Шапкарин Лабораторный 2012
.pdf
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
− |
t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x1 |
= T |
|
− e |
|
T |
+ x10 , |
|||||||
t |
1 |
|
|
x20 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(t ) = e− |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
T |
x |
20 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Семейство фазовых траекторий и временные графики представлены на рис. 6.8, а, б.
x1
|
|
x20 > 0 |
|
u = 0 |
|
|
|
x2 |
|
x10 |
|
|
|
|
|
x20 |
|
0 |
|
|
x20 < 0 |
t |
|
x10 |
x1 |
x2 |
|
x20 |
|
||
|
x20 |
|
|
|
|
|
0
t
x20
а) |
б) |
Рис. 6.8
На фазовой плоскости движение прекращается, когда координата x2 становится равной нулю.
6.4. Анализ объекта управления в третьем варианте
Здесь в изменяемой части объекта используется неустойчивое
апериодическое звено |
W0 |
(s) = |
|
K |
|
|
. В таком случае передаточная |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Ts − 1 |
|
||||
функция объекта имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
W (s) = |
|
y(s) |
= |
K |
, |
||||
|
u(s) |
|
s(Ts − 1) |
а ей соответствуют уравнения состояния
71
. |
(t ) = x2 (t ), |
|
|||||||
x1 |
|
||||||||
. |
(t ) = |
1 |
x |
|
(t )+ K u(t ) |
||||
x |
|
||||||||
|
|
2 |
|||||||
2 |
|
T |
|
|
T |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
с матрицами системы и управления |
|
||||||||
|
0 |
|
|
1 |
0 |
||||
A = |
|
|
1 , B = K . |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
T |
T |
|
Вывод уравнений фазовых траекторий подобен предыдущему примеру, и поэтому дадим окончательный результат при u(t ) = c :
|
|
|
x1 (t ) = Tx2 (t ) − KcT ln |
1 |
+ |
x2 |
(t ) |
+ C0 |
, |
|||||
|
|
|
Kc |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где C |
|
|
|
|
x20 |
|
. |
|
|
|
|
|
||
= x |
− Tx |
|
+ KcT ln |
1 + |
|
|
|
|
|
|
||||
20 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
10 |
|
|
|
Kc |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции изменения координат во времени также найдем с помощью векторно-матричного решения, но преследуя учебные цели, переходную матрицу вычислим другим способом, использующим обратное преобразование Лапласа:
Φ(t,0) = e At = L−1{[sE − A]−1}.
Составим матрицу
s |
− 1 |
|
||
[sE − A] = |
|
1 |
. |
|
0 |
s − |
|
|
|
T |
||||
|
|
|
Обратная к ней матрица вычисляется следующим образом:
[sE − A]−1 = adj[sE − A] , det[sE − A]
где adj[sE − A] – присоединенная матрица, определяемая как транспонированная матрица из алгебраических дополнений, а det[sE − A] – определитель указанной матрицы.
В этом примере обратная матрица имеет вид
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
T |
|
|
T |
|
|
||
|
|
s − |
T |
|
|
1 |
s |
− s |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||
−1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
s − |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
T |
||||
[sE − A] |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
s s |
− |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
s − |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
Найдем выражения элементов переходной матрицы, вычисляя обратное преобразование Лапласа от обратной матрицы:
|
1 |
− |
T |
+ |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||
|
s |
s |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
s − |
|
1 |
|
|
T |
|
||||||||
e At = L−1 |
|
|
|
|
T |
T e |
|
|
|
− 1 |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
T |
|
|||
|
|
|
|
s − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка по начальным условиям для t = 0 подтверждает правильность полученного результата.
Подстановка выражения переходной матрицы в стандартную форму дает векторно-матричное решение уравнений состояния
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t −τ |
|
|
|
||||
x t |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
( ) |
|
|
1 |
T e T − 1 |
|
10 + |
1 |
|
T e T |
− 1 |
|||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
K u(τ)dτ . |
||||||||||||
x2 (t ) |
|
|
|
t |
|
|
|
x20 |
|
0 |
|
|
|
|
|
t −τ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
eT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e T |
|
T |
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вычисляя интеграл при |
u(t ) = c, |
находим функции изменения |
||||||||||||||||||||||||||
координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= Kc T |
|
e |
T |
|
|
|
|
|
|
|
e |
T |
− 1 |
|
x |
+ x , |
||||||||
|
|
x t |
|
|
|
− 1 − t + T |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
10 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
( ) |
|
|
T |
|
|
|
|
+ e |
T |
x20 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 t |
= Kc e |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 6.9, а, б представлена графическая информация о фазовых траекториях и временных функциях, когда на вход объекта подан положительный сигнал управления.
Если сигнал управления u(t ) = −c , получаем выражение семейства фазовых траекторий
x1 (t ) = Tx2 (t )+ KcT ln 1 − x2 (t ) + C0 , Kc
где
C |
= x |
− Tx − KcT ln |
1 − |
x20 |
, |
|
|||||
0 |
10 |
20 |
|
Kc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73
представленного на рис. 6.10, а.
x1 |
x20 |
> 0 |
|
u = +c |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x10 |
|
|
0 > x20 > −Kc |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
x20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x20 < −Kc |
|
|
|
x |
x10 |
|
x1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− Kc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x20 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− Kc |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.9 |
|
|
|
|
|||
Графики временных функций изменения координат |
|
|||||||||||||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
T |
|
+ x10 |
, |
|||
|
x1 t |
= Kc t − T e |
|
− 1 |
+ T e |
|
− 1 x20 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( ) |
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
T |
|
+ e |
T |
x20 |
|
|
|
|
||||
|
x2 t |
|
= Kc 1 − e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
показаны на рис. 6.10, б.
Семейство фазовых траекторий для нулевого сигнала управления u(t ) = 0 в виде прямых линий
x1 (t ) = Tx2 (t )+ C0 ,
где C0 = x10 − Tx20 , а также временные функции изменения координат
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
T |
|
+ x10 , |
||
x1 t |
= T e |
|
|
−1 x20 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
x |
(t ) = e |
T |
x |
20 |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
74
приведены соответственно на рис. 6.11, а, б.
|
x1 |
x2 |
u = −c |
x20 |
|
|
x10 |
|
|
|
|
|
Kc |
|
0 |
|
|
|
|
x20 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x10 |
x1 |
x20 |
x20 |
|
||
|
|
||
|
|
Kc |
|
|
|
|
|
|
|
|
x20 |
а)
Рис. 6.10
x20 > Kc
0 < x20 < Kc
x20 < 0
б)
|
|
|
x1 |
> 0 |
|
|
|
x20 |
|
x |
|
u = 0 |
x10 |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
x20 |
|
0 |
|
|
|
x20 < 0 |
|||
x |
x10 |
x1 |
x2 |
|
20 |
|
|
||
|
|
|
|
x20
0
x20
а) |
б) |
Рис. 6.11
t
t
t
t
75
6.5.Границы семейств фазовых траекторий
врелейных системах
Исследуя заданную нелинейную систему (см. рис. 6.1), на фазовой плоскости необходимо выделить области, соответствующие определенным выходным сигналам управления реле. Поскольку входным сигналом реле в автономной системе является сигнал ошибки, зависящий от переменных состояния
ε(t ) = − x1 (t ) − ax2 (t ),
то условия переключения реле из одного состояния в другое и будут задавать границы существования определенных семейств фазовых траекторий.
Так для идеализированного двухпозиционного реле (№ 4 Приложения) переключение происходит при переходе через нуль сигнала ошибки:
c, ε(t ) ≥ 0
u(t ) = .
− c, ε(t )< 0
Приравнивая нулю выражение ошибки, получим на фазовой плоскости линию переключения реле
x2 (t ) = − 1a x1 (t ),
наклон которой зависит от коэффициента усиления обратной связи по скорости. На рис. 6.12, а изображена эта линия переключения, выше которой получаем область отрицательного сигнала управления реле − c , а ниже прямой – область положительного сигнала управления + c .
В идеализированном трехпозиционном реле (№ 5 Приложения) переключения происходят при переходе сигнала ошибки через значения ± d в соответствии с выражением
c, ε(t )≥ d
( ) ε( )
u t = 0, − d < t < d.
− c, ε(t )≤ −d
Отсюда получаем две линии переключения реле с − c на 0 или, наоборот, с 0 на − c :
x2 (t ) = − 1a x1 (t ) + da ;
76
и от + c на 0 или, наоборот, с 0 на + c :
x2 (t ) = − 1a x1 (t ) − da ,
представленные на рис. 6.12, б.
x2 |
x2 |
||
|
|
|
u = −c |
u = −c |
u = 0 d |
||
|
a |
|
|
|
|
|
d |
u = +c x1
а)
x2 |
|
|
||
u = ±c |
d |
u = −c |
||
|
||||
a |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
− d |
|
x1 |
||
u = +c |
|
|
||
− |
d |
|
|
|
a |
|
|
||
|
|
|
в)
− d |
|
|
|
|
|||||
u = +c |
− |
d |
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
б) |
|||||
|
|
x2 |
|
|
d |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u = 0 |
|
|
a |
||||||
u |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− md |
|
c |
||||||
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
− d |
u |
|
md |
||||||
= |
|
|
|
|
|||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||
|
c |
|
|
|
|
||||
|
; |
|
|
|
|
|
|||
u = +c |
0 |
|
|
|
|
||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
||
|
− |
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
г) |
|
|
|
x1
u = −c
d
x1
Рис. 6.12
Область выше первой прямой соответствует семейству фазовых траекторий с отрицательным сигналом управления u = −c , ниже второй прямой имеем семейство фазовых траекторий с положительным сигналом управления u = +c , а между двумя линиями переключения находится семейство фазовых траекторий с нулевым сигналом управления u = 0 .
77
Двухпозиционное реле с гистерезисом (№ 6 Приложения) также имеет две линии переключения, но здесь условия переключения реле зависят от величины сигнала ошибки и от направления ее изменения:
|
c, ε(t )≥ d |
|
. |
u(t ) = |
c, − d < ε(t )< d , ε(t )< 0 |
|
− c, ε(t )≤ −d |
|
. |
− c, − d < ε(t ) < d , ε(t ) > 0.
Уравнения линий переключения имеют такой же вид, как и в предыдущем случае, но область, заключенная между двумя прямыми на фазовой плоскости (рис. 6.12, в), может принадлежать семействам фазовых траекторий как с отрицательным, так и с положительным управлением u = ±c.
Для трехпозиционного реле с гистерезисом (№ 7 Приложения) количество условий переключения увеличивается:
c, ε(t ) ≥ d |
|
|
|
|
. |
c, md < ε(t )< d , ε(t )< 0 |
||
|
( ) |
≤ md |
0, − md ≤ ε t |
||
u(t ) = 0, md < ε(t )< d , ε.(t ) > 0 |
||
0, − d < ε(t )< −md , ε.(t )< 0 |
||
|
|
|
− c, ε(t )≤ −d |
|
|
|
|
. |
− c, − d < ε(t )< −md , ε(t ) > 0.
В результате получаем четыре линии переключения реле на фазовой плоскости:
с 0 на − c
x2 (t ) = − 1a x1 (t ) + da ,
с − c на 0
x2 (t ) = − 1 x1 (t ) + md , a a
с 0 на + c
x2 (t ) = − 1a x1 (t ) − da
и с + c на 0
78
x2 (t ) = − 1 x1 (t ) − md , a a
которые приведены на рис. 6.12, г с указанием областей, соответствующих различным сигналам управления реле.
6.6.Построение фазовых траекторий систем с кусочно- линейными статическими характеристиками
Траектория движения в релейной системе на фазовой плоскости, начинающаяся в некоторой точке (x10 , x20 ), будет представлять со-
бой соединенные на линиях переключения реле фазовые траектории из семейств, соответствующих различным сигналам управления. Поскольку все необходимые семейства фазовых траекторий и линии переключения реле для рассматриваемых примеров получены, то имеем возможность приступить к исследованию нелинейных систем на фазовой плоскости, а также и во временной области.
Рассмотрим пример, когда объект в системе описывается двумя последовательно соединенными интеграторами, на вход которого подается управляющий сигнал с идеализированного двухпозиционного реле (вариант 1.1 в табл. 6.1). Изучим характер свободного движения в системе при произвольных начальных условиях x10 и
x20 в зависимости от величины коэффициента усиления обратной
связи a.
Пусть в первом случае обратная связь по скорости отсутствует, что означает a = 0 . Тогда линия переключения реле совпадает с вертикальной осью на фазовой плоскости. А так как семейства фазовых траекторий для данного объекта, состоящие из парабол, симметричны относительно оси x1 и симметричны относительно
оси x2 при различных знаках сигнала управления с реле, то резуль-
тирующая фазовая траектория оказывается замкнутой кривой.
На рис. 6.13, а показан процесс формирования замкнутой траектории движения, начавшейся в точке (x10 , x20 ) по параболе из се-
мейства фазовых траекторий, соответствующих отрицательному сигналу управления u = −c . При достижении линии переключения реле, расположенной вдоль вертикальной оси, движение в системе продолжается по параболе из семейства фазовых траекторий с по-
79
ложительным сигналом управления u = +c , проходящей через полученную точку на линии переключения. Следующее переключение реле с u = +c на u = −c произойдет в верхней точке на вертикальной оси, и, таким образом, попадаем на траекторию, проходящую через начальную точку. В результате образуется замкнутый цикл из двух парабол, который соответствует периодическим негармоническим колебаниям с амплитудой и частотой, зависящими от начальных условий.
|
|
x1 |
x2 |
|
x10 |
|
0 |
|
|
|
|
x20 |
|
t |
|
|
|
x10 |
x |
x2 |
|
1 |
|
x20
0
t
а) |
б) |
Рис. 6.13
Временные графики этого автоколебательного процесса представлены на рис. 6.13, б, где x1(t) является периодической функци-
ей, также составленной из парабол, а x2 (t) – пилообразная
функция. Нетрудно показать, что с увеличением начального отклонения от положения равновесия амплитуда автоколебаний увеличивается, а частота уменьшается.
Для того чтобы устранить автоколебания в системе, вводится отрицательная обратная связь по скорости. При этом наклон линии переключения реле становится отрицательным. Даже небольшое значение коэффициента усиления a приводит к стремлению фазо-
80