Механика композитных материалов 3 1983
..pdfЗначения коэффициентов вариации v n для органопластика ОП-1 |
|
||||||
|
/С" |
|
К* |
|
Кк |
|
|
Вид деформации |
|
|
|
|
|
N■2 |
|
|
я, |
N, |
|
N2 |
Л', |
||
Изгиб |
27 |
21 |
5,5 |
3,5 |
28 |
30 |
|
Растяжение* |
2,8 |
3,3 |
2 |
1 |
4^ |
3J3 |
|
* 2 |
4 |
• 2,4 |
2,4 |
6 |
6 |
||
|
|||||||
Сжатие |
6,8 |
7,2 |
|
2,7 |
9 |
12 |
|
В знаменателе |
приведены значения vu, |
полученные |
с учетом |
разогрева. |
|
деформации, вызывающие сильный разогрев. И то, и другое пагубно для многоцикловой усталости.
Следует отметить, что значения К в табл. 5 определены без учета разогрева, который снижал oR. Однако, как показал анализ, это не мо жет внести существенных погрешностей в значении К. Для случая рас тяжения с /? = 0,1 органопластика ОП-1, где имел место наибольший разогрев, по данным работы [ 1 1 ] значения oR были скорректированы по средней температуре образцов за время испытаний. Полученные величины Vк с учетом разогрева, приведенные в табл. 6 (в знаменате лях), подтверждают этот вывод.
Корреляция oR и а* использована в экспресс-методе оценки зави симости oR(q) армированных пластиков [20]. Сущность его заключа ется в том, что экспериментальная кривая усталости строится только для одного значения q, а для остальных достаточно ограничиться опре делением а* при статическом нагружении на идентичную деформацию. Для материала ОП-1 при растяжении (см. табл. 6) можно использо вать с этой целью также корреляцию од с оп и Е. По-видимому, такая, возможность имеется и у иных однонаправленных пластиков при растя жении их вдоль волокон. При симметричном осевом нагружении луч шая корреляция од будет с меньшим из пределов пропорциональности на растяжение или же на сжатие, как показано в [13].
Отметим, что в табл. 4—6 для осевого нагружения пределы вынос ливости даны в значениях амплитуд. Можно было привести од в мак симальных напряжениях для R = 0,1 и минимальных для R = 10. От этого существо выводов и точность корреляции между сд и статичес кими характеристиками не изменятся.
Выводы. 1. Показано влияние влаги на циклическую деформативность и накопление усталостных повреждений армированных пласти ков. Для одинаковых долговечностей значения деформации и повреж даемость с повышением влагосодержания уменьшаются; эффективные напряжения к началу макроразрушения близки к значениям статичес ких пределов пропорциональности на идентичные виды деформаций.
2.Установлено, что кривые усталости в координатах о —\g N для различного влагосодержания подобны, а относительная величина диа пазонов напряжений, соответствующих одинаковым долговечностям, постоянна. Эти закономерности можно использовать для сокращения трудоемкости испытаний.
3.С повышением влагосодержания сопротивление пластиков цик лическому и статическому нагружению снижается, при этом сохраня ется плотная корреляция между пределами выносливости и статичес кими пределами пропорциональности для идентичных деформаций. На
этом |
основан экспресс-метод оценки влияния влаги в тех случаях, |
когда |
увлажнение не вызывает существенных структурных изменений |
в компонентах композита по сравнению с исходным состоянием.
1. Панферов К. В., Романенко И. Г. Влияние температурно-влажностных и хи мических факторов на физико-химические свойства стеклопластиков. — В кн.: Иссле
дования конструкционных пластмасс п строительных конструкций |
на их основе. М., |
1962, с. 281—333. |
В. М. Прочностные |
2 . Щ ербаков В. И., Мазур С. В., Соломон X. В., Гальперина |
|
свойства стеклопластиков. — Пласт, массы, 1962, № 10, с. 37—43. |
|
3. Тынный А. Н. Прочность и разрушение полимеров при воздействии жидких сред. Киев, 1975. 206 с.
4. Смирнова М. К., Соколов Б. П., Сидорин Я. С., Иванов А. П. Прочность
корпуса судна из стеклопластика. Л., |
1965. |
332 с. |
5. Сборовский А. Д'., Никольский |
Ю. |
А., Попов В. Д. Вибрация судов с корпу |
сами из стеклопластиков. Л., 1967. 191 с.
6 . Захаров В. Н. Влияние эксплуатационных факторов па циклическую прочность
судостроительных стеклопластиков. Дне. ... |
канд. техн. наук. Л., 1970. 154 с. |
|
7. Roberts R. С. The effect on chemical |
environments on the mechanical properties |
|
of GRP. — Simp. Reinf. Plast. Anti-Corros. Appl. Glasgow, 1979, p. 1—9. |
||
8 . Antoon M. K.} Koenig /. L. The structure and moisture stability of the matrix |
||
phase in glass-reinforced epoxy composites. |
— J. Macromol. Sci. C: Rev. Macromol. |
|
Chem., |
1980, N 1, p. 135— 173. |
Тамуж В. П., Димитриенко И. П. Влияние |
9. |
Курземниекс A. X., Олдырев П. П., |
структуры полигетероариленовых волокон на свойства органопластика. — Механика
композит, материалов, |
1981, № 5, с. 918—921. |
|
|
10. Олдырев П. П. Многоцикловая усталость |
стеклопластика в |
режимах мягкого |
|
и жесткого нагружения. — Механика композит, |
материалов, 1981, |
№ 2, с. 218—226. |
|
11. Олдырев П. П., |
Малинский А. М. Влияние повышенной температуры на мно |
||
гоцикловую усталость |
органопластика. — Механика композит, |
материалов, 1983 |
(в печати).
12. Тарнопольский Ю. М., Кинцис Т. Я. О механизме передачи усилий при дефор мировании ориентированных стеклопластиков. — Механика полимеров, 1965, № 1,
с.100— 110.
13.Олдырев П. П. О корреляции между статической и усталостной прочностью
армированных пластиков. — Механика полимеров, |
1973, № 3, с. 468—474. |
14. Олдырев П. П. Температура разогрева и разрушение пластмасс при цикли |
|
ческом деформировании. — Механика полимеров, |
1967, № 3, с. 483—492. |
15.Олдырев П. ГГ, Парфеев В. М., Комар В. И. Уточнение методики определения усталостной долговечности полимерных материалов по температуре разогрева. — Ме ханика полимеров, 1977, N° 5, с. 906—913.
16.Олдырев П. П. Новый метод ускоренных испытаний композитных материалов на усталость в режиме мягкого нагружения. — Завод, лаб., 1980, № 9, с. 847—852; Способ испытания материалов на усталость. Авт. свидетельство СССР № 836564. —
Открытия. Изобретения. Пром. образцы. Товар, знаки, 1981, № 21, с. 206.
17.Олдырев П. П. Исследование деформативных свойств, рассеяния энергии и разрушения жестких полимерных материалов при длительном циклическом нагруже нии. Дис........канд. техп. наук. Рига, 1968. 174 с.
18.Олдырев П. П., Тамуж В. П. О разрушении стеклопластика при циклическом растяжении—сжатии. — Механика полимеров, 1971, № 4, с. 654—662.
19.Перов Б. В., Скудра А. М., Машинская Г. П., Булаве Ф. Я • Особенности разрушения органопластиков и их влияние на прочность. — В кн.: Разрушение ком
позитных материалов. Рига, 1979, с. 182— 186.
20. Олдырев П. П. Способ определения сопротивления усталости материала при тепловом воздействии и воздействии среды. Авт. свидетельство СССР № 951107. — Открытия. Изобретения. Пром. образцы. Товар, знаки, 1982, № 30.
Институт механики полимеров |
Поступило в редакцию 24.01.83 |
АН Латвийской ССР, Рига |
|
УДК 620.178:678
В.Ф. Удовенко, В. И. Кобрин, В. П. Ельчанинов, В. Д. Гречка,
С.Г. Кушнаренко
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕРМОЦИКЛИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ
ДИСПЕРСНО-АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Известно, что дисперсно-армированные композитные материалы, работающие в нестационарных тепловых режимах, испытывают термоусталостное нагружение, возникающее за счет разности коэффициен тов линейного теплового расширения матрицы и наполнителя. При
этом прочностные характеристики таких материалов изменяются во времени [ 1, 2].
Задача настоящей работы состояла в исследовании влияния термоциклирования на прочностные свойства композитных образцов трех составов по режиму —140^± 135° с в продолжение 60 циклов в условиях глубокого вакуума. В образцах в качестве наполнителя использовали термообработанный мелкоизмельченный базальт (85—90 мае. ч.), в ка честве связующего (15 10 мае. ч.) эпоксидно-кремнийорганическая смола ДМФ-135 + отвердитель; силикат натрия + 2% кремнефторис
того натрия; ортофосфорную кислоту. В дальнейшем по тексту составы образцов обозначаются (а), (б) и (в).
Образцы имели форму куба с ребром 0,01 м. Исследования проводили в высоковакуумной криогенной камере, сконструированной и изготовленной в Физико-техни ческом институте низких температур АН Украинской ССР [3]. Камера содержит корпус, в который через съемный люк вводится теплообменник с испытываемыми образцами. Предварительную откачку воздуха из камеры осуществляли с помощью механического насоса ВН-2МГ, а до вакуума порядка 10-4 Па — с помощью диф фузионного паромасляного насоса ВН-5С. Для предотвращения попадания паров масла от форвакуумиого и Диффузионного насосов в камеру на вакуумной магистрали име ются водяная и заливная азотная ловушки. Используемая система молекулярного
захвата и |
теплового поглощении (заливные азотные экраны) |
позволяет получать ма |
||
лый коэффициент возврата молекул и атомов, покидающих образцы. |
||||
Измерение вакуума производилось с помощью термопарного манометра ПЛТ-2 до |
||||
величины |
0,1 Па, в |
диапазоне 10~2— 10~ 5 Па — ионизационным манометром ПМИ-2. |
||
При этом |
использовался стандартный измерительный |
прибор |
ВИТ-1 А. |
|
При |
проведении |
испытаний термодиклпрования |
(рис. |
1) помещали образцы / |
в специальный теплообменник, состоящий из массивного медного основания 2 , с при паянной медной трубкой 3 для подвода жидкого азота и прикрепленной с помощью хомутов 4 лампой инфракрасного нагрева 5 марки КИ-220.630. Для повышения КПД
Рис. 1. Устройство для термоциклического исследования композитных образцов. По яснения в тексте.
|
|
устройства |
лампа |
была |
снабжена |
|||||||
|
|
отражателем 6. Сверху образцы 1 |
||||||||||
|
|
закрывались |
|
медной |
крышкой |
7, |
||||||
|
|
имеющей отверстия 8 для сообщения |
||||||||||
|
|
образцов с |
вакуумом. |
|
|
|
|
|||||
|
|
Измерение |
температуры произво |
|||||||||
|
|
дилось с помощью датчиков 9, 10 |
||||||||||
|
|
типа ИС 568А с пределами измере |
||||||||||
|
|
ния температур |
от |
—210 |
до |
300° С. |
||||||
|
|
Показания |
с |
термодатчпков |
снима |
|||||||
- 100- |
|
лись |
универсальным |
цифровым |
при |
|||||||
|
|
бором |
В7-16. |
Датчики |
устанавлива |
|||||||
-150 |
|
лись |
следующим |
образом. |
Один |
на |
||||||
|
|
медном основании 2 примыкал изме |
||||||||||
Рис. 2. |
Профилограмма термоцпкла. |
рительной |
плоскостью |
к |
образцам |
|||||||
(датчик 9), |
второй |
— |
на |
крышке 7 |
||||||||
|
|
(датчик 10). Такая установка датчиков с учетом выдержки образцов при экстре мальных температурах (135 и —140° С) в течение 5 мин упрощала конструкцию теплообменника и обеспечивала принятие образцами указанных температур. Типовая профилограмма термоцикла приведена на рис. 2. Всего было проведено 60 термоциклов.
После извлечения образцов из вакуума в результате проведенных исследований обнаружено, что потеря массы образцами (а) незначи тельна и составляет 0,08—0,5%. При этом - большую массу потеряли менее плотные образцы. Сублимация связующего у образцов (б) со ставила 0,5—0,9%, а потеря массы у образцов (в) — 2,5—3,1%. Бо лее значительное изменение массы образцов последнего типа носит в большей мере механический, чем сублимационный характер.
Проведенные исследования макроструктуры показали, что после термоциклирования в глубоком вакууме связующие вещества субли мировали с поверхности образцов, обнажив входящие в состав компо зитных материалов минеральные частицы. При этом сублимация свя зующего наблюдалась в первые три часа, когда в вакууме выделялись легколетучие компоненты. В дальнейшем процесс стабилизировался и выделение газов прекратилось. Согласно проведенным микроструктурным исследованиям сублимация связующего происходила по отдель ным, редко расположенным язвам, где, по-видимому, были сконцент рированы указанные легколетучие компоненты.
Была произведена оценка напряжений, возникающих в исследуе мых композитных материалах при термоциклировании. Напряжения в
матрице и |
во включении |
рассчитывали согласно |
зависимости [4] |
|
а,.о> = |
|
о&2— а\ |
Ei |
|
2р, |
|
ДТ\ о,<2) = Г - 2ц, |
( 1 - р 3) ° | ^ Л 7 \ |
|
1 - |
"5 + 1 |
где Е |, Е2 — модули Юнга матрицы и наполнителя; аь а ч — коэффи циенты линейного теплового расширения матрицы и наполнителя; рь Ц2 — коэффициенты Пуассона матрицы и наполнителя; АТ — пере пад температур; (3 = Ь/а\ Ь — радиус матрицы; а — радиус частицы наполнителя; г — текущий радиус;
^ ( 1 - |
2^2) |
1 + 1И Р3 |
^2( 1 - |
2ц,) (1 - Р3) + |
I - 2 щ 2 ' |
Теоретически установлено, что напряжения, возникающие в рас сматриваемых композитах, подвергнутых термоциклическому нагруже нию по режиму — 140ч=±135° С, на порядок меньше предела текучести матрицы и поэтому не могут вызвать ее пластической деформации. Теоретические данные о механизме термоциклического нагружения данных композитов подтверждены также проведенными микрострук турными исследованиями, которые не выявили разницы в образцах до
Рис. 3. Влияние вакуума и термоцик-
лирования |
на прочностные |
свойства |
композиций |
(а) — (в): 1 — |
образцы в |
исходном состоянии; 2 — образцы, вы держанные в вакууме не хуже 10~ 4 Па в течение 200 ч при постоянной темпе ратуре 18° С; 3 — образцы, подвергну тые 60-кратному термоцнклнчсскому нагружению в вакууме по режиму
-1 4 0 ^ 135° С.
ипосле проведения 60 термоцик лов. При этом в матрице и на полнителе микротрещин не обна
ружено.
На рис. 3 представлены результаты исследования прочности на сжа
тие композитных |
материалов |
составов |
(а) — (в). Испытания на |
проч |
ность проводили |
на прессе |
RM-102 по |
стандартной методике. |
Изме |
нения механических свойств указанных композиций оказались' незначи тельными, однако анализ результатов с использованием методов математической статистики [5] с достоверностью, равной или большей 95%, показал, что после 60 термоциклов физико-механические свойства этих материалов все же ухудшаются. Глубокий вакуум снижает проч ность на сжатие образцов с эпоксидио-кремнийорганическим связующим на 0,97%, а термоциклическое нагружение дополнительно уменьшает ее на 7,18%. Основное влияние на падение прочностных свойств этих образцов оказывают циклические перепады температур, тогда как для образцов (б) основное разупрочняющее воздействие оказывает вакуум. Для образцов с составом (б) сгра:ф снижается на 21,6% после их вы держки в глубоком вакууме, а прочностные свойства дополнительно падают от воздействия циклического перепада температур на 8,46%. Прочность на сжатие образцов (в) падает незначительно как от влия^ ния вакуума (на 0,45%), так и вследствие совместного воздействия вакуума и термоциклического нагружения (на 1,2 1 %).
Наблюдаемые явления объясняются следующим. На полимерные связующие перестройка структуры вследствие сублимации легколету чих компонентов влияет меньше, чем ее изменение от циклических перепадов температуры, вызывающих термические напряжения из-за разницы линейных коэффициентов расширения матрицы и наполни теля. На прочностные свойства неорганических связующих вследствие близости коэффициентов линейного расширения матрицы и наполни теля термические напряжения влияют меньше, чем вакуум.
|
|
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы |
1. |
Мзнсон |
С. Температурные напряжения и малоцпклопая усталость. М., 1974. 344 с. |
2. |
Пирогов |
Е. Н.{ Конопленко В. П., Светлов И. Л., Назаров М. П., Хуснетди- |
нов Ф. М., Зарубин В. А. Влияние термоциклнрования на механические свойства естественных композиций. — В кп.: Физика и механика деформации и разрушения. М., 1978, № 5, с. 75—85.
3. Максименко Г. И., Люличев А. И., Чупрынин Ф. И ., Корсунская И. Г. Влияние окружающей среды па процесс термического разрушения поверхности магниевых сплавов в вакууме. — Физика и химия обработки материалов, 1972, № 5, с. 106— 112.
4.Кобрин В. И., Данов А. С., Г речка. В. Д. Влияние тепловой нагрузки на дис персно-армированные композитные материалы. — Механика композит, материалов, 1982, № 1, с. 169.
5.Плескунин В. И., Воронина Е. Д. Теоретические основы организации и анализа
выборочных данных в эксперименте. Л., 1979. 232 с.
Харьковский авиационный институт |
Поступило в редакцию 10.11.82 |
им. Н. Е. Ж уковского |
|
Физико-технический институт низких температур АН Украинской ССР, Харьков
УДК 624.075.001:678.067
И. Н. Преображенский, Ю. М. Коляно, В. И. Прыймак
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В СТЕКЛОТЕКСТОЛИТОВОЙ ПЛАСТИНКЕ ПРИ НЕОДНОРОДНОМ ТЕПЛООБМЕНЕ
Рассмотрим полубесконечную пластинку х^О толщиной 26, изготов ленную из стеклотекстолита КАСТ-В. Поверхность пластинки х = 0 на гревается путем конвективного теплообмена по зоне шириной 2h внеш ней средой температуры t0(yi), движущейся с постоянной скоростью v в положительном направлении оси ординат. Через остальную часть этой поверхности и боковые поверхности z = ± 6 также осуществляется кон вективный теплообмен с внешней средой нулевой температуры. Предпо лагается, что коэффициент теплоотдачи с поверхности л: = 0 — кусочно непрерывная функция.
Известно и], что задача термоупругости для стеклотекстолитовой пластинки эквивалентна задаче термоупругости для ортотропной плас тинки. Пусть главные направления тепловых и упругих свойств этой пластинки совпадают с осями прямоугольной системы координат х, у, z. Для определения возникающего при этом квазистационариого темпера турного поля имеем уравнение теплопроводности [2]
|
д2Т ( |
А д2Т |
дТ |
= 0 |
( о |
|
|
~ д^ + |
УЖ |
— у?Т + 2о) |
|||
|
2 |
ду\ |
|
|
||
и граничные условия |
|
|
|
|
|
|
дТ |
=o = ^ U o |
|
|
, 1=0- / г о ы м < / ,)}л / ы |
(2) |
|
дхх |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т I |
|
|
(3) |
|
|
|
|
1Xi- ■00 = 0; |
|
|
|
|
Т I l>/i l—^oo= 0, |
дТ |
|
0. |
(4) |
|
|
ду\ |
|У'1 ■эо |
||||
где хх=х\ |
yx= y - v т; kv=X,JXX\ x2 = a z/Xx6; ш = о/2ах; /i0(t/i) = а 0(г/,)/Хх\ |
|||||
hi = a.i/Xx; |
N(yi) = S - (y t + h ) —S+(y{ — h ) ; |
S±(|) |
— асимметричные |
еди |
||
ничные функции; X, — коэффициент теплопроводности вдоль координат |
||||||
ной оси j |
(j = x,y)\ <xz — |
коэффициент теплоотдачи с боковых поверх |
||||
ностей 2 = ±6 пластинки; |
ах — |
коэффициент температуропроводности; |
&o(yi), сц — коэффициенты теплоотдачи соответственно с области на грева поверхности х = 0 и вне ее; т — время.
Применяя к |
(1) — (3) интегральное преобразование Фурье по |
у\ с |
|||
учетом условий |
(4), соответственно получим |
|
|||
|
|
d2T |
- у 2Г = 0; |
|
|
|
|
dx i2 |
|
( 5 ) |
|
|
|
|
|
|
|
dT |
.ri=0_/Zirl.Vl=o+ |
|
~ h i\T (Q’ y ^ eW 'd y i- |
|
|
dx\ |
-h |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
- fo +(r\) i/o“ (Ti) |
} ; |
(6) |
|
|
|
TI Л”|->-oo = 0, |
|
( 7 ) |
где
|
т— |
Те^Ы уй |
Y = VC+2tcoii; |
^ = /гу1]2+ х 2; |
|
1 / 2 К |
- о о |
|
|
|
к |
|
ll |
|
Ь + (Л) |
J M F i)M F i) cos x\y\dy\\ /о- 00 = j |
h0(yl)i0(yl) sin y\yxdy{. |
||
|
‘ -h |
|
- h |
|
Из (5) — (7) видно, что решение задачи ( 1) — (4) сводится к нахож дению Т на отрезке |f/i|^/i поверхности х { = 0. Заменив в (6) Т на этом отрезке линейной комбинацией конечного числа ортогональных функций
|
|
|
|
|
Т*— |
Cmtym {Уl) , |
|
(8) |
получим |
|
|
|
7/1—0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dx 1 |
-А,Г*| |
[ ( + ( ,) + < М ,) ] . |
( 9 ) |
|||
|
|
‘x''-0 |
|
Л‘|=0 |
]/2я |
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
J уо(У\) Т*(0, y\)tym(y\)dy\\ |
|
|
|
|
|
i= dm |
|
(10) |
||||
|
|
|
|
-к |
|
|
|
|
{фт( |
1)} |
(m = 0, 1, . . . , M) |
|
— ортогональная система функций с весом |
||||
уо{у\) |
на отрезке |
|
|
dm — коэффициенты нормировки; |
|
|||
|
м |
|
|
|
|
к |
|
|
/±(Л) = Х I |
СтФ,п± (т])- fo ± {r\)] Фт± (Т1)= I [M«/l) “ |
фт Q/l) COS ТЦЛЙ^,; |
||||||
|
тп = 0 |
|
|
|
к |
— h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фт“ (Г1) = |
j |
[ M F O -hi]<Pm{yi) Sin f\y\dyx. |
|
|||
|
|
|
- h |
|
|
|
||
Решив краевую задачу |
|
(5), (7), |
(9) и перейдя в найденном решении |
|||||
к оригиналу, находим |
|
Jоо ^[^+/+(ri) +/?-/-(r))]e-v^flfT1, |
(11) |
|||||
|
|
Т*= - |
— |
|||||
где |
|
|
л |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7?±= (Y++ /ZI) I/J±I/2Y-'/2+'/2COS Р + (Y+ +/ti)l/j+l/2Y-'/2±'/2sin P; |
|
||||||
|
P = [(Y+ + /I I) 2+ Y- 2]~i; Y±2=Y£2+ 4“ V ± £ ) / 2; |
P = Y— + TII/I- |
|
|||||
Подставляя (11) в (10), получим систему |
|
|
||||||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
cm = ~ — |
J / 5eF,)l+(Ti)/+(r1)+vFI,r(ri)/-(ri)]e-v^dr1, |
(1 2) |
ло
где
Ч/П1± (т)) = Jк yo{y\)R±^m(yi)dyi. -к
Решив систему (12) и подставив сш в (11), получим выражение для определения квазистационарного температурного поля в ортотропной полубесконечной пластинке.
Решение ( 11 ) точно удовлетворяет дифференциальному уравнению ( I ) ив общем случае приближенно граничному условию (2). Для оценки погрешности этого решения рассмотрим функцию бТ = Т—Т*, где Т — точное решение задачи (1) — (4).
Поскольку функция бТ удовлетворяет уравнению (1), то для нее справедлив принцип максимума [3]. Следовательно, максимального зна чения 167"| достигает на границе х = 0. Для оценки этого максимального значения рассмотрим функцию
|
|
— /'o('/i)Mi/i)]W(!/i)} - |
. - |
(13) |
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
LQ\V) |
|
|
Подставив в (13) |
T —8T вместо Г\ получим |
|
|
|||||
i/ (y.) = { w |
| , i=0- |
06 Г |
+ |
Uh(y\) —h\]6T\ |
Vi=0^(f/i) } |
* |
||
|
||||||||
Учитывая, |
что |
на |
поверхности |
|
х{ = 0 функция |
бТ и ее производная |
|
дбТ/dxi разных знаков, можно утверждать следующее: функция V(y\) позволяет оценить максимальную погрешность в определении темпера турного поля ортотропной пластинки и выбрать тем самым оптималь
ную величину М для численных расчетов с заданной точностью. |
|
||||||||
Для определения |
напряжений, |
вызываемых |
температурным |
полем |
|||||
( I I ) , воспользуемся известными [2] формулами |
|
|
|
||||||
_ д2р |
i Оуу |
д2р |
Оху |
д>2р |
» |
|
|||
Охх —~^ |
|
^ |
;■' » |
Z ч |
|
||||
ду I2 |
|
|
дх{2 |
|
dxidyi |
|
|
||
где функция напряжений F удовлетворяет уравнению |
|
|
|||||||
б4/7 |
б4/7 |
б4/7 |
|
giT* |
д2Г |
|
|||
~дхй + 2р дх{2ду ‘о + 9 ду7 |
|
|
ду\2 |
|
|||||
Здесь p = E y (l/G -2 v xIEx)l2\ q = Ev/Ex\а\ х = а х1Еу\оС\у= а у1Еу\ |
а? — |
||||||||
соответственно модуль Юнга |
для |
растяжения (сжатия) |
и температур |
ный коэффициент линейного расширения вдоль оси / (j = xty); vx — ко эффициент Пуассона, характеризующий сокращение в направлении у при растяжении в направлении х\ G — модуль сдвига.
Предположим, что пластинка свободна от внешней нагрузки, т. е.
а**1 .г-, =о“ а ^1 Л,=0_ 0 ; |
Охх |
л‘|’ I VI- |
= аху |
*>.М |
= 0. |
|
|
|
Воспользовавшись преобразованием Фурье по у и получим:
Охх |
II 1 го |
«г; II |
d2F |
|
. |
|
|
dF |
|
|
* to |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
d4F |
|
d2F |
, - |
, |
, — |
|
* |
|
d2T* |
|
dxx4 ~ 2рх] |
; - Н У ^ = |
« |
Т |
а |
|
|
|
, |
||
° хх1.V,=о = (7д-'«1 .г,=о= 0; |
|
I |
= |
СГху I |
|
= 0. |
||||
°хх•X|—►•O |
|
J |
1Д"|—►оо |
|
||||||
Используя (5), частное решение F r уравнения (15) |
|
находим в виде |
||||||||
|
р |
= a *t^ 2- |
a *tyУ2 |
_ у * |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y4 — 2/9T|2Y2 + <7Л4 |
|
|
|
|
|
(14)
(15)
(16)
Общее решение F0 однородного уравнения (15) в зависимости от корней характеристического уравнения
|
|
|
ц4-2/>|х2+ <7= 0, |
|
|
(17) |
|
как известно [2], будет следующее: |
|
|
|
±[.12, |
|||
1) |
корни уравнения |
(17) вещественные |
и |
неравные (±|хь |
|||
| ii> 0, |я2> 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F0 = Ae-'i'x' + B e ^ + C e-*x' + D e*x'\ |
(18) |
||||
2) |
корни вещественные и попарно равные |
(±|л0, |Ло>0) |
|
||||
|
|
F0= (А + В х {)е - ^ + {C + Dxx)e^ \ |
(19) |
||||
3) |
корни комплексные |
(\i±ri, —\x±ri, р ,> 0, г > 0) |
|
||||
|
F0 = (A cos ЦуХх + В sin r],*i)e_VVi + (С cos v[VX\-\-D sin |
(20) |
|||||
где Г]г = |Хг|г1|^‘ = 0>^ 2 ; Tlr = ''h h rln = |
^ h l - |
|
|
|
|||
Величины Л, |
В , С, D, |
входящие в |
выражения (18) — (20-), определя |
||||
ются из граничных условий (16). Используя |
(14), по формулам обраще |
||||||
ния находим выражения для температурных напряжений. |
|
||||||
Случай первый: |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
Г Т12R |
|
|
|
(r\2~y\\)Ri]dr\; |
|
|
Охх=------ I ------------ [D2+e - ^ - D ^ e - ^ + |
|
|||||
|
л |
о Л2—Т|1 |
|
|
|
|
оо
( % = — |
I — - — [r\i2D 2+ e - w - |
Т122£> 1+е-л**. + (т)2- л i) ^ 2] ; |
(21) |
|
я |
о |
Л2- Л 1 |
|
|
|
оо |
|
|
|
ОхУ= — |
f |
— '— — [ T i i Z V e - ’i'V’— |
(т)2— |
|
я |
о |
Т|2—Л1 |
|
|
Случай второй:
охх = |
— |
f |
-« |
2^ [ ( |
D |
0+ |
x 1— |
L - ) e - 4 » |+V /? i]d r| ; |
|
|
я |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
оУу = — |
J Я{[(т]эА'|—2 )D 0+ — \]0L -]y\ oe-^ '+ R2}d\\; |
(22) |
|||||||
л |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Од-iy= — |
оо |
{ |
[ |
(лоА] |
— |
1) D |
0~ + |
Tе~^х<+io £ +R] 3} dr\. |
|
r\RJ |
|
ло
Случай третий:
а „ = - - |
ооf |
r\*R [( D » + - nX]rX~ - L - |
C O S T ],.а, ) e~%x' + R x ]di\\ |
||
Я |
“ |
L ' |
% |
> |
J |
|
|
00 |
|
|
(23) |
|
|
|
|
|
|
a„y=— |
J R { [ ( D J |
- |
2L - n,.i1|l ) sin n.A, - |
|
|
— (2Z)n+rin+ L-rin2— L rГ|г2) cos T|,-AI je~VV|+ ^ 2 }dr\\ |
|
Оху |
1 |
Ь* {[( |
sin Tjr*i — |
|
я |
||||
|
|
|
|
|
- |
(Z)M- - ^ +rin) cos Ц ГХ\ |
j |
||
Здесь введены обозЛчения |
|
|
||
R = P(Q^ + QJ)-'; |
Di±=-di±f+(r\)±di*f-(i\)\ |
|||
|
|
di± = nti* cos y\yi ± |
пцтsin x\y\; |
|
пц± = у-Р Ч:± (у + - щ )Р ± (i = 0, 1,2,ц); Q+= £2-4 r)2(D2- 2 ^ 2£ + W 4; |
||||
|
|
Р _ = |
4т]со(£ -/Л]2); |
|
L±= - P / +(TI)± / ±/-(TI); l± = p ± cos TI//I=FPT sin rj£/i; |
P± = Q±[(a*ixr\2 — a*ty£) (y+ + h\) -2a*t,y® i\ y-]41
HFQ+[ (а:,:/л:Г2—a :i:/y^)у- + 2а*/у (Y++ /I I ) cor]];
^ n = - [ ^ n+/+(r1)+/?n-/_(r1) ] e - ^ |
(n= |
1,2,3); |
/?1± = P± cosp=FPqpSin p; |
T?2±== (£^±=Ь2сот]Р+) cos p+ |
(2o)T]P±н-£Р=F) sin [3; |
||
Яз± = ('у_Я±=Еу+/э+) |
cos (3=F (y-P+z£y+P±) sin p. |
||
Если по области |t/i|^/i поверхности x = 0 |
задан тепловой поток |
qo(yi), а вне ее выполняются условия теплообмена Ньютона, то решение
такой задачи получим из выражений (11), (2 1) — (23) |
при ho(yi)t0(yi) = |
|
= Qo{yi)l^x, ho(y\)=0. |
полупространство |
поверхность |
Если рассмотреть ортотропное |
||
л: = 0 которого нагревается путем |
конвективного теплообмена по парал |
лельной оси аппликат полосе ширины 2h внешней средой температуры t0(yi), движущейся с постоянной скоростью v в положительном направ
лении оси ординат, то решение задачи получим |
из выражений ( 1 1 ), |
|
(21) — (23) при |
|
|
a**K = s ( a * * + az*V2a:)» |
OL*ty = s ( a tyt + a z tv zy) ; s = |
(1 / E y —v zy2I E z) - l \ |
P= s ( 1/2GyX VyX/Eu |
VzyVxzlEx) \ у= s(1 /Ex |
V 2A2/Ez) ; oc2 = 0, |
где E {, a S — модуль Юнга для растяжения (сжатия) и температурный коэффициент линейного расширения вдоль оси i (i = x,y,z)\ Gyz — мо дуль сдвига; v*j — коэффициенты Пуассона.
Проведем расчет температурного поля и температурных напряжений для стеклотекстолитовой пластинки. Для простоты предположим, что температура внешней среды в области нагрева и коэффициент теплоот
дачи с этой области постоянны и |
равны |
соответственно t0 и cto- В ка |
честве ортогональной системы функций |
выберем тригонометрическую, |
|
т. е. вместо (8) используем сумму |
|
|
м* |
|
|
Т*Ф,У\):= ~ + X i [ a»lC0S (innyjh) + b ms\n (m n yjh)], |
||
m = I |
|
|
где |
bm = ~ JhT(0>, y {) sin(mnyi/h)dyi. |
|
a m = ~j[ Ih ^(O.f/i) cos(mny\/h)dyu |
||
—h |
|
—h |
Вычисленные в работе [1] для рассматриваемой пластинки корни уравнения (17) — вещественные и неравные: pi = l; ц2= 0,83. Следова-