- •МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •Глава 1.1. Основные понятия и математический аппарат
- •1.1.1. Проценты и процентная ставка
- •1.1.3. Числовые последовательности. Прогрессии. Степенные ряды
- •1.2.1. Наращение по процентной ставке
- •Переменная процентная ставка
- •Реинвестирование вкладов
- •1.23. Наращение по учетной ставке
- •1.2.4. Срок долга. Величина процентной ставки
- •Глава 1.3. Сложные проценты
- •1.3.1. Наращение по процентной ставке
- •1.3.4. Непрерывное наращение и дисконтирование
- •1.3.5. Срок долга. Величина процентной ставки
- •1.4.1. Эффективность различных ставок
- •Замечания.
- •Глава 2.2. Потоки с постоянными платежами
- •2.2.2. Современная величина
- •Замечания.
- •Рента с начислением смешанных процентов
- •Глава 23. Потоки с переменными платежами
- •23.2. Относительное изменение платежей
- •Глава 2.4. Сравнительный анализ. Приложения
- •Замечание.
- •2.4.2. Безубыточное изменение потоков платежей
- •Серия "Российская Экономическая Академия им. Г.В.Плеханова"
- •Серия "Индустрия гостеприимства"
- •Серия "Учебники для экономических и неэкономических ВУЗов"
- •Серия "Прогрессивная экономическая мысль Европы"
- •По вопросам приобретения книг и за дополнительной информацией просим обращаться:
Глава 1.2. Простые проценты
1.2.1.Наращение по процентной ставке
Вбанк на депозит положена сумма денег 5(0) (т.е. банку дали в долг) под годовую процентную ставку / или под /100% годовых. Какова будет сумма вклада (долга банка вкладчику) при начислении на нее в течение л лет простых процентов?
Очевидно, что если величина ежегодных процентов (процентных денег) при исходной базе, равной сумме первоначального вклада 5(0), принимает значение равное / / (1) = 5(0)-/ при / = 1,2, ..., л, то к концу первого года
(т.е. к концу первого периода начисления процентов) вклад станет равным
5(1) = 5(0) + /, (1) = 5(0) + 5(0) / = 5(0)-(1 + /);
к концу второго года (т.е. к концу второго периода начисления процентов)-
5(2) = 5(1) + /2(1) = 5(0)-(1 + /) + 5(0) / = 5(0) -(1 + 2/);
к концу третьего года.
5(3) = 5(2) + / 3(1) = 5(0) -(1 + 2/) + 5(0) / = 5(0)-(1 + 3/)
и т.д. (с. рис. 2).
0 |
] |
2 |
3 ................. п |
t |
|
|
|
---------------- 1----------■ |
|
) |
' |
S ( 0 ) ( 1 + /) |
|
|
5 (0 ) (1 + 2 /)
5 (0 ) (1 + 3 /)
Рис. 2 Таким образом, полученная последовательность 5(1), 5(2), 5(3),
величин наращиваемого ежегодно простыми процентами вклада образует арифметическую прогрессию с первым членом - 5(0)-(1 + /) и разностью - 5(0)*/. Следовательно, величина наращенного вклада в конце л-го года (л- го периода начисления процентов) может быть найдена по формуле л-го члена арифметической прогрессии
5(л) = 5(0)-(1+/) + (л-1>5(0)-/ = 5(0)-(1 + л-0. |
|
Таким образом, получена формула |
|
5(л) = 5(0)-(1+л-/) |
(1Н) |
суммы наращенного долга при начислении простых процентов по про центной ставке / за л периодов.
Величина (1 + n-i) называется множителем наращения простых процентов по процентной ставке / за п периодов. Множитель наращения показывает, во сколько раз наращенная сумма вклада больше суммы пер воначального вклада, при этом величина процентов (процентных денег) равна I(n) = S(0)-n-i.
Характер изменения суммы наращенного вклада при начислении
г .. простых процентов по процентной ставке i от числа периодов п = — ее
Z*
использования изображен на рис. 3.
Возможные варианты расчета процентов, точные или обыкновенные (банковские) проценты, с точным или приближенным числом дней в году в зависимости от выбора временной базы (К) для определения периода при менения процентной ставки и способов расчета числа дней г пользования долгом сведены в табл. 2.
Замечания.
1.При определении числа дней в сроке долга день выдачи и день по гашения долга принимаются за один день.
2.Величина процентов при приближенном вычислении количества дней в сроке долга обычно не больше, чем при точном вычислении коли чества дней в сроке долга, т.е. 1б( тп ) < 1б( Тр).
3.Между точными и обыкновенными процентами с точным опреде лением количества дней в сроке долга существует соотношение
I T{ «r)-365 = I6( ^)-360<=> 7r ( Tj-) = — |
- Ы |
rr ) = 0,986301 -I6( |
|
|||||||
|
|
|
|
|
365 |
|
|
|
|
|
=<=> I6( rr )= — |
-IT( tf)= 1,013889-I r ( Jr). |
|
|
|
|
|||||
^ЧВременная база при- |
|
|
|
Таблица 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
хменения |
процент |
|
Число дней в году |
|
|
|||||
|
Nw ной ставки {К) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Способ |
X. |
|
|
|
|
|
Условное |
|
||
определения |
|
N. |
|
Точное |
|
360 |
|
|||
числа дней г |
х . |
365(366) |
(12 месяцев по 30 |
|||||||
в сроке долга |
|
N4 |
|
|
|
дней) |
|
|||
|
|
|
|
|
Точные проценты |
Обыкновенные |
|
|||
Точный |
порядковый |
Ifi. t f) —S{0)-n‘i— |
(банковские) |
про |
||||||
номер |
последнего |
дня |
=5(0) •( 27-/365) -/ |
центы |
с точным |
чис |
||||
срока |
долга |
минус |
но |
(1т( *r)=S(0) •«•'= |
лом дней |
1б(Гт) = |
||||
мер 1-го дня срока долга |
= 5 (0 )-(^ /3 6 0 )-/ |
|||||||||
|
|
|
|
|
=5(0) •( Jf /366)-i- |
|||||
Приближснный-число |
високосный год) |
Обыкновенные |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
дней в полных |
месяцах |
Не используется |
(банковские) |
про |
||||||
по 30 дней плюс число |
центы |
с |
приближен |
|||||||
дней неполных |
месяцев |
|
|
ным |
числом |
дней |
||||
в сроке долга |
|
|
|
|
Ы г п )= |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= 5(0) •( гп |
/360)‘/ |
||
4. Из равенства процентов 1т(*г) |
= h |
i Tr) следует соотношение |
эквивалентности между процентными ставками с различными временными базами, а именно:
Т |
• |
о/m |
г • |
360 |
• |
365 . |
£(0> — |
’ *365 “ *^(°) • Г7Г *360 ^ |
*360 = — |
**365 <=* *365 “ ~ ’ *360 • |
|||
365 |
|
|
360 |
365 |
|
360 |
В этом случае, например, годовая процентная ставка |
/*збо= 0»Ю, со- |
ответствующая начислению 10% в год на первоначальную сумму при вре менной базе К = 360 дней, дает тот же результат, что и годовая процентная
ставка |
/з65 |
365 |
соответствующая |
начислению |
------- 0,1 = 0,1013889, |
10,13889% в год на первоначальную сумму при временной базе К = 365 дней.
Переменная процентная ставка
Если на разных этапах jf (f = 1,2, к) всего срока долга г, состоя
щего из к этапов, величина процентной ставки для начисления простых
процентов принимает значения |
/,, то величина наращенной суммы долга |
||
определяется по формуле |
' |
к |
|
S(i) = S(0H l + W|-/i + |
|||
+пк •|л) = ^(°)' |
1+ S v |
||
|
|
/=1 |
где nt = — - число периодов начисления простых процентов по процент-
К
ной ставке /, на /-м этапе срока долга, а ц + 25+...+ 5 = г.
Реинвестирование вкладов
Если денежный вклад, наращенный простыми процентами на этапе / срока вклада по процентной ставке /,, инвестируется для начисления про стых процентов по процентной ставке ii+\ на этапе t + 1 срока вклада, то наращенная сумма вклада за весь срок N = щ + + + я*, состоящий
из к этапов, может быть найдена по формуле
к
S(N) = S(Q)-(\ + n] •/])*(1 +/i2 -/г) • О+л* ,/а ) = £(0)-11(1 +/1/
/=1
где nt число периодов начисления простых процентов по процент
К
ной ставке /, на f-м этапе срока вклада.
Такой способ инвестирования денежных средств называется реинве стированием вклада.
Если в каждом этапе срока вклада одинаковое число периодов на числения простых процентов и одинаковая процентная ставка, т.е. для V/ е {1, 2,..., k}: nt = л, /\ = /, то наращенная сумма вклада за весь срок
N = k n составит:
S(N) =S(0)-(\ + n-i)k,
где к - число операций реинвестирования.
1.2.2. Дисконтирование ( учет)
Мы уже знаем, что если по заданной величине погашаемого долга требуется определить величину долга на любой более ранний момент вре
мени, то прибегают к операции дисконтирования или учета заданной вели чины погашаемого долга.
Взависимости от вида используемой процентной ставки и базы для
ееначисления различают два вида дисконтирования (учета): математиче ское и банковское (коммерческое).
Математический учет представляет собой решение обратной за дачи к задаче нахождения наращенной суммы первоначального долга, т.е. позволяет определить, какую первоначальную сумму 5(0) необходимо по ложить на депозит, чтобы при начислении на эту сумму (эта сумма являет ся базой) простых процентов по процентной ставке / получить сумму, под лежащую выплате в конце срока вклада л = г/К. Ответ на этот вопрос по лучим, если решим уравнение (1Н) относительно величины 5(0), а именно
m = - ^ - = s { n y ( i + n .i)-' |
(in) |
Это есть формула приведенной величины суммы 5(л), подлежащей выплате в конце срока вклада, при математическом учете ее в течение л периодов простыми процентами по процентной ставке /.
Величина — ^— |
= ( 1 + л • i)“* называется дисконтным или учет- |
|
1+ п • i |
г |
|
ным множителем, где |
||
п = -----число периодов применения процентной |
||
ставки /; |
К |
|
|
S(n)-n-i
Dl(л) = S(n) - 5(0) = —— --------величина дисконта. 14- л • I
Банковский учет представляет собой решение той же задачи, кото рую решали с помощью математического учета. Однако при банковском учете исходной базой для применения учетной ставки на каждом периоде начисления и удержания простых процентов (дисконтов) в течение всего срока вклада л = dK является сумма 5(л), подлежащая выплате в конце срока вклада. Поэтому если величина дисконта каждый год принимает значение, равное Dt ( 1) = 5(л) • d при t = 1, 2 , . . . , л, то за один год до вы
платы суммы 5(л) необходимо положить сумму, равную |
|
|
5(л—1) = 5(л) - D„(l) = 5(л) - S{n) d = 5(л>(1 - d)y |
|
|
за два года - сумму, равную |
d) - S(nyd = 5(л>(1 - |
2d)y |
5(л-2) = 5(л-1) -D„_! (1)= 5(л) (1 - |
||
за три года - сумму, равную |
|
|
5(л-3) = 5(л-2) - Dn_2(\)= 5(л>(1 - |
2d) - 5(л) </= 5(л) (1 - |
3d) |
и т.д. (рис. 4). |
|
|
-------------------------------- л - 3 |
л ------------------------------2 |
л -1 |
. . |
. л--------------- |
t► |
|
|
- |
5 ( * ) ( W |
) - - - |
5(я) |
~-S(r>Xl-2d)
- 5 ( « ) ( l- 3 r f )
...........
Рис. 4 Полученная таким образом последовательность приведенных вели
чин при ежегодном учете простыми дисконтами суммы S(n), которая под лежит выплате в конце срока вклада, образует арифметическую прогрес сию с первым членом S ( n )( \- d ) и разностью (-S(ri) d).
Следовательно, величина суммы, которую необходимо инвестиро вать за л лет до окончания срока вклада для того, чтобы в конце срока вклада получить сумму 5(л), может быть найдена по формуле л-го члена арифметической прогрессии:
5(0) = 5(л)(1 - d) + (л - 1) ( -S(ri) d) = 5(л>(1 - |
л d). |
Таким образом, получена формула |
|
5(0) = 5(л)(1 - nd) |
(2П) |
приведенной величины суммы 5(л), подлежащей выплате в конце срока вклада при банковском учете ее в течение л периодов простыми дисконта ми по учетной ставке d. Величина (1 - n d) является дисконтным множите лем, л = dK - число периодов использования учетной ставки d. Величина дисконта равняется
Dd (л) = 5(л) - 5(0) = 5(л) - 5(л)( 1 - n d) = S(n) n-d. Замечание. Разложив дисконтный множитель в формуле (1П) в сте
пенной ряд до третьего члена включительно, имеем 5 ;(0)= 5(л) ( 1+л /)” 1«
« 5(л) (1 - л / + л •/ ). Из сравнения полученного результата с (2П) при заданных 5(л) и i = d, следует, что S t(0)>Sd(0) для любого л (рис.5).