![](/user_photo/14845_E12Et.png)
Отчёт по лабораторной работе №3 по дисциплине «Программная инженерия управляющих систем»
|
выполнили студенты группы ПИН – 41 Бордюжа Якупова Москвитина Доникян Карасева Печенова Тиховский Рыжов Семенов Гончаров Камбулов Козлов Илларионов
Задания Задание 1
Решение
Стандартный генератор случайных чисел выдает квазинезависимую последовательность чисел, равномерно распределенную в диапазоне от [0, 1]. Для U[0,1]:
Так
как, по условию, математическое ожидание
у
Перейдем теперь к распределению U[-0,5 , 0,5]:
По
условию,
Форма распределения такого сигнала остается равномерной, а отсчеты по-прежнему квазинезависимые. В
итоге, последовательность данных
операций привела нас от равномерного
распределения U[0,1] к равномерному
распределению
Гистограмма для сигнала соответствует равномерному распределению. Границы
изменений флуктуаций для сигнала
это
параметры
Задание 2
Решение Сигнал
Согласно центральной предельной теореме сигнал стремится к нормальному распределению.
Здесь мы воспользовались теоремой сложения математических ожиданий, которая гласит, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
На основе свойства
дисперсии : = 1/9 D[
На основе того, что случайные величины независимы, дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий . Т.к. стремится к нормальному распределению, можно воспользоваться правилом трёх сигм, которое гласит, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания больше чем на три среднеквадратических отклонения, практически равна нулю. Из этого правила и вытекают границы флуктуации [-3;+3]. Гистограмма напоминает нормальный закон распределения. |
Задание 3
Решение “Гауссовость” сигнала
вытекает из центральной предельной
теоремы, которая гласит, что сумма n
независимых одинаково распределённых
случайных величин имеет распределение
близкое к
«Белый шум» сигнала можно объяснить тем, что независимые равномерно распределенные случайные значения сигнала перешли в независимые нормально распределенные случайные значения. То есть «белошумность» это следствие изначальной независимости случайных величин. |
Задание 4
Решение
Сигнал
на
выходе динамического объекта ”Сглаживание
и усиление”, являющегося апериодическим
звеном 1- порядка, можно описать
дифференциальным уравнением 1-го порядка:
где x(t), y(t) - входной и выходной сигналы, Т1 - постоянная времени, k-статический коэффициент усиления. Такое уравнение решается методом разделения переменных, причем результат описывает затухающий переходной процесс с постоянной времени Т1:
В случае подачи на вход белого “гауссовского” шума стационарный участок выходной функции y(t) обладает экспоненциальной ковариационной функцией.
При моделировании алгоритма формирования «окрашенного» сигнала на ЭВМ от исходных дифференциальных уравнений переходят к разностной форме путем замены
dy на
y,
dt на t,
T= Т1 / t,
y[n]=y[n] - y[n-1]
После соответствующих подстановок получаем рекуррентное соотношение алгоритма расчета для выходной реализации «окрашенного» сигнала:
Нетрудно заметить что первое слагаемое указывает на влияние взаимосвязи со значением выходного сигнала в другом временном срезе, а второе слагаемое - ответ на очередное возмущение на входе.
Применительно к уравнению свертки
весовая функция для апериодического звена
Весовая функция обеспечивает сохранение неизменным лишь среднего значения сигнала, проходящего через динамический объект; сам сигнал, точнее его форма, и другие характеристики претерпевают определенные изменения. Значение выходного сигнала в каждый момент времени определяется взвешенными значениями прошлых величин входного сигнала, причем само взвешивание происходит как раз весовой функцией объекта, развернутой для этого назад.
Таким образом, на основании вышесказанного, x3(t) в каждый момент времени в большой степени зависят от прошлых величин входного сигнала, выходной сигнал от этого становится более сглаженным и разреженным. И с более “нормальным” распределением.
Кроме
того, при подаче на вход нашего
динамического звена сигнала с (уже)
нормальным законом распределения
(белого гауссовского шума), то такое
звено (апериодическое звено 1-го порядка)
изменяет лишь параметры, но не вид закона
распределения, который остается
нормальным. В случае подачи динамического
звена сигнала с равномерным сигналом
x
происходит
еще изменение вида распределения с
равномерного на нормальный.
Установление
требуемого параметра
(нормализация) осуществляется путем
подбора коэффициента усиления, который
в случае динамического объекта имеет
вид
Установление
требуемого параметра
осуществляется путем центрирования
сигнала. Это делается для упрощения
(1)
которое при центрировании преобразуется в более простой вид
Заметим также, что попытка использования
соотношения (1) без предварительного
центрирования сигнала «приподнимает»
график функции
на величину
.
На практике появление такой «подставки»
явно свидетельствует о недоработанности
методики.
Гистограммы сигнала
x
имеют
вид близкий к виду по закону нормального
распределения (“гауссовский”), что
говорит о том, что при подаче на вход
сигнала с равномерным распределением,
на выходе динамического объекта получаем
сигнал с нормальным распределением, а
при подаче белого “гауссовского” шума,
вид распределения не меняется (остается
нормальным) изменяется только форма
сигнала и его параметры.
Как уже упоминалось, динамический объект имеет явно сглаживающее воздействие на входные сигналы, уменьшая их флуктуацию. Это явно заметно при сравнении гистограммы x и x ( при подключении на вход динамического объекта x ). Для x мы наблюдаем почти равномерный разброс значений амплитуд по ординате, а для x максимум в 0 ординате и значительное снижение по бокам от 0 ординаты. Причем значение снижается тем более, чем далее от 0 ординаты. Это свидетельствует о нормальном распределении.
Хотя динамический объект и не меняет
нормального закона распределения)
входящего гауссовского белого шума x
( при соответствующем переключении), но
на гистограмме мы наблюдаем более
“гауссовскую” кривую гистограммы x
в сравнении с x
Окрашенный шум полученный из Гауссового шума обладает теми же статистическими параметрами, что и шум полученный из равномерного. Но он более разреженный.