ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»

Е.Н. Провоторова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2011

УДК 517

Провоторова Е. Н. Дифференциальные уравнения первого порядка: учеб. пособие/ Е.Н. Провоторова. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. 90 с.

В учебном пособии приведены основные теоретические сведения по основным методам интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, подробно рассмотрены примеры решения задач.

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 090100 «Информационная безопасность», специальностям 090102 «Компьютерная безопасность» и 090105 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», дисциплине «Дифференциальные уравнения».

Учебное пособие предназначено для студентов второго курса очной формы обучения.

. Пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и содержится в файле Dif.doc.

Ил.7. Библиогр.: 9 назв.

Рецензенты: кафедра уравнения в частных производных и

теории вероятностей Воронежского

госудаственного университета (зав.кафедрой

д-р физ.-мат. наук, проф. А. В. Глушко);

канд. физ.-мат. наук, доцент C.В.Азарина

 Провоторова Е.Н., 2011

 Оформление. ГОУВПО «Воронежский

государственный технический

университет», 2011

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальные уравнения занимают особое место в ряду математических дисциплин в силу многочисленных приложений в практических задачах. При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти закон, связывающий независимую переменную и функцию, описывающую процесс, но можно установить связь между этой функцией и ее производной, характеризующей скорость течения процесса. Эта связь и выражается дифференциальным уравнением.

Первые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, исследовались в трудах Ньютона и Лейбница. В 18 веке теория дифференциальных уравнений выделилась в самостоятельную математическую дисциплину. Ее успехи связаны с именами братьев Иоганна и Якоба Бернулли, Ж.. Лагранжа и особенно

Л. Эйлера. На первых этапах развития теории дифференциальных уравнений ученые занимались разработкой методов интегрирования дифференциальных уравнений и поисками классов уравнений, интегрируемых в квадратурах, т.е. уравнений, решения которых могут быть в явной или в неявной форме выражены через элементарные функции и интегралы от них. В середине 19 века было доказано, что в квадратурах разрешимо лишь небольшое число классов дифференциальных уравнений в связи с чем в теории дифференциальных уравнений интенсивное развитие получили методы, позволяющие по самим дифференциальным уравнениям характеризовать свойства решений, а также численные методы.

В данном пособии рассматриваются основные классы дифференциальных уравнений первого порядка, допускающие интегрирование в квадратурах.

1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

связывающее независимую переменную t, искомую функцию и ее производные. В обыкновенном дифференциальном уравнении искомая функция х(t) является функцией одной независимой переменной. Если искомая функция зависит от двух и большего числа переменных, то имеем дифференциальное уравнение в частных производных. Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется любая функция , имеющая на этом интервале производные до n-го порядка включительно и обращающая это уравнение в тождество.

Например, уравнение имеет решение при любом t.

График решения на плоскости XOY называется интегральной кривой, процесс нахождения решений – интегрированием дифференциального уравнения. Процесс решения дифференциального уравнения считается законченным, если удается установить зависимость между переменной t и функцией х(t), необязательно в явной форме, достаточно в виде интеграла от элементарных функций.

Дифференциальное уравнение первого порядка, связывающее независимую переменную t, искомую функцию х(t) и ее производную в общем случае можно записать в виде

Удобнее изучать уравнение, разрешенное относительно производной, т.е. уравнение вида

(1.1)

где f (t,x) – известная функция, определенная в некоторой области D плоскости t,x.

Наряду с уравнением (1.1) рассматривают уравнение первого порядка, записанное в дифференциальной форме

где и - известные функции.

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является разыскание всех решений данного дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений. Часто ставится задача отыскания решений, обладающих тем или иным свойством или доказательство существования решений с заранее заданным свойством.

2. Задача Коши. Теорема существования и единственности

Уже на простейших примерах видно, что любое дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Например, решением уравнения являются все функции вида , где с - const.

. Чтобы выделить определенное решение, надо задать дополнительное условие

(2.1)

Геометрически это означает задание точки (t_o, x_o), через которую должна проходить интегральная кривая.

Вопросы существования решений в теории дифференциальных уравнений занимают особенно важное место. Существуют различные теоремы, приводящие достаточные условия существования и единственности решений дифференциальных уравнений. Приведем наиболее простую формулировку таких достаточных условий.

Теорема 1 (Коши). Если функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D переменных t, x, содержащей точку ( t_o, x_o), то существует единственное решение этого уравнения х=φ(t), удовлетворяющее условию x(t_o)=x_o.

Условие x(t_o) = x_o называется начальным условием, а задача отыскания решения дифференциального уравнения (1.1), удовлетворяющего начальному условию – начальной задачей или задачей Коши.

При этом непрерывность функции обеспечивает существование решения, а непрерывность частной производной – единственность такого решения.

Геометрически теорема существования и единственности означает, что через каждую точку области проходит одна и только одна интегральная кривая, целиком принадлежащая области D.

Пример 1. В уравнении функция непрерывна во всех точках плоскости t,x и , следовательно, через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая.

Пример 2. В уравнении

( в данном примере у = у(х) - функция, зависящая от х и подлежащая отысканию ) функция непрерывна на всей плоскости XOY, но не ограничена в начале координат, поэтому решений данного уравнения проходящих через точку (0,0) существует бесконечно много. Любая функция вида , где с – const, является решением данного уравнения. Кроме того, уравнение имеет очевидное решение . Таким образом, через каждую точку оси ОХ проходит, по крайней мере, две интегральные кривые, т.е. нарушается единственность.

Пример 3. Задача Коши

, у (0)=2

не имеет решения, так как не является непрерывной в точке (0,2).