- •РАсЧЁт систем водоснабжения и водоотведения на эвм
- •Рецензенты:
- •Введение
- •Глава I. Задачи в системах водоснабжения и водоотведения и математические методы их решения
- •1.1. Методология решения задач с помощью эвм
- •1.2. Задачи, решаемые в отрасли водоснабжения и водоотведения. Их классификация
- •1.3. Задачи, решаемые методами исследования операций
- •1.4. Критерии задач, решаемых в системах водоснабжения и водоотведения
- •1.5. Пример задачи проектирования очистных сооружений
- •1.6. Расчёт параметров по таблицам
- •1.6.1. Линейная интерполяция
- •1.6.2. Интерполяционный полином Ньютона для неравностоящих узлов интерполяции
- •Глава II. Проектирование водоотводящих сетей
- •М оделирование на эвм водоотводящей сети
- •М атематическая модель проектирования хозяйственно-бытовой новой сети
- •2.1. Водоотводящая сеть с точки зрения математики и алгоритм её расчёта
- •Глава III. Проектирование водопроводных сетей с помощью эвм
- •3.1. Подготовка к гидравлическому расчёту
- •3.2. Определение расчётных расходов
- •3.3. Описание программы v_cetu.Exe
- •3.4. Трассировка кольцевой сети. Требования к сети
- •3.5. Потокораспределение
- •3.6. Гидравлический расчет водопроводно-кольцевой сети. Метод Лобачева-Кросса
- •3.7. Метод Ньютона (касательных) решения нелинейных уравнений
- •3.8. Модифицированный метод Ньютона
- •3.9. Метод Ньютона для решения системы нелинейных уравнений
- •3.10. Метод Лобачева-Кросса
- •3.11. Высотное проектирование водопроводной сети. Определение диктующей точки
- •3.12. Определение пьезометрических отметок и построение пьезокарт
- •3.13. Внешняя увязка гидравлической кольцевой сети
- •3.14. Подготовка данных к расчёту на эвм внешней увязки кольцевой сети
- •Глава IV. Применение методов математического моделирования для анализа и расчета систем очистки природных и сточных вод. Принципы и расчёт процессов и аппаратов
- •4.1. Классификация процессов очистки природных и сточных вод
- •4.2. Общие принципы анализа и расчёта процессов и аппаратов очистки природных и сточных вод
- •Уравнения материального баланса
- •Концентрация
- •4.4. Интенсивность процессов и аппаратов
- •4.5. Технологические характеристики аппарата
- •4.6. Аппараты идеального смешения и вытеснения (предельные модели)
- •4.6.1. Аппараты идеального вытеснения
- •4.6.2. Аппарат идеального перемешивания (смешения)
- •4.6.3. Процессы промежуточного типа между идеальным смешением и идеальным вытеснением
- •4.7. Моделирование процесса отстаивания
- •4.8. Моделирование процессов коагуляции и флокуляции
- •4.9. Фильтрование
- •Глава V. Интернет – источник получения информации
- •Основные принципы, лежащие в основе работы сети Интернет
- •5.2. Технология поиска информации
- •Составляющие решения поисковой задачи
- •Цель поиска.
- •Средства поиска.
- •Методы.
- •Компьютерные технологии в учебном процессе
- •Задачи для практических занятий
- •Задания для лабораторных занятий
- •Тестовые вопросы по дисциплине «Расчёт систем ВиВ на эвм»
- •Тематика рефератов
- •Заключение
- •Основные приёмы редактора электронных таблиц Excel
- •Оглавление
- •Учебное издание Ирина Владимировна Журавлева
- •3 94006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
1.6.2. Интерполяционный полином Ньютона для неравностоящих узлов интерполяции
Составление полинома основано на разложении функции в ряд Тейлора:
f(х+х)= f(х) + f’(х) х + f”(х) х2/2+ f’’’(х) х3/3+… . (1.4)
Если функция задана таблицей, эта функция дискретна и у неё нет возможности найти производную в силу отсутствия непрерывности. В этом случае производные в формуле (1.4) заменяются разделёнными разностями, построенными на результатах узлов таблицы:
‑ разделённая разность I порядка заменяет производную первого порядка, она строится на двух смежных аргументах узлов таблицы и соответствующих им функциях
(1.5)
‑ разделённая разность II порядка заменяет производную второго порядка, строится на трёх аргументах таблицы и соответствующих им функциях
(1.6)
‑ разделённая разность III порядка заменяет производную третьего порядка, строится на четырёх аргументах таблицы и соответствующих им функциях
(1.7)
Полином Ньютона представляет собой разложение функции в ряд Тейлора (1.4) с заменой производных соответствующими разделёнными разностями по формулам (1.5) – (1.7).
N3(x) = f(x1)+f(x1, x2)(x-x1)+ f(x1, x2, x3)(x-x1) (x-x2)+ + f(x1, x2, x3, x4)(x-x1) (x-x2) (x-x3). (1.8)
Пример
Построить полином Ньютона по следующим данным f(1)=1, f(2)=2; f(3)=2; f(5)=4.
Отыскание разделённых разностей удобно выполнить в виде табл. 2.
Таблица 2
Расчётная таблица для определения коэффициентов полинома Ньютона
xi |
f(xi) |
f(xi, xi+1) |
f(xi,xi+1,xi+2) |
f(xi,xi+1,xi+2,xi+3) |
|
x1 |
1 |
1 |
|
|
|
x2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||||
x3 |
3 |
2 |
|
|
|
x4 |
5 |
4 |
|
|
Теперь выписывается полином Ньютона. Степень полинома устанавливается порядком последней разделённой разности.
N3(x) = 1 + 1(x-1)+(- ) (x-1)(x-2)+ (x-1)(x-2)(x-3). (1.9)
Для проверки правильности полинома в формулу (1.9) подставляется значение x4=5. Расчёт должен привести к результату N3(5) = f(5)=4. В этом случае полином Ньютона составлен верно, и его можно использовать в поиске значения функции для любого промежуточного аргумента.
N3(5) = 1 + 1(5-1)+(- ) (5-1)(5-2)+ (5-1)(5-2)(5-3)=1+4-6+5=4.
N3(4) = 1 + 1(4-1)+(- ) (4-1)(4-2)+ (4-1)(4-2)(4-3)=1+3-3 + 5/4 = 2,25.
Если теперь рассчитать значение функции по линейной интерполяции, то значение функции получится отличное от значения полинома Ньютона, так как функция нелинейная. f(4)=2+2/2(4-3)=3. Различие видно на рис. 9. Кривая 1 соответствует функции, а прямая 2 – линейной интерполяции. |
Рис. 9. График функции, построенный по заданным узлам таблицы |