Механика композитных материалов 3 1983
..pdfчасти |
этих уравнений параметры /?, А,*, р*, у*, а, 6, с, в, /, |
/(да каким- |
||
либо |
буквенным индексом, |
например, |
ш (означающим |
принадлежность |
к co-й упрочняющей фазе) |
и добавить |
знак суммирования по со. Пара |
метры, помеченные индексом со в таких обобщающих уравнениях (вид которых легко представить), — это упругие константы со-й упрочняю
щей фазы (Х*со, |
Y*u)» составленные по формулам (19) функции от |
упругих констант |
этой фазы и матрицы (Яш, ЬШ}Со>, еш, (<»), объемная |
доля этой фазы в композите (рш) и характеристики схемы армирования для включений этой фазы (#гдш), Kijhi(<o))- Аналогично, складывая урав нения (26в) и (26п) или (27в) и (27п), умноженные на соответствую щие весовые коэффициенты, можно составить уравнения состояния композита с включениями как волокон, так и пленок.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Малинин Н. И. Некоторые вопросы механики композитных материалов и кон
струкций из них. — Механика композит, материалов, 1979, № 5, с. 784—789.
2. Тамуж В. П., Куксенко В. С. Микромехаиика разрушения полимерных матери
алов. Рига, 1978. 294 с. |
|
|
|
||
3. |
Никольский С. С. О капиллярных и трещинных материалах. 3. Извилистость. |
||||
Закон |
Дарси. — |
Механика |
композит, материалов, |
1982, № 3, с. 443—448. |
|
4. |
Никольский |
С. С. О |
капиллярных и трещинных материалах. |
1. Статистическое |
|
представление. — Механика |
композит, материалов, |
1982, № 1, с. 3—8. |
|||
5. |
Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление жестких поли |
||||
мерных материалов. 2-е изд. Рига, 1972. 498 с. |
|
|
|||
6. Крегерс А. Ф., Тетере Г. А. Структурная модель деформирования анизотропных |
|||||
пространственно армированных композитов. — Механика композит, |
материалов, 1982, |
№1, с. 14—22.
7.Сендецки Дж. Упругие свойства композитов. — В кн.: Композиционные мате
риалы. М., 1978. Т. 2. Механика композитных |
материалов, с. 61 — 101. |
Государственный институт прикладной химии, |
Поступило в редакцию 01.07.82 |
Ленинград |
|
УДК 539.37:678.067
А. А. Кошелева
МЕТОД МУЛЬТИПОЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
ВМЕХАНИКЕ МАТРИЧНЫХ КОМПОЗИТОВ
1.В изучении механического поведения композитов приняты два подхода — микромеханический и макромеханичсский. В микромеха нике исследуются внутренние поля напряжений с учетом структурной неоднородности реального материала. Зная эти поля, всегда можно
вычислить и эффективные свойства композитов. Эти задачи связаны с известной проблемой взаимодействия многих тел. Различие упругих свойств компонентов, произвольная их форма и концентрация обуслов ливают чрезвычайную сложность задачи. Точные решения известны лишь в некоторых частных случаях.
В данной работе рассматриваются полиармированные композиты, состоящие из матрицы, в которой другие составляющие распределены как включения. Подразумевается, что компоненты прочно связаны друг с другом. На форму включений, их концентрацию, размеры и уп ругие свойства не накладывается никаких ограничений.
В механике матричных композитов наиболее разработаны прибли женные методы определения эффективных характеристик [1, 2]. При исследовании композитов, жесткость фаз которых существенно разли чается, такие методы, как правило, дают менее точные результаты. Погрешность решения возрастает с увеличением концентрации вклю чений. Ни один из этих методов не позволяет найти детальные поля. Однако для решения задач микромеханики разрушения необходимы сведения о полях напряжений [3]. Их определение особенно важно для композитов матричного типа.
В настоящей работе предлагается аналитический метод для опреде ления внутренних полей напряжений, возникающих в матричных ком позитах под действием постоянных нагрузок. Он основан на разложе нии финитной обобщенной функции в ряд по мультиполям относительно центров всех включений в характерном объеме и удержании конечного числа членов этого разложения. Эта операция означает, что микронеоднородный материал заменяется однородным с системами точечных особенностей — мультиполей. Мультиполи сосредоточены в точках, соответствующих центрам включений в исходной неоднородной модели, т. е. искажение внешнего поля включениями представляется влиянием сосредоточенных особенностей. Это позволяет сразу определить деталь ные поля напряжений в матрице композитов:
Отметим, что разложение в ряд по мультиполям применялось авто рами работы [4] для определения асимптотики возмущения внешнего поля системой неоднородностей, расстояние между которыми предпо лагалось много больше, чем размер включений. В работах [5] и [6] был использован только первый член мультиполярного разложения для приближенного определения эффективных упругих модулей. При этом в [5] диполи «размазывались» по всей области вне выделенного вклю чения, а модель точечного дефекта, принятая в [6], позволяет с необ ходимыми оговорками получить те же выражения для эффективных модулей, что и метод эффективного поля, но даже качественно не по
зволяет описать взаимодействие включений на расстояниях порядка их размеров.
2. Рассмотрим сначала изолированное включение, характеризующе еся упругими модулями Lj и занимающее область V\ в неограниченной
упругой среде с тензором упругих модулей L. Эта неоднородность бу дет искажать приложенное поле напряжений, однородное на больших расстояниях от упомянутой области. Обозначим через L/(x) тензор упругих модулей среды:
I/ (x )= L + 6L'(x); 6L'(x) = [L']6(V i); [ L ' H ^ - L ,
где 6(Vi) — характеристическая функция включения (равная единице внутри и нулю вне области V\). Тогда тензор напряжения о и тензор
деформации е = -- |
(V U + UV) связаны соотношением* G = (L + 6L') |
: е, |
|
которое приводит |
дифференциальное |
уравнение равновесия V - a = 0 |
к |
виду |
V - (L :V u )+ q = 0; |
q = V -(6 L ':e ), |
|
|
|
где q — обобщенная финитная вектор-функция, которую можно тракто вать как плотность фиктивных массовых сил, сосредоточенных в об
ласти V\. Если бы q было |
определено, |
то, поскольку тензор влияния |
||
U — решение фундаментального |
уравнения V - (L : V U ) +61 = 0, свертка |
|||
q с тензором Грима давала |
бы |
решение |
поставленной |
задачи |
u (x )= u 0(x )+ |
JU ( х - х ' ) -q(x')dx', |
|
||
которое можно преобразовать к виду |
|
|
||
u (x )= u 0(x) + |
j V U ( x - x ') : [L'j :e(x')d\', |
(1) |
||
|
Vi |
|
|
|
где u0 — поле перемещения, удовлетворяющее условию V - L : Vu = 0 и граничным условиям, т. е. и0 — поле, которое было бы в отсутствие включения.
Применим разложение в ряд по мультиполям [7] относительно центра масс включения для решения уравнения (1). Воспользовавшись свойствами свертки [7], получим решение задачи вне области V\ в виде суммы полей мультиполей
оо
u(x) = u 0(x) + |
V V |
. .. V U (x) (°+1)Tft, |
(2) |
|
|
/1=1 |
|
Г |
|
где Ти — тензоры валентности k + l , |
определяемые выражением |
(0! = 1) |
||
Tfc=-((fe^ n ! |
J х 'х ' . - . х 'Ц ']:e(x')d x'. |
(3) |
||
|
v, |
/Гч* |
|
|
Ряд (2) для всех точек матрицы |
сходится к решению задачи. Но |
|||
(2) представляет собой по |
существу |
интегральное уравнение |
относи |
тельно и. Если же область V\ имеет эллипсоидальную форму (в том числе и форму цилиндра), то можно воспользоваться теоремой Эшелби о том, что поле е однородно в V\ [8], и вынести в выражении (3) г за знак интеграла. Тогда T/t превращаются во вполне определенные сосре доточенные мультиполи.
В работе [91 показано, что если V\ — |
цилиндр или сфера |
(как |
||
сплошные, |
так и полые), то ряд (2) содержит всего три члена: |
|
||
|
u (X) = u 0(X) + VU (х ) : Ti + V V V U (x ) £(4) (4) Т3. |
|
|
|
* В работе принят так называемый бескоординатный подход. u = ( « i) , a = |
(a,j) |
|||
и L = (Lijm ) — означают вектор, тензоры второго и |
четвертого рангов; пп — прямое |
|||
(днадное) умножение векторов: nn=(n,-Hj); T-V — |
скалярное умножение, при |
кото |
||
ром производится свертывание по одному индексу; |
L : г = (ЬцщЕш) — |
двухкратное |
||
свертывание; |
T£(/e)(,{)V — умножение тензоров, при |
котором проводится |
свертывание |
|
k индексам; |
V — оператор дифференцирования; |
|
|
|
|
|
Это означает, что можно подобрать ком |
||||||||||||
|
|
бинацию |
|
нескольких |
|
сосредоточенных |
||||||||
|
|
мультиполей, |
такую, |
|
чтобы |
основные |
||||||||
|
|
поля |
вне |
области |
V\ в этих случаях со |
|||||||||
|
|
впадали. |
Например, |
при |
всестороннем |
|||||||||
|
|
растяжении |
матрицы |
влияние |
кругового |
|||||||||
|
|
включения эквивалентно действию |
един |
|||||||||||
|
|
ственной особенности — центра лавле- |
||||||||||||
|
|
ния (рис. 1—а). При этом интенсивность |
||||||||||||
|
|
диполей |
оказывается |
|
зависящей |
от |
||||||||
|
|
внешней нагрузки, упругих свойств мат |
||||||||||||
|
|
рицы и включения и от размеров вклю |
||||||||||||
|
|
чения. В случае растяжения со сжатием |
||||||||||||
Рис. 1. Мультиполи: а — центр |
(сгц0 = Р, |
022° = —р) |
влияние |
включения |
||||||||||
эквивалентно |
эффекту |
двух |
особенно |
|||||||||||
расширения; б — два силовых |
стей |
(рис. |
1—6, в). |
Одна |
из |
них |
полу |
|||||||
взаимно |
перпендикулярных ди |
|||||||||||||
чена |
комбинацией двух |
диполей, |
другая |
|||||||||||
поля с |
интенсивностями разных |
|||||||||||||
знаков; в — комбинация двух |
представляет |
собой |
своеобразный |
окта- |
||||||||||
|
октаполей. |
поль. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для случая, когда невозможно вос |
||||||||||||
|
|
пользоваться |
теоремой |
|
Эшелби, |
можно |
также использовать ряд (2) для решения, но неизвестные тензоры Ти определяются с помощью вариационного принципа.
3. Рассмотрим полиармированный композит, включения которого могут различатьсяи формой, и размерами. Пусть композит подвержен действию внешнего однородного поля а0. Требуется определить основ ные поля в матрице. Задача снова сводится к решению интегрального уравнения вида (1), но теперь с суммой интегралов по объему всех включений в характерном объеме
м
u (x)= u 0(x)+ |
J V U (х —х ') : [L ']m:е(х')cl\',' |
? n = l |
V m |
где Vm — области включений; М — их число в характерном объеме; [L'l™ — Lm L, Lrjn — упругие модули ш-го включения.
Разложение производной тензора Грина по мультиполям относи тельно точек Xi, x2 . .. x m — центров включений — позволяет получить решение в виде сходящегося для всех точек матрицы ряда [10]
|
U(X)=U0(X) +EМ |
Zоо |
V V . . . V V ( x - x m)E( A + l) №+I)r ^ , |
(4) |
|
m _ i |
л- 1 |
7 |
|
где |
— неизвестные тензоры валентности k + l , определяемые |
ана |
||
логично выражению (3) |
с учетом характеристик m-го включения. Таким |
образом, решение сводится к определению неизвестных T/t<rrl). Неизвест ные тензоры Tft<m) можно строить различными способами, но после их определения выражение (4) позволяет получить основные поля в мат рице. Этого вполне достаточно для вычисления эффективных постоян ных композита.
Не умаляя общности, эффективные характеристики будем искать в
предположении, что все неоднородности |
характеризуются одними и |
теми же константами, но могут иметь различную форму. Пусть I — |
|
единичный четырехвалентный тензор, а |
и <а> — усреднение тензора |
о по объему матрицы и по характерному объему Соответственно, а с0— концентрация связующего. Пусть тензор В связывает средние напряже ния в матрице и средние напряжения в среде: а= В :< о > . Тогда, исполь зуя локальный закон Гука, получим
L* = Lj: [I —c0(L —Lj): L—1: В]—
т. е. если известны напряжения в матрице, то и эффективные упругие свойства композита будут полностью определены.
4. В первом приближении неизвестные тензоры ТУ™) можно опреде лить, например, из условий одночастичной задачи, т. е. из условия, что действие сосредоточенных мультиполей наилучшим образом аппрокси мирует основные поля вне включения в отсутствие других включений с сохранением ориентации по отношению к а0. Такое приближение в дальнейшем для краткости будем обозначать ММГ1 (мультиполярного метода приближение). ММП означает, что TVm) определяются для каж дого т независимо друг от друга. Взаимодействие включений при та ком подходе учитывается суммированием известных полей от каждой точечной особенности.
Заметим, что ММП соответствует первому шагу в обобщенном ал горитме Шварца, примененному в [И ] для решения плоских задач теории упругости с двумя и тремя включениями, а также приему, ис пользованному в [12] для определения дополнительной деформации от невзаимодействующих трещин при нахождении эффективных модулей среды с повреждениями. Аналогичное предположение принимается в работе [13] при определении постоянных однонаправленного компо зита, а также — в [14].
Для тензора напряжений в матрице композита с однонаправлен ными круговыми волокнами радиусов Rm в случае поперечного одно
осного растяжения |
в направлении оси с ортом К ММП дает |
|||||
|
|
м |
|
|
|
|
» « , К К + |
|
Q l (m) —^~(J —2ПтПтп) + |
/>з<т ) ^ |
[2КК + |
||
Р |
„„-1 |
Гт1 |
i |
Гт |
|
|
|
т=I |
М |
т = I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4nmIlm ( l - |
2Рm2) + j |
(4Рт2 - 3) ] + X l |
р 1<т) |
[J ( I - |
Рт2) - |
|
|
|
|
т - 1 |
|
Г т |
|
|
- |
4pm2nmnm - КК+ 2 (п,„К + Кпт ) рт], |
(5) |
|||
где J ij = бц\ гт = х —хт ; rm=|rm|; nm= — ; |
pm = cos (пт , К); |
р = okk°. Ин- |
||||
|
|
|
Гт |
|
|
|
теисивности мультиполей Qxm (центров давления), жения со сжатием) и Я3т (октаполей) будут
Qi<”‘>= 0,5 + |
0,5(1+ х ) |
р,(»*) = 2 — 2( 1+ х) |
|
G |
0 _ |
G |
х + |
— — 2 |
х,п — |
От
Р {т (центров растя
3 „
Р 3 Ы ) = Т Р , т .
( 6)
Здесь |
G, |
Gmt v, vm — модули |
сдвига и коэффициенты Пуассона мат |
рицы |
и |
m-го включения; |
(плоское напряженное состояние) |
и ли З —4-v (плоская деформация).
Для тензора напряжения в матрице композита с произвольными сферическими включениями, подверженного действию внешнего одно родного поля а0, аналогично можно получить
|
|
м |
м |
|
а(х) =o° + 2G |
+ |
vE |
|
|
X | S p (e < m)) J ; |
||||
|
|
777= 1 |
(1 +v) (1 — 2v) 771= 1 |
|
D _ 3 |
|
P i^ R v -- {8(1 v) [3 (D •nm)nm4* |
||
Q i^ s'R |
•(J — 3nmnm) + |
|||
|
|
|
r 3 |
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
pAm)R5 |
+ 3nm(D -n,„) — 2D] -h (15n„,пшпшп,,.. — 3 4 ^ + 21+ J J ) : D} + |
---------~ X |
|||
|
X |
(35nmnmn„,nm- 5 4 rm + 2 I + J J ) :D, |
|
где s = ^-Spa°; |
D = o°—sJ; |
|
|
|
|
+ n^m)ni(,n)8ij+n j(m)пи(m)6«; |
|||
Q , ^ - |
1 - v ______________ L . |
/<=____ * ____ . |
||
|
2 / C ( l - 2 v ) + / < m ( l + v ) |
3/C |
3 (1 - 2 v ) ’ |
|
3 |
2 4 G (4 — 5v) ’ m |
4 |
[ G ( 7 - 5 v ) + 2 G m ( 4 - 5 v ) ] |
|
|
p i(m)= _.15p3(m) |
|
||
Выражения (5) — (7) позволяют |
приближенно |
установить распределе |
ние напряжений в матрице полиармированных композитов с разнове ликими круговыми включениями при произвольной их концентрации и положении в пространстве для любого однородного поля а0.
Для определения области применимости ММП сравним результаты расчетов по ММП с точным решением для регулярных [15] и нерегу лярных структур. В последнем случае данные получены автором мето дом фотоупругости на моделях нерегулярных композитов (рис. 2).
В табл. 1 приведены коэффициенты концентрации напряжений ох (числители) в двух характерных точках регулярных структур для раз личной плотности расположения жестких включений К при одноосном растяжении в направлении оси х. Через А обозначена точка, лежащая посередине горизонтального отрезка, соединяющего центры двух сосед них включений, а через В — точка, в которой этот отрезок пересекает границу раздела фаз. В знаменателях — данные [15]. Табл. 2 содер жит соответствующие результаты для нерегулярных композитов при растяжении вдоль вертикальной оси. В знаменателях указаны значения, определенные методом фотоупругости. Согласно представленным дан ным с помощью ММП получены неплохие результаты даже для такой чуткой характеристики, как коэффициенты концентрации напряжений.
В табл. 3 даны коэффициенты концентрации напряжений в харак терных точках композитов с кубической решеткой жестких сферических включений, вычисленные по формулам (7) при М = 27. Плотность рас положения включений выражалась безразмерным параметром А = 2R/a (а — расстояние между включениями). Положение точек задано в сфе рических координатах. Напомним, что до настоящего времени в лите ратуре отсутствовали данные о распределении напряжений в подобных композитах.
Рис. 2. Модели композитов с нерегулярной структу рой: К- 0 , 4 (а); - 0 , 9 (б).
|
Концентрация напряжений |
а* |
|
Напряжения сгу/(а?/) |
|
|||||||
|
в регулярных структурах |
|
|
нерегулярных |
композитах |
|||||||
|
Квадратная |
|
Гексаго- |
|
|
|
|
|||||
|
|
иальнаи |
л° |
|
№ |
|
||||||
к |
структура |
|
Л~0,4 |
Л~0,9 |
||||||||
А |
|
в |
|
структура |
точки |
точки |
||||||
|
|
|
Л |
1 |
в |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,2 |
1,09 |
|
1,52 |
|
1,09 |
|
1,51 |
16 |
1,13 |
15 |
1,48 |
|
1,07 |
|
1,50 |
|
1,06 |
|
1,49 |
1,08' |
1,44' |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
0,4 |
1,27 |
|
1,55 |
1,32 |
|
1,48 |
21 |
0,93 |
20 |
1,82 |
||
1,26 |
|
1,50 |
1,23 |
|
1,44 |
0,92 |
2,02' |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
0,6 |
1,57 |
|
1,63 |
1,59 |
|
1,61 |
26 |
1,00 |
25 |
0,84 |
||
1,48 |
|
1,53 |
1,48 |
|
1,44 |
0,94 |
0,62’ |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
0,8 |
1,81 |
|
1,80 |
1,78 |
|
1,74 |
36 |
1,03 |
40 |
1,28 |
||
1,70 |
|
1,71 |
1,64 |
|
1,59 |
1,06" |
1,29’ |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
0,9 |
1,86 |
|
1,87 |
1,83 |
|
1,79 |
41 |
0,92 |
45 |
1,20 |
||
2,12 |
|
2,08 |
1,90 |
|
1,90 |
0,96 |
1,16 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
1,48 |
46 |
1,27 |
|
В случае ОДНООСНОГО растяже- |
1,38 |
1,23 ' |
||||||||||
|
|
|||||||||||
|
0,90 |
|
1,14 |
|||||||||
ния |
максимальные |
растягивающие |
56 |
55 |
||||||||
напряжения |
возникают |
на |
включе- |
|
0,95 |
|
0,88 ' |
|||||
и ИЯХ, |
если |
их |
концентрация |
|
?.<0,6. |
61 |
1,25 |
58 |
1,52 |
|||
При |
больших |
концентрациях |
вклю |
|
1,13 |
|
1,47 |
|||||
чений максимальные |
напряжения |
|
|
|
|
действуют в матрице между включениями, Это показывает, что для оценки прочности композитов недостаточно располагать только данными о концентрации напряжений на включениях. Необходимо знать картину распределения напряжений в целом.
5. Вычисление эффективных характеристик для регулярных струк тур показало, что ММП приводит к удовлетворительным результатам во всех случаях, а часто — к очень хорошему совпадению с точными данными. Это справедливо для всего диапазона изменения концентра ции включений X. Для жестких включений и пор при значительных концентрациях включений (Л>0,5) необходимо повысить точность опре деления компонент тензора эффективных модулей, а следовательно, неизвестных коэффициентов ТУт ). Это равнозначно более точному учету взаимодействия включений. Использование энергетических принципов позволяет выполнить указанное требование [10].
В случае жестких включений удобно применять вариационный прин цип Кастильяно. Статически допустимое поле напряжений в матрице представляется в виде, аналогичном (4). Оборвем для каждого вклю чения ряд на члене /С, что соответствует замене каждого включения в характерном объеме комбинацией мультиполей, интенсивности кото-
Табл. 3
Концентрация напряжений в пространственных композитах
точка
X
0,2 |
1,00 |
0,4 |
1,04 |
0,6 |
1,12 |
0,7 |
1,20 |
0,8 |
1,29 |
0,9 |
1,42 |
Всестороннее ргстяжение
.ч\ |
о |
о |
точка |
B(R, 0, 0) |
< |
|
|
|
|
|
Gv |
|
<7* |
av |
|
1,00 |
|
1,31 |
0,85 |
|
0,98 |
|
1,31 |
0,85 |
|
0,94 |
|
1,32 |
0,84 |
|
0,90 |
|
1,34 |
0,83 |
|
0,85 |
|
1,38 |
0,81 |
|
0,79 |
|
1,45 |
0,78 |
Одноосное растяжение (ось дг)
точка |
А |
точка B(R, |
0. 0) |
°х |
|
°У |
<*z |
1,05 |
1,94 |
0,28 |
0,83 |
1,37 |
1,98 |
0,28 |
0,81 |
2,03 |
2,13 |
0,28 |
0,75 |
2,43 |
2,30 |
0,29 |
0,72 |
2,77 |
2,54 |
0,31 |
0,71 |
2,93 |
2,79 |
0,38 |
0,83 |
рых находятся путем минимизации функционала Кастильяио. В резуль тате получаем систему алгебраических уравнений относительно T/t(m).
В случае композитов с порами удобно использовать вариационный принцип Лагранжа. Вариационный принцип позволяет найти более точные значения неизвестных для регулярных композитов с частыми включениями. При этом оказалось достаточным определить интенсив ности всего трех особенностей. Для квадратной структуры в качестве характерного объема был взят композит с девятью включениями, кото рый является характерным объемом с точностью 1,7% [16].
Реализация предлагаемого метода возможна для композитов с лю бой геометрией, причем не накладывается никаких ограничений на группу симметрии тензора упругих модулей включений, а упругая сим метрия материала матрицы ограничивается только возможностью по строения в явном виде тензора Грина для этой среды.
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы |
|
|
1. Малмейстер А. К Т а м у ж В. Л., Тетере Г. А. Сопротивление полимерных |
и |
|
композитных материалов. 3-е изд. Рига, 1980. 572 с. |
|
|
2. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных |
сред. М., 1977. 399 |
с. |
3. Тамуж В. П. Разрушение композитных материалов. — Механика композит, |
||
материалов, 1979, № 1, с. 169— 175. |
|
|
4. Кунин И. А., Соснина Э. Г. Локальные неоднородности в упругой среде. — |
||
Прикл. математика и механика, 1970, т. 34, вып. 3, с. 422—428. |
|
|
5. Левин В. М. К определению эффективных модулей |
композитных материа |
|
лов. — Докл. АН СССР, 1975, т. 220, N° 5, с. 1042— 1046. |
|
|
6. Канаун С. К. О модели точечных дефектов в механике упругой неоднородной среды. Изв. АН СССР. Механика тверд, тела, 1982, № 4, с. 109— 118.
7.Кунин А. И. Теория дислокаций. — В кн.: А. Я. Схоутен. Тензорный анализ для физиков. М., 1965, с. 374—443.
8.Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М., 1963. 247 с.
9.Вакуленко А. А., Кошелева А. А. Некоторые задачи теории упругости компо зитных сред. — Вестник Ленингр. гос. ун-та. Сер. Мат., мех., астрон., 1980, № 1, с. 125.
10.Кошелева А. А. Метод мультиполярного разложения в механике композитных сред. — Реф. журн. Механика, 1980, № 10.
11. Yu I. W., Sendeckyj’ G. Р. Multiple |
circular |
inclusion problems |
in plane elas- |
tices. — J. Appl. Mechanics, March 1974, p. 215—221. |
|
|
|
12. Тамуж В. П. Расчет констант материала с повреждениями. — Механика по |
|||
лимеров, 1977, N° 5, с. 838—845. |
|
|
|
13. Mai А. К., Chatterjee А. К . The elastic |
moduli |
of a fiber-reinforced |
composite, — |
J.Appl. Mechanics, 1977, N 1, p. 61—67.
14.Кривоглаз M. А., Черевко А. С. Об упругих модулях твердой смеси. — Фи зика металлов и металловедения, 1959, т. 8, N° 2, с. 161— 164.
15.Григолюк Э. И., Фильштинский Л. А. Перфорированные пластины и оболочки. М., 1970. 556 с.
16.Кошелева А. А. Определение характерных объемов регулярных композитов
методом фотоупругости. — Вести. Ленингр. гос. |
ун-та. Серия мат., |
мех астрономия, |
1978, N° 13, с. 86 -9 2 . |
|
' |
Всесоюзный научно-исследовательский институт |
Поступило в |
редакцию 10.12.82 |
гидромеханизации, санитарно-технических |
|
|
и специальных строительных работ, Ленинград
УДК 539.3:678.067
В. А. Левин, Л. А. Булатов
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО КРУГОВОГО ОТВЕРСТИЯ В ТЕЛЕ ИЗ ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА
При образовании отверстий «мгновенно» и «внезапно» (в смысле [1]) в телах с большими начальными статическими деформациями из вязкоупругого материала, близкого по своим свойствам к классу ком позитных материалов (типа армированной резины), возникают в пер вый момент времени большие дополнительные мгновенные упругие деформации и напряжения, определение которых представляет значи тельный интерес.
Для постановки граничных задач такого типа воспользуемся тео рией Наложения больших упругих деформаций [2], обобщив ее на случай наложения больших деформаций в телах из вязкоупругого ма териала, используя результаты [3].
Будем различать четыре состояния тела — начальное, два проме жуточных и конечное. Начальное состояние — это такое состояние тела, когда в нем отсутствуют напряжения и деформации [2, 4]. В первое промежуточное состояние тело переходит при приложении к нему на чальных внешних воздействий [2, 5], приобретая большие начальные мгновенные упругие деформации и напряжения. К моменту времени т в теле накапливаются из-за вязкоупругих процессов, происходящих в нем, дополнительные большие вязкоупругие деформации и напряже ния, и тело переходит во второе промежуточное состояние.
В момент времени т к телу прикладываются дополнительные внеш ние нагрузки [3], и оно, приобретая большие дополнительные мгновен ные упругие деформации, переходит в текущее состояние. Переход индивидуальной частицы тела из i-ro в (i + 1) состояние характеризу ется вектором смещений щ+\ (i = 0, 1, 2). Кинематические соотношения, уравнения равновесия и граничные условия для данного случая могут быть получены из соотношейий работы [2] для случая двух промежу точных состояний. Выпишем все соотношения в координатном базисе второго промежуточного состояния э* (именно в этом состоянии в теле образуется отверстие заданной формы).
Тензоры начальных £ 0,ь дополнительных вязкоупругих |
и дополни |
тельных упругих деформаций Е 1>2, Е2,з представляются через |
градиенты |
векторов смещений следующим образом: |
|
|
( и |
|
(2) |
£ 2,з= — (Vw3 + u3V + V«3-«3V). • |
(3) |
Учитывая [2, 3] |
|
E q ,p = Eqj+ E f,p (q < f < p ), |
( 4 ) |
запишем для полных деформаций |
|
E O,3— E Q,\ + - £ 'l t2 + ^ 2 13- |
( 5 ) |
Напряженное состояние частицы будем характеризовать тензорами начальных 2о,ь дополнительных 2 1,2, 2 2,з и 2 о,з полных обобщенных на пряжений, причем [2, 3, 6]
20,2= 20,1 + 21,2; |
.(6) |
2 о,з= 2 о,2 + 22,з- |
(7) |
Тензоры обобщенных напряжений связаны с тензорами истинных напряжений o*0,i(1), 0*0,2, сго,з(3) (т. е. напряжений, рассчитанных на еди ницу площади соответствующего состояния) следующим образом [2, 3]:
2 o , i = (1 + A o , i ) 4 j,i,2 - a 0, i (1) л 1/:!:1,2; |
( 8 ) |
2 0>2= ( 1 |
+ |
До,2) ^ , 2; |
( 9 ) |
|
2 о ,з = ( 1 + |
Ао.з) Ч ' г . з - 1 |
•а о ,з(3>* xV*-'2*\ |
|
|
( Щ |
|
(1 + Д 0,з) = (1 + Д о,1) (1 |
+ А 1,2) (1 + |
Д 2,з) = (1 + До,2) |
(1 |
+ А2,з) , |
( 1 1 ) |
|
где Чгт ,п — аффиноры деформаций |
|
|
|
|
||
4 ' , f2 = / + |
V / / 2; |
^ 2)3= ( / - V W 3 ) - 1; |
|
|
|
Aq,p — относительное изменение объема индивидуальной частицы при ее переходе из q-ro в р-е состояние. Здесь и далее индекс в скобках обозначает номер состояния и соответствующий ему координатный ба-
зир (0 — начальное, 3 или «л» — текущее, индекс 2 будем опускать). Определяющие соотношения будем формулировать в дифференци
альной форме, считая упругую часть соотношений линейной:
2o.m'm-"=f(Eo,m "n- lK Vm_ii?+ - - n ) = V + &1^0(m ^ -1) + &2Vm-l,m(m- 1) +
+ |
|
+М (£ о,т< т - 1}) 2Х |
|
X |
+ |
(^01т <т- 1))2] ; |
(12) |
здесь |
1Лп-1,?п = |
Votm— V'o.m-i; |
(18) |
|
— тензор скоростей деформаций в смысле Эйлера:
F0,m<m>= у |
(V<m>»m + OmV<’">); |
(14) |
Vm= |
J |
(15) |
гт — радиус-вектор индивидуальной частицы |
в т-м состоянии |
(/п = |
|||
= 0, 1, 2, |
3); bi = bi(E n, Vn) \Е„, |
Vn — инварианты тензоров |
£ 0,m(in_l), |
||
V,m-irm<m_I) соответственно. |
|
|
|
|
Для записи So,7 (р=1, 3) в координатном базисе второго промежу точного состояния используется процедура, аналогичная изложенной в [7]. Уравнения равновесия и граничные условия запишутся следую щим образом [2]:
|
V - 2 o ,p - 2 0,P-V ln |
(1 +AO,2)+ S O,P : V 4 4 P -XF2,P- |- ( V - Y * - |2,P) |
X |
|
|
X |
Y a .p •So,p ■+ P2 (1 + До,2) F P = 0 ; |
( 1 6 ) |
|
|
n ■2 0iP = (1 + До,2) Qn (p = 1, 2, 3), |
(17) |
||
где Fp, p2 — соответствующие массовая сила и плотность; |
|
|||
|
|
|doitI |
|
|
|
|
Q» = ■ I dohw |
QnW-W2,P-'- |
|
Qnip) |
— вектор внешних поверхностных сил, приложенных в р-м состо |
|||
янии |
к индивидуальной площадке |
dahW с нормалью п<р> Г21 |
¥ , „ = |
|
= WP,г"1, если р < 2. |
|
L j |
2,р |
Приведенные выше соотношения (1) — (17) полностью исчерпывают постановку краевых задач наложения больших упругих деформаций
на большие вязкоупругие в координатном базисе второго промежуточ ного состояния.