- •Операции над комплексными числами.
- •2.1. Условие дифференцируемости функции комплексной переменной
- •2.2. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •2.3. Гармонические функции
- •3. Элементарные функции комплексной переменной (кп)
- •3.1. Дробно-линейная функция
- •3. Рассмотрим общее дробно-линейное преобразование
- •3.3. Показательная функция и логарифм
- •4.Разложение функции комплексной переменной в ряды тейлора и лорана
- •4.1. Сходимость и равномерная сходимость
- •4.2. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •4.3. Область сходимости степенного ряда
- •4.4. Ряд Тейлора
- •4.5. Способы разложения функций в ряд Тейлора
- •4.6. Ряд Лорана, разложение функций в ряд Лорана.
- •5. Вычеты и их приложения
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.2. Свойства равномерно сходящихся рядов
1. Если все члены функционального ряда непрерывны в области D и ряд равномерно сходится в D, то сумма ряда непрерывна в D (теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда).
2. Пусть ряд равномерно сходится в D к , функции непрерывны в D при любом n, пусть кусочно-гладкий контур l целиком лежит в D. Тогда
(теорема о почленном интегрировании).
З. Пусть ряд равномерно сходится в любой замкнутой подобласти области D, функции аналитические в D. Тогда
а) - сумма ряда - есть аналитическая функция в D;
б)
в) ряд сходится равномерно в любой подобласти области D (первая теорема Вейерштрасса).
4. Пусть ряд равномерно сходится на границе Г области D , - аналитические функции в открытой области D и непрерывные в замкнутой области D. Тогда ряд равномерно сходится в области D (вторая теорема Вейерштрасса).
4.3. Область сходимости степенного ряда
Функциональный ряд вида называется степенным. Очевидно, при любых ряд сходится в точке . Точка называется центром сходимости степенного ряда. Оказывается, что степенной ряд сходится в круге , где R - радиус сходимости степенного ряда. Это - следствие теоремы Абеля, которая формулируется следующим образом: если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге . Радиус сходимости степенного ряда можно найти, рассматривая ряд из модулей и применяя один из признаков сходимости знакопостоянных рядов, например признак Даламбера или радикальный признак Коши, как это было сделано в примерах п. 4.1. Сходимость на границе круга исследуется отдельно. Если ряд сходится, то степенной ряд сходится на всей границе. Если ряд расходится и не стремиться к 0, то ряд расходится во всех точках границы. Если ряд расходится, но , , то ряд может сходиться в одних точках границы и расходиться в других; в этом случае надо выделять ряды из действительных и мнимых частей и исследовать каждый из них.
Пример: определить область сходимости ряда и проанализировать его сходимость в точках .
Решение:
Найдем радиус сходимости ряда, рассматривая ряд из модулей и применяя признак Даламбера:
Ряд сходится в круге . Подставим в ряд из модулей , получим расходящийся ряд . Проверим необходимый признак сходимости ряда из модулей на границе круга:
Следовательно, ряд может сходиться в одних точках границы и расходиться в других. Подставим в ряд, получим - расходящийся ряд. Подставляя в ряд, получим ряд - сходящийся по признаку Лейбница. Подставим в ряд, получим
.
Ряд из действительных и мнимых частей сходится по признаку Лейбница.
4.4. Ряд Тейлора
Можно показать, что степенной ряд равномерно сходится в круге , поэтому к нему могут быть применены теоремы п. 4.2, в частности, первая теорема Вейерштрасса.
Следовательно, всякий степенной ряд внутри своего круга сходимости сходится к некоторой аналитической функции , причем можно найти, дифференцируя степенной ряд почленно k раз. Дифференцируя ряд , получим
Таким образом, подставляя коэффициенты в ряд, получим
- ряд Тейлора функции . Итак, всякий сходящийся степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы. При ряд Тейлора называется рядом Маклорена.
Справедлива теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд: функция , аналитическая в круге , разлагается в кем в степенной ряд , где коэффициенты можно вычислять по формулам или . В этих формулах l – любой кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в круге и охватывающий точку . Для коэффициентов ряда справедливы неравенства Коши , где ; - окружность . Приведем разложения в ряды Маклорена наиболее часто встречающихся функций: