Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн
..pdfЛинейные эффекты вычислим по формулам (2.28)
Эф*! = |
-------У \ + У и-+--------------------У з + У * |
1 /5+ 1/б+---------< /7+ (/8 |
= |
|
|
4 |
|
4 |
|
_ 67,5+69,5+38,97+7,2 |
85,2+84,4+8+5 |
|||
|
4 |
|
4 |
= |
|
=45,79 — 45,65 = |
0,14. |
|
|
эф*ю = |
У\ + </3+1/5 + y i |
i/2+ i/4+ ~i/6 + £/8 |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
67,5+27,8+5+67,5 |
83,7+21,6+84,8+8,5 |
|||
|
4 |
|
4 |
|
|
= 41,95 — 49,65 = |
—7,7; |
|
|
. |
У 1+ У г + У ь + У ъ |
У г+ У ь + У т + Ув |
= |
|
эфх2 = |
--------------------------------------4 |
|
4 |
|
|
|
|
||
67,5+83,7+5+84,8 |
27,8+21,6+67,5+8,5 |
|||
|
4 |
|
4 |
|
|
= 60,25 — 31,35 = |
28,90. |
|
Эффект действия х2=28,90 на порядок больше эф фектов всех остальных факторов.
Оценим значимость эффектов по критерию Стьюдента. Для этого вычислим оценки дисперсий для каждой клет ки табл.4.18
|
|
|
|
|
|
si = |
0; |
|
|
|
|
|
s 2 = |
— [(67,5 — 69,5)2 + |
(70,5 — 69,5)2 + (70,5 — 69,5)2] = |
6,0; |
|||||||||
Л2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
= |
— |
[ (27,80 — 38,97)2 + |
(21,60 — 38,97)2 + |
|
|||||
|
|
*з |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(67,60 — 38,97)2] = |
413,48; |
s2 = |
0; |
s2 |
= 0; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Л 4 |
|
Л 6 |
|
|
s2 |
= |
— |
[ (83,7 — 84,4)2 + (84,8 — 84,4)2 + |
(84,8 — 84,4)2] = |
0,81; |
|||||||
пб |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
= |
(8,5 - |
8 ) 2 + |
(7,5 - |
8 ) 2 = |
0,5; |
|
s2* = |
0 . |
|
|
|
л7 |
|
|
|
|
|
|
|
ла |
|
|
Средняя дисперсия равна |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
52 |
|
6,0 + 413,48 + |
0,81 + 0,50 |
_ |
„„ |
|
|
||
|
|
|
= -----------------------------------« |
52,60. |
|
|
||||||
|
|
|
* |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
Значения критерия Стьюдента согласно (2. 30)
|
(67,5+69,5+38,97+7,2)— (85,2+84,4+8+5) УТб |
|||
|
----------------------------------- ! |
= |
|
|
|
|
V52.6 |
|
|
|
(183,17 — 182,6)-4 |
|
||
|
= —-------------------- ------= 0,32; |
|
||
|
|
7,2 |
|
|
|
/л = 1 6 |
— 8 = 8 ; |
Ут = 2,31. |
|
|
[(67,5+27,8+5+67,5)— (83,7+21,6+84,8+8,5)]4 |
_ |
||
'Р‘° |
= |
тЪ |
|
|
К |
[ (67,5+83 • 7 + 5 + 84,8)— (27,8 + 21, 6 + 67,5 + 8,5) ] 4 |
_ |
||
---------------------------Т7, |
|
|
||
|
Сравнивая tp с tT |
(tT= 2,31 |
при fR= 16—8= 8 и q= |
= 0,05), получаем, что фактор хх незначим. Исследовате ли также предложили не рассматривать на этом этапе фактор *10. Тогда исходные данные корректируют по фак тору Х2, влияние которого на порядок больше, чем осталь ных.
Корректируют результаты наблюдений так: ко всем результатам, полученным на верхнем уровне *2>прибав ляют --65. Для скорректированных результатов экспери мента снова строят диаграмму рассеивания по основным эффектам и некоторым эффектам взаимодействия. На этой диаграмме визуально выделяют х7у *8 и хх, *2 (рис.4. 3). Расчеты эффектов производят согласно табл. 4.19.
Вычисляют линейные эффекты
эфх7 = |
l / l + 1 / 2 + |
1/3 + # 4 |
Уз+ 1/6 + 1 / 7 + 1 / 8 |
|
|
39,25+56,3+70,5+33,9 |
|
6,75+84,45 + 67,5+53,4 |
—3,037; |
||
|
|
|
|
= |
|
эфХ\Х2= |
У\ + 1/3 + 1/5 + |
1 /7 |
1 / 2 + УА+ ! / б + У8 |
|
|
39,25+70,5 + 6,75+67,5 |
|
56,3 + 33,9 + 84,45+53,4 |
11,0125; |
||
|
|
|
|
,= |
|
ЭФ*8 = |
l / l + l / 2 + 1 |
/ 6 + |
1/б |
Уъ+ Уа+ У7+Уз |
|
---------------- |
4 |
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
39,25+ 56,3 + 6,75 + 84,45 |
70,5+33,9+67,5+53,4 |
—9,635. |
|||
|
|
|
|
= |
4
20 |
г |
% : : |
г |
г |
р |
- |
10 ■ :_П |
Л_> h j *~L |
J"i si; ь_:* |
|
* : i-Г: *-<-! :-i :_L |
||
+xr |
+x5- |
+x7- +x5- +x9- |
+xf0- |
+xtx2- |
+X2Xj- +x2x7- +XtX^ +X,Xj- |
|
|
Рис. 4.3. Диаграмма рассеивания второго шага. |
|||||
|
Т а б л и ц а 4.19. Подготовка данных для оценки линейных эффектов |
х7 ,. + |
а |
х7 |
|
*7 |
1, + “ |
+ |
|
+ ‘ |
1 Хч — |
* 8 |
|
1 *2 - |
1 *2 + |
|
|||
70,5 |
27,8 |
5,0 |
83,7 |
70,5 |
84,8 |
8 , 0 |
84,8 |
8,5 |
85,2 |
и |
9,7 |
|
|||||
|
#2=56,3 |
|
|
|
7,2 |
#1 = 39,25 |
7 = 6,75 |
7 = 8 4,45 |
S I II о с л |
# 4 = 33,9 |
|
|
|
|
|
Х 7
1 * 2 + •*1 JT, -
67,5 |
2 1 , 6 |
67,5 |
85,2 |
1/7=67,5 |
# 8 = 53,4 |
В результате аналогичных расчетов значимым оказал ся эффект Х\Х2 (эффект Х\Х2 равен И). Вновь производи ли корректировку данных эксперимента, при этом ко всем результатам, полученным на верхнем уровне Х\Х2, прибавляли 11. Результаты четырех корректировок пред ставлены в табл. 4. 20.
Т а б л и ц а 4.20. Результаты корректировок по методу случайного баланса
Номер |
Эффекты, выделенные |
Численные'значения |
на основании визу |
основных эффектов |
|
этапа |
альной оценки диаг |
и эффектов взаимо |
|
раммы рассеяния |
действия |
Вычисленные значе ния /-критерия
I |
*1 |
-3 ,0 5 |
1,09 |
|
* 2 |
64,90 |
25,75* |
II |
*1*2 |
-13,30 |
5,60* |
|
* 7 |
-0 ,9 7 |
0,42 |
III |
* 8 |
3,12 |
1,34 |
* 3 |
4,25 * |
3,58* |
|
|
* 8 |
4,72 |
4,00* |
IV |
* 2 * 3 |
-5 ,0 2 |
,4,25 |
* 3 * 4 |
—2,75 |
2,93* |
|
V |
* 5 |
-1 ,2 5 |
1,30 |
* 1 * 3 |
2 , 0 |
2,28* |
|
|
* 4 |
1 ,0 |
1,14 |
* Значимо |
для уровня |
значимости 0,05; /0.05(12) = |
2,18; /о,о5(в) = |
= 2,30..
Этот этап отсеивания факторов производили в усло виях, когда первоначально рассматривались 1 0 линейных факторов и 45 возможных парных взаимодействий. Вы делены следующие эффекты: температура (х2); взаимо связь отношения растворителя к основному веществу и температуры (лг1лг2) ; время реакции (л:3); способ оконча ния процесса (лг8) ; взаимосвязь времени реакции с тем пературой (х2х3); взаимосвязь времени реакций с отно шением растворителя к основному веществу (*1X3 ).
Эффект х2 на порядок больше всех остальных. Тем пература оказывает резко выраженное положительное действие. Из анализа результатов видно, что все высокие значения выхода продукта получены при высокой темпе ратуре; х2 — единственный фактор, дающий четкое рас пределение точек: на уровне + 1 сконцентрированы все точки с высоким выходом, на уровне -— 1 — все точки с
низким выходом. Из дальнейшего анализа видно, что са мые высокие выходы в опытах 2, 6, 14, 15 получены при
х2 + и Х\ ~ :
Из первой диаграммы рассеивания видно, что эти две переменные имеют выделяющиеся точки на уровнях с разными знаками. Эффект взаимодействия Х\Х2 занимает второе место в ранжировании. Отношение растворителя к основному веществу непосредственно не влияет на вы ход продукта реакции, но проявляется прежде всего в эффекте взаимодействия XiX2. Его-отрицательное значе ние указывает на увеличение выхода при низком значе нии xi (отношение растворителя к основному веществу)
ивысоком х2 (температура среды) или наоборот. Аналогично можно интерпретировать и остальные вы
деленные эффекты взаимодействия.
Таким образом, в план эксперимента дальнейших ис следований уверенно можно включить факторы х2, х3, xs и взаимодействия факторов Х\Х2, XiX3, хгх4.
4.5. Исследование свойств смесей методами планирования эксперимента
Введение. Изучением свойств систем, зависящих от соотношения компонентов, и связанных между собой условием (1.199), в настоящее время занимаются химики, металлурги, строители и другие исследователи. Цель та ких исследований — построение зависимостей свойств от состава и режима' обработки (температуры, давления и др.), определение оптимального состава и режима по одному или нескольким показателям эффективности си стемы. Ниже приведены несколько примеров исследова ния сложных систем и их свойств.
4.5.1. Исследование свойств трехкомпонентной сме си, применяемой для формирования лицевой пленки в производстве синтетических материалов. Полимерная смесь представляет собой систему из пигмента (х\, мае.
% ),полиуретана (хг,мае. %) и растворителя (х3,мае. %). После приготовления смеси нужного состава и окончания процесса полимеризации изготовлялись образцы стан дартных размеров, которые подвергались испытаниям. Показателями эффективности образцов являлись проч ность («/(!>, кг/см2), относительное удлинение (г/(2), %), остаточное удлинение (г/<3>, %), паропроницаемость
(уЧ), %). светоотражение или интенсивность окрашива ния (г/<в), %).
Для построения моделей вида (2.3) по всем пяти показателям использовался симплекс-решетчатый план второго порядка, содержащий 6 опытов и 1 проверочную точку (табл. 4.21). Проверочная точка выбиралась так. чтобы в случае неадекватности модели второго порядка ее можно было использовать при построении модели бо лее высокого порядка. Число параллельных опытов рав нялось двум.
|
Та б л и ц а |
4.21. План и результаты эксперимента |
|
|
|||||||||
|
|
План |
|
|
|
|
Выходная переменная |
|
|
|
|||
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опыта |
Х |
*2 |
Х3 |
|
(1) |
|
(2) |
|
(3) |
|
J 4) |
|
</5) |
|
|
|
|
Уи |
Уи |
Уи |
|
У и |
|
У и |
|||
1 |
1 |
0 |
0 |
47,2 |
48,5 |
380 |
420 |
16 |
18 |
8,13 |
8,29 |
14,2 |
13,8 |
2 |
0 |
1 |
0 |
46,9 |
45,4 |
540 |
560 |
28 |
28 |
5,92 |
5,61 |
26,9 |
32,1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
48,5 |
46,6 |
400 |
420 |
2 0 |
2 0 |
7,81 |
7,98 |
17,5 |
2 0 , 2 |
4 |
0,5 |
0,5 |
0 |
62,8 |
64,1 |
300 |
320 |
14 |
16 |
6,65 |
6,81 |
26,8 |
27,6 |
5 |
0,5 |
0 |
0,5 |
46,4 |
45,9 |
240 |
2 2 0 |
2 2 |
2 2 |
8,41 |
8,23 |
34,6 |
32,6 |
6 |
0 |
0,5 |
0,5 |
64,4 |
62,8 |
380 |
400 |
2 0 |
18 |
7,35 |
7,18 |
25,7 |
23,8 |
7 |
0,33 |
0,33 |
0,33 |
63,8 |
63,5 |
260 |
280 |
16 |
18 |
6,69 |
6,23 |
21,5 |
23,8 |
Коэффициенты моделей определялись по алгоритму 2. 1. 1 (формулы (1.28) и (2.11)).
Так, для переменной «прочность» математическая модель имеет вид
у Ч ) = 47,85XI + 46,15X2 + 47,55*3+ 65,80х,х2 — 6,20х,х3 + 67,00*2х3.
Аналогично для других выходных переменных
у<2) — 400*1 + 550*2 + 410х3 — 660*1*2 — 700*i*3 — З60*2*3;
^(3) = 17*, + 28*2 + 20*3 — 30*i*2 + 14*i*3 — 20*2*3;
уЧ) = 8,21*1 + 5,77*2 + 7,89*3— 1,03*,*2 + 1,07*,*3 + 1,74*2*3;
уЧ) = 14,0*, + 29,5*2 + 18,8*з + 21,8* , * 2 + 68,7* , * 3 + 5 ,9 *2*3.
Адекватность моделей оценивалась по ^-критерию (формула (2.13)) в контрольной точке (опыт 7). Прежде
всего рассчитывалась ошибка опыта по формулам
(1.138) — (1.141). Она оказалась равной |
$2=1,19 или |
|||
$ 0 = 1,08. Тогда, учитывая, что £ = 0,628, |
находилось по |
|||
формуле |
(2.15) |
в точке {0,33; 0,33; 0,33} |
#=59,36 или |
|
Д#= 63,65—59,36=4,19, получим |
|
|
||
|
|
1.08V1 + 0,628 |
|
|
Табличное |
значение ^-критерия (/= 7 |
(2—1) |
и q = |
|
= 0,05) |
равно |
2,36, т. е. t$>tT. Таким образом, |
модель |
оказалась неадекватной. Остальные модели (кроме yW) также оказались неадекватными.
С целью получения неадекватных моделей исследова тели перешли к неполному кубическому полиному (2.4) (использовался опыт 7). Для расчета недостающего ко эффициента Р123 использовалась формула (2.17)
р123 = 27. |
63,80 + 63,50 |
12(63,45 4- 46,15 + 63,60) + |
|
---------^-------------- - |
|||
|
+ 3(47,85 4- 46,15 |
+ 47,55) = |
64,80. |
Тогда уравнение принимает вид |
|
||
y ( i ) == 47,85*1 -f- 46,15*2 |
47,55*з 4~ 65,80*1*2 4" |
||
|
+ 67,00*2*3 — 6,20*1*з 4- 64,80*1*2*3. |
||
Адекватность |
уравнения проверялась |
по контрольным |
опытам 8 {0,33; 0,67; 0,00} и 9 {0,00; 0,67; 0,33}. Модель оказалась адекватной ^ р=1,93 и /2р=1>89 (против U= = 231).
Адекватными оказались также модели с неполным кубическим полиномом по остальным выходным пере менным:
у{.2) = |
400*1 4" 550*2 4~ 410*з — 660*i*2 — 700*1*з — |
|
|
|
— 360*2*з 4- 210*1*2*з; |
у(Ь) |
== 8,21*i 4" 5,77*2 4~ 7,89*з— l,03*i*2 Ч- 1,07*1*з Ч- |
|
|
|
4- 1,74*2*з — 27,7*1*2*з; |
у(5) |
= |
14,0*1 4" 29,5*2 4- 18,8*з 4~ 2 1,8*1*2 4” 68,7*i*з -f- |
|
|
4- 5,9*2*з — 238*1*2*3- |
Дальнейший анализ проводился с целью определения оптимального состава по каждой модели и нахождения некоторой компромиссной области свойств.
4. 5. 2. Исследование свойств смеси поверхностно-ак тивных веществ при получении моющих средств. Иссле довалась композиция, включающая три поверхностно-ак тивных вещества (ПАВ), с целью получения моющего средства для автоматических стиральных машин. Фак торами являлись содержание ПАВ—X u X2 iiXz, выходной переменной — моющая способность смеси у (в условных единицах). План эксперимента для получения модели второго порядка с четырьмя проверочными точками при веден в табл. 4'. 22.
Т а б л и ц а 4.22. План и результаты эксперимента
|
|
План |
|
Выходная переменная |
Расчеты |
|||
Номер |
|
|
|
|
|
|
Л |
|
опыта |
|
|
|
У |
Ух |
Уг |
|
|
|
|
|
|
У |
- 2 |
|||
1 |
1 |
0 |
0 |
У |
24,0 |
24,4 |
24,20 |
0,080 |
2 |
0 |
1 |
0 |
Уг |
26,3 |
25,0 |
25,65 |
0,245 |
3 |
0 |
0 |
1 |
Уз |
17,8 |
17,3 |
17,55 |
0,125 |
4 |
0,5 |
0,5 |
0 |
12 |
17,4 |
16,99* |
17,20 |
0,080 |
5 |
0,5 |
|
0,5 |
У |
19,07 |
18,02 |
18,55 |
0,540 |
0 |
У з |
|||||||
6 |
0 |
0,5 |
0,5 |
У23 |
19,47 |
18,06 |
18,77 |
0,980 |
7 |
0,5 |
0,25 |
0,25 |
У1123 |
14,7 |
18,46 |
16,58 |
7,069 |
8 |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
у1 2 2 3 |
15,56 |
17,9 |
16,73 |
2,738 |
9 |
0,25 |
0,25 |
0,5 |
у1 2 3 3 |
17,5 |
17,1 |
17,30 |
0,080 |
1 0 |
0,33 |
0,33 |
0,33 |
У1 2 3 |
15,3 |
18,3 |
16,80 |
4,500 |
Проводилось по два параллельных опыта в каждой точке плана. Однородность дисперсий проверялась по критерию Кохрена (формулы (1.18) ((1.19)). Получено: Gp = 0,420; GT= 0,602 (fi = 2 —1 = 1, /2=Ю , <7 = 0,05), т. е. дисперсии однородны. Тогда ошибка опыта s2 = 1,7 по
лучалась усреднением всех s2 и число степеней свободы
/о=Ю (2—1) =10. Табличное значение критерия Стыодента для <7 = 0,05 /т= 2,23. Значение £ может быть по лучено по формуле (2.15) или снято с контурных карт
(изолиний) для данного примера (£= 0,6). Находим рас-
л
четное у[т:
Утз = 24,2.0,5 + 25,65*0,25 + 17,55 • 0,25 — 30,9 • 0,5 - 0,25 —
—9,3 • 0,5 • 0,25 — 11,32 • 0,25 • 0,25 =17,17.
Проверяем неадекватность модели по формуле (2.13) для опыта 7
и |
( у 1123 — У П 2з ) У 2 |
|
>И23 |
----------“ ' |
0,506 < <т, |
|
1.7У1 + |
0,6 |
т. е. модель адекватна в проверяемой точке плана. Анало гичные результаты получаем и в других проверочных точках 8, 9, 10:
<1223 = 0,578; |
<1233 == 0,489; |
*1М = о,057. |
Поскольку во всех проверочных точках tp< tT, то ги потеза об адекватности модели принимается.
Полученную модель можно представить набором кри вых равного выхода на плоскости правильного симплек са (рис. 4.4). В центральной части диаграммы моющее действие смеси минимально.
4. 5. 3. Пример оптимизации состава смеси по диаг раммам состав — свойство. Приведенные выше кривые равного выхода позволяют решить и более сложную за дачу оптимизации, когда выходных переменных (свойств) смеси несколько. В работе [30] приводится пример ис следования моющей смеси, включающей три фактора —
Рис. 4.5. Кривые равного выхода на плоскости правильного симплекса к задаче 4.5.3.
Х\ (сульфанол), Х2 (ситонол ДС-10) и Хг (мыло СЖК
Ci7_2o)• Исследовались свойства: |
м о ю щ а я |
с п о с о б - |
н о с т ь — (уi) и п е н о о б р а |
з о в а н и е |
(у2). Цель |
исследования — получить максимальное моющее дейст вие при значении пенообразования, не превышающем 0,3.
В результате постановки эксперимента и обработки его результатов по алгоритмам 2.1.2 и 2.1.3 получены адекватные уравнения пенообразования:
У2 = 0,843*1 -}- 0,751*2 “Ь 0,40*з — 1,964*1*2 — 0,666*1*3 —
—1,522*2*3 — 0,684*1*2*3
имоющей способности
А
у\ = 23,l*i + 25,5*2 + 7,6*3 — 7,8*1*2 — 31,8*1*3 + 16,0*2*3 +
-f- 268,0*2*2*3 — 248,8*1*2*3 -f~ 336,8*1*2*2.
Кривые равного выхода, построенные по этим урав нениям, представлены на рис. 4. 5. Если «двигаться» по кривой пенообразующей способности со значением 0,3, можно пересечь кривые моющей способности со значени ями от 10 до 22, т. е. в простейшем случае оптимизацию можно осуществить графически.