
- •2.5. Анализ точности дискретного канала рысканья системы угловой стабилизации
- •2.6. Способ повышения точности стабилизации движения летательного аппарата по каналу тангажа
- •РУЛЕВЫЕ ПРИВОДЫ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ
- •4.1. Функциональная схема рулевого привода
- •4.2. Принцип действия рулевых машин
- •4.3. Передаточные функции рулевых машин
- •4.4. Передаточная функция рулевого привода
- •Глава 5
- •5.1. Влияние упругих колебаний корпуса на угловое движение летательного аппарата
- •5.3. Структурная схема системы угловой стабилизации упругого летательного аппарата
- •5.4. Явление транспонирования частоты в системе угловой стабилизации упругого летательного аппарата
- •5.6. Условия стабилизации четных и нечетных тонов упругих колебаний корпуса летательного аппарата
- •5.8. Методика выбора частоты квантования при стабилизации нескольких тонов упругих колебаний корпуса
- •Глава 6
- •6.1. Уравнения движения летательного аппарата при учете колебаний жидкого топлива
- •'Pvefp
- •6.3. Стабилизация углового движения летательного аппарата при учете колебаний топлива в баках
- •СИСТЕМА СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
- •7.1. Принципы построения системы стабилизации
- •7.2. Выбор закона управления системы боковой стабилизации
- •7.3. Анализ динамики системы боковой стабилизации
- •8.1. Понятие о квантовании сигнала по уровню
- •8.4. Динамика системы стабилизации при учете нелинейности рулевого привода
- •МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
- •Интегрирование по правилу прямоугольников
Глава 8
ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ АВТОМ АТА СТАБИЛИЗАЦИИ НА РАБОТУ СИСТЕМЫ
Автомат стабилизации является нелинейным устройством, так как он содержит нелинейные элементы. Основными нелинейными элементами автомата стабилизации являются преобразователи аналог-код и коданалог, а также рулевые машины. Нелинейное преобразование сигнала в преобразователях аналог-код и код-аналог обусловлено происходящим в них квантованием сигнала по уровню, нелинейное преобразование сигнала в рулевой машине возникает, прежде всего, вследствие ограничения ско ростной характеристики рулевой машины.
Рассмотрим влияние квантования сигнала по уровню на систему ста билизации.
8.1. Понятие о квантовании сигнала по уровню
Смысл квантования по уровню поясним на примере преобразователя типа аналог-код. Квантование по уровню возникает вследствие конечного числа разрядов преобразователя и представляет собой преобразование ана логовой величины в дискретную в соответствии с определенным числом уровней квантования, причем преобразование аналоговой величины про исходит в ближайшее значение дискретной величины.
Сущность квантования по уровню иллюстрирует рис. 8.1, где х\, *2 - соответственно входная и выходная величины, с - ступенька квантования.
Как видно из данного рисунка, квантование по уровню характеризуется ошибкой Ах:
Дх = Х|(/)-х2(0. |
(8.1) |
Величина ошибки изменяется в пределах |
|
-\ < Ъ х < -с. |
(8.2) |
Используя рис. 8.1, можно построить статическую характеристику преобразователя х2 =ЛХ\) (рис. 8.2).
Анализ данного рисунка показывает, что преобразователь типа ана лог-код имеет многоступенчатую релей ную статическую характеристику, т.е. яв ляется нелинейным элементом. Число разрядов преобразователя код-аналог значительно меньше числа разрядов БЦВМ, поэтому при преобразовании дискретной величины в аналоговую про исходит также процесс квантования по уровню. Следует отметить, что число разрядов преобразователя аналог-код ко леблется в пределах 12-15 и значительно превышает число разрядов преобразова теля код-аналог, который имеет 5-7 дво
ичных разрядов. Это объясняется необходимостью преобразования малых входных величин, обусловленных незначительными угловыми отклоне ниями, вызванными, например, упругими колебаниями корпуса ЛА.
Таким образом, можно условно считать, что преобразователь аналогкод в системе стабилизации имеет большое число разрядов, а преобразова тель код-аналог - сравнительно малое число разрядов. Функциональная схема системы стабилизации с учетом квантования сигнала по уровню в преобразователях представлена на рис. 8.3.
Как видно из этого рисунка, в состав преобразователя аналог-код вхо дят импульсный и многоступенчатый релейный элементы, а преобразова тель код-аналог включает в себя запоминающее устройство и релейный элемент. Исследование влияния квантования по уровню на работу системы стабилизации будем осуществлять следующим образом. На первом этапе будем проводить исследование при учете квантования по уровню в преоб разователе аналог-код, на втором - в преобразователе код-аналог.
8.2.Учет влияния квантования по уровню
в преобразователе аналог-код (при большом числе разрядов преобразователя)
В этом случае можно считать, что максимальное значение аналоговой величины существенно превышает величину ступеньки квантования:
*1 max > с • |
(8 -3 ) |
Рассмотрим влияние ошибки квантования на точность преобразова ния, причем сам преобразователь будем представлять как линейный эле мент, а к системе приложим внешнее воздействие в виде ошибки кванто вания по уровню. Так как число разрядов преобразователя велико, а вели чина ошибки квантования мала, то будем считать ее случайной величиной. Можно считать, что ошибка квантования принимает с равной вероятно
стью значения в диапазоне |
+ ® связи с вышеизложенным примем |
для ошибки квантования по уровню в качестве закона распределения закон равномерной плотности вероятности (рис. 8.4). На рисунке обозначено: F(x) - функция распределения; X *) - плотность вероятности.
Рис. 8.4
Для оценки влияния ошибки квантования на точность преобразования определим среднеквадратическое отклонение ошибки ох:
где |
- дисперсия ошибки. |
|
Зависимость, с помощью которой определяется дисперсия для слу |
чайной величины с равным нулю математическим ожиданием, имеет вид
|
|
Dx = ”j x 2f(x ) dx . |
(8.5) |
||
|
|
—00 |
|
|
|
Для рассматриваемого случая |
с |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx = |
\ х f{x ) d х . |
(8.6) |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Плотность вероятности определим из известной зависимости: |
|||||
|
|
]/ (x )d x = l, |
(8.7) |
||
или для рассматриваемого случая |
|
|
|
||
|
|
С |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
( 8.8) |
|
|
1 / (*)d x = l. |
|||
Тогда |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я М |
2С=!; |
|
(8.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ « * |
= -• |
|
|
|
|
|
с |
|
|
Подставив (8.9) в (8.6), получим |
|
|
|||
|
|
|
_ 1 Ах |
— |
2 |
n |
1 2г д 2 , |
2 _ £ _ |
|||
Dx = - |
] Дх dx = — - |
|
( 8. 10) |
||
|
с |
J |
с 3 |
_£ ~12 |
|
|
|
|
|
2 |
|
Следовательно,
2V3'
Итак, при квантовании сигнала по уровню возникает ошибка, средне квадратическое отклонение которой в д/З раз меньше максимального зна чения.
От того, учитывается ли ошибка квантования максимальным значени ем или среднеквадратическим отклонением, будет зависеть число разрядов преобразователя, которое определяется исходя из требования к точности преобразования.
8.3. Учет влияния квантования по уровню в преобразователе код-аналог (при малом числе разрядов преобразователя)
Будем считать, что в этом случае величина ступеньки квантования со измерима с максимальным значением преобразуемого сигнала. Поэтому преобразователь представляет собой элемент с существенно нелинейной статической характеристикой. Для упрощения рассмотрения влияния на точность системы ошибки квантования введем следующее допущение:
-будем рассматривать только собственное движение системы;
-примем число разрядов преобразователя равным 1;
-не будем учитывать зону нечувствительности в статической харак теристике преобразователя, которая в этом случае примет вид, показанный на рис. 8.5, а.
|
Рис. 8.5 |
|
Таким образом, |
|
|
F(x) = c |
при |
*> 0 ; |
F(x) = -с |
при |
дс < 0. |
Функциональную схему системы стабилизации можно в данном слу чае представить как содержащую линейную и нелинейную части (рис. 8.5, б) (Ф - фиксатор, ЛЧ - линейная часть).
В нелинейную часть системы входит импульсный элемент, запоми нающее устройство нулевого порядка и релейный элемент. Назовем нели нейную часть системы релейно-импульсным элементом (РИЭ). Известно, что в релейной системе автоматического регулирования может возникнуть устойчивый периодический процесс (автоколебания). Задача состоит в оп ределении амплитуды автоколебаний с целью оценки влияния квантования по уровню на точность системы. Для определения амплитуды автоколеба ний используем метод гармонической линеаризации. Чтобы решить дан ную задачу, необходимо знать комплексный коэффициент передачи РИЭ.
Определение комплексного коэффициента передачи РИЭ Wp. Этот коэффициент является функцией амплитуды сигнала а, поступающего на вход РИЭ, фазы квантования \j/* и соотношения частоты квантования и частоты сигнала:
|
(8.13) |
Wp =f(a, у, я), |
(8.14) |
Сигналы на входе РИЭ, на выходе фиксатора и на выходе релейного элемента (1,2,3) представлены на рис. 8.6.
Фаза квантования характеризует фазовое отставание сигнала на выхо де РИЭ по сравнению с сигналом на входе. Комплексный коэффициент пе редачи можно выразить через модуль Rp и аргумент фр:
Wp{a, у, и) = RpeyV |
(8.15) |
Выразим модуль и аргумент через коэффициенты гармонической ли неаризации РИЭ q и q':
<рр =arctg^-, |
(8.17) |
||
где |
|
|
|
1 |
2я |
sin4/d\j/; |
(8.18) |
о = — |
fF (v ) |
||
ТТЛ |
о |
|
|
1 |
2п |
cos \|/d\|/; |
(8.19) |
q' = — |
J F (y ) |
Учитывая вид сигналов на входе и выходе РИЭ (см. рис. 8.6), опреде лим q и q' \
II !|м ла
\ |
|
^ |
4с |
( 8.20) |
с sin у d\y ==—f-cosvur+v* 1= — cos \/1 |
||||
Vк |
7ш\ |
У |
л<я |
|
|
|
|
|
|
* + П |
с cos \|/ёф = — (sinv|/|’' +'1'* 1= |
-4 с . |
( 8.21) |
|
q' = |
J |
----- sin у |
|||
ла |
7Ш V |
■v* у |
па |
1 |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.22) |
|
|
Фр = -У*. |
|
|
(8.23) |
Выразим фазу квантования через соотношение частоты квантования и частоты сигнала.
Как видно из рис. 8.5, аргумент РИЭ представляет собой сумму аргу
ментов фиксатора срф и релейного элемента фрэ:
ФР = Фф + Фр э - |
(8.24) |
Но для релейного элемента с однозначной статической характеристи-
w |
г\ |
со |
-71 |
кои фрэ = 0, а фф = - я — |
= — . |
||
|
^ |
соо |
п |
Тогда
Фр = - * 7 7 - |
(8-25) |
|
F |
COQ |
|
Подставив (8.22) и (8.25) в (8.15), получим
Щ а, у, и) = — е “ 0
па
Заменимусо нар, тогда
|
|
ЦУ |
|
_Ph |
|
и / / |
. 4 с |
а>0 |
4 с |
2 |
(8.27) |
^p(a,V ,p) = — |
е |
— е |
|
||
|
па |
|
па |
|
|
Методика определения параметров периодического процесса, возникающего в системе стабилизации за счет квантования сигнала по уровню. Задача состоит в определении частоты и амплитуды периодического процесса, т.е. частоты и амплитуды автоколебаний на входе РИЭ. Воспользовавшись методом гармонической линеаризации, запишем условие существования периодического процесса в системе :
а а д а д ] = - 1 . |
|
|
|
(8.28) |
||
Здесь Wn(p) - передаточная функция линейном части системы. |
|
|||||
С учетом формулы (8.27) получим |
|
|
|
|
||
|
рТ0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
= - |
1. |
(8.29) |
||
|
па |
|||||
|
|
|
|
|
||
4с |
|
|
|
|
|
|
Вынесем — за скобки: |
|
|
|
|
|
|
па |
|
|
|
|
|
|
|
рт0 |
|
|
|
|
|
4с г |
2 |
= - |
1 |
. |
(8.30) |
|
па s |
И 'л (Р ) |
|||||
|
|
|
Как видно из выражения (8.30), необходимо осуществить операцию z-преобразования от функции с запаздыванием. Для решения такой задачи применяется модифицированное z-преобразование, символ которого С/п
[2].
При использовании модифицированного z-преобразования вводится некоторый параметр т , характеризующий запаздывание функции:
m = |
(8.31) |
То
где т - величина запаздывания, причем 0 < т То <,. Модифицированные z-преобразования различных элементарных функций приведены в прило жении 1.
Так как для исследуемой системы т = ^2-, то т = 0,5.
С учетом вышеизложенного перепишем зависимость (8.30)
^ " ¥ л{р)]=-\. |
(8.32) |
Используя приложение 1, получим |
|
zr: Wn(z,m) = - l . |
(8.33) |
Для определения параметров периодического процесса воспользуемся частотным методом (методом Е.П. Попова). С этой целью запишем харак теристическое уравнение системы в области w, выделим мнимую и веще ственную части характеристического уравнения и в итоге получим два уравнения для определения амплитуды и частоты автоколебаний.
Итак, переходим в область w с помощью известной подстановки 1+ YV
4с |
Wn(W) = - l . |
(8.34) |
па |
|
|
Характеристическое уравнение системы примет вид |
|
|
£ |
M w ) + i = o. |
(8.35) |
па |
|
|
Заменим w наjv: |
|
|
^ » л ( А ) + 1 = 0. |
(8.36) |
|
па |
|
|
Выделим вещественную и мнимую части уравнения (8.36) и приравняем их к нулю:
Re |
4с |
Wn<Jv) + \ = 0 ; |
(8.37) |
|
_па |
|
|
Im |
— |
W„(jv) + \ = 0 . |
(8.38) |
|
.па |
|
|
Из этой системы уравнений находим v и а.
Определение параметров периодического процесса в системе угло вой стабилизации. Структурная схема СУС представлена на рис. 8.7.
Рис. 8.7
Для решения поставленной задачи воспользуемся зависимо стью (8.30), тогда условие существования периодического режиме запи шется в виде
|
|
|
рТ0 |
|
4с с. |
|
|
2 |
Д г ) = -1 |
па S ^г^п^уб 2 |
е |
|
||
|
|
|||
|
Р |
|
|
|
или |
|
|
|
|
4КгКпЬу$с |
С |
|
|
д * ) = - 1. |
па |
|
|
||
|
|
|
|
Воспользуемся модифицированным z-преобразованием:
4КГКцЬу§с |
тТ0 |
| |
то |
£»(z) = - l . |
|
па |
2 - 1 |
, |
,Ч2 |
||
|
|||||
|
|
(z - 1 ) |
|
при m = 0,5.
Произведем алгебраические преобразования:
2^г^п^убс^0 z +1
па |
(z -1 ) |
д * ) = - 1. |
|
||
|
|
|
Перейдем в область w, учитывая, что |
|
(8.39)
(8.40)
(8.41)
(8.42)
(8.43)