- •Фгбоу впо «Воронежский государственный технический университет» г.Е. Шунин с.А. Кострюков в.В. Пешков
- •Воронеж 2014
- • Шунин г.Е., Кострюков с.А., Пешков в.В., 2014
- •1 Современное состояние разработок сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •1.1 Основные типы сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •1.2 Методы расчёта и компьютерного моделирования сверхпроводящих подвесов
- •1.3 Компьютерные системы конечно-элементного анализа
- •2 Основные положения метода
- •2.1 Сущность метода конечных элементов
- •2.2 Вариационные методы дискретизации
- •Упражнения
- •2.3 Проекционные методы дискретизации
- •Упражнения
- •2.4 Конечные элементы и аппроксимация
- •Упражнения
- •2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Упражнения
- •2.6 Решение дифференциальных уравнений с частными производными
- •Упражнения
- •3 Физико-математическое моделирование конструктивных элементов сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •3.1 Физико-математическая модель
- •3.2 Конечно-элементная дискретизация уравнений
- •Упражнения
- •3.3 Особенности решения задач для открытых многосвязных систем
- •Упражнение
- •3.4 Моделирование экранов
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Упражнение
- •4 Конечно-элементный комплекс программ fempdesolver
- •4.1 Структура и возможности комплекса программ fempdeSolver
- •4.2 Препроцессор
- •4.3 Процессор
- •4.4 Постпроцессор
- •5 Моделирование сверхпроводникового гравиинерциального датчика
- •5.1 Геометрическая модель датчика
- •А) Цилиндрический подвес с плоской катушкой
- •Б) Цилиндрический подвес с катушкой квадратного сечения
- •5.2 Моделирование распределения магнитного поля в рабочем объеме датчика
- •А) Цилиндрический подвес с плоской катушкой
- •Б) Цилиндрический подвес с катушкой квадратного сечения
- •5.3 Моделирование распределения электростатического поля в емкостном датчике смещений пробного тела
- •Лабораторная работа № 1 Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
- •Задания
- •Лабораторная работа № 2 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа
- •Задания
- •Лабораторная работа № 3 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа с дополнительными условиями
- •Задания
- •I. Задачи с плоской геометрией
- •II. Осесимметричные задачи
- •Лабораторная работа № 4 Решение краевой задачи для уравнения Пуассона
- •Задания
- •Лабораторная работа № 5 Решение краевой задачи при наличии физически неоднородных сред
- •Задания
- •Лабораторная работа № 6 Решение уравнения Лапласа в области с разрезами
- •Задания
- •Лабораторная работа № 7 Решение краевой задачи для уравнения Лондонов
- •Задания
- •Лабораторная работа № 8 Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности
- •Задания
- •Лабораторная работа № 9 Сверхпроводниковые подвесы
- •Описание интерфейса препроцессора
- •«Выход»
- •Горячие клавиши препроцессора
- •Программа appl_fem
- •Процессор
- •Описание интерфейса постпроцессора
- •Меню «Файл»
- •Меню «Вид»
- •Меню «Поле»
- •Меню «График»
- •Меню «Таблица»
- •Меню «Печать»
- •Меню «Вычислить»
- •Меню «Опции»
- •Меню «Помощь»
- •«Выход»
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.2 Вариационные методы дискретизации
При исследовании многих физических систем требуется найти функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения, которое описывает поведение рассматриваемой системы. В ряде случаев для исследуемой задачи можно установить естественную вариационную формулировку. Тогда для получения решения может быть принят альтернативный подход, состоящий в отыскании функции, доставляющей стационарное значение соответствующему данной задаче функционалу.
Пусть функционал задан в виде интеграла
, (2.1)
где L и G – функции от (x, ...) и ее производных; – поверхность, ограничивающая замкнутую область ; d – элемент объема области; d – элемент площади поверхности. Тогда вариационная задача состоит в том, чтобы придать F() стационарное значение относительно вариаций по на множестве допустимых функций, удовлетворяющих общим краевым условиям:
B1(, x, ...) = 0 на 1, (2.2a)
B2(, x, ...) = 0 на 2, (2.2b)
где 1+2=. Для малых допустимых вариаций по , выражающихся в переходе от к +, определим соответствующую первую вариацию F():
. (2.3)
Тогда условие стационарности F по требует, чтобы F = 0. Если после соответствующих преобразований равенство (2.3) можно переписать в виде
(2.4)
где A – некоторое дифференциальное выражение, то в силу произвольности из условия стационарности следует, что
A(, x,...) = 0 на . (2.5)
Таким образом, имеется естественный вариационный принцип для нахождения решения дифференциального уравнения (2.5), подчиненного краевым условиям (2.2). Искомая функция доставляет функционалу F() стационарное значение относительно вариаций по на множестве функций, удовлетворяющих краевым условиям. Дифференциальное уравнение (2.5) называется уравнением Эйлера. Можно показать, что для любого вариационного принципа существует соответствующее уравнение Эйлера. Обратное утверждение неверно.
В некоторых случаях возможны такие преобразования правой части равенства (2.3), что первая вариация функционала будет определяться соотношением вида
, (2.6)
и тогда согласно условию стационарности F на будем иметь
A(, x, ...) = 0 на , (2.7a)
B2(, x, ...) = 0 на 2 . (2.7b)
Краевое условие (2.7b) на Г2 теперь является естественным краевым условием, так как оно автоматически выполняется для функции , доставляющей функционалу F стационарное значение. Множество допустимых функций теперь расширилось, так как требуется только, чтобы любая функция из этого множества удовлетворяла главному краевому условию на Г1.
В качестве примера рассмотрим краевую задачу
где , , , q – заданные функции координат, (x, y, z) – неизвестная функция, (2.8a) – уравнение Пуассона. Условие типа (2.8b) называется краевым условием Дирихле, а (2.8c) – краевым условием Неймана.
Покажем, что функционал
, (2.9)
где интегрирование производится по области определения задачи и части ее границы Г2, принимает стационарное значение для функции (x, y, z), являющейся решением краевой задачи (2.8) при условии, что допустимые функции удовлетворяют краевому условию (2.8b) на Г1 (главное краевое условие). Условие на Г2 является естественным.
Для первой вариации имеем
. (2.10)
Применив формулу Грина для первого интеграла, получим
(2.11)
Последний интеграл равен нулю, так как и + удовлетворяют главному краевому условию на 1. Поскольку вариация произвольна, для F = 0 необходимо, чтобы
Для получения приближенного решения вариационной задачи обычно используется метод Релея-Ритца, согласно которому неизвестная функция заменяется суммой
, (2.12)
где {Nm} система независимых базисных (пробных) функций; {m } параметры, как правило, значения функции ^ и ее производных в определенных точках узлах.
Подставляя (2.12) в (2.9), заметим, что функционал F теперь является функцией только величин 1, 2, ... , M.
– . (2.13)
Необходимое условие стационарности F
, (2.14)
приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно {j}
, (2.15)
где
, (2.16)
, (2.17)
Решив систему, искомую функцию ^ найдем с помощью (2.12). Матрица (2.16) – симметричная и положительно определенная.