Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

Подстановка в это выражение числовых значений m, e и h дает величину, хорошо согласующуюся с экспериментальным значением постоянной Ридберга (2.13). Индекс при R в (2.28) означает, что эта величина получена в предположении, что масса ядра весьма велика, и ядро при движении электрона неподвижно.

Учет конечности массы ядра приводит к тому, что массу m электрона в (2.28) следует заменить на приведенную массу системы электрон–ядро: mM/(m M), где М — масса ядра. Тогда

Как видим, постоянная Ридберга зависит и от массы ядра. Для атома водорода, ядром которого является протон, формула (2.29) дает значение, более точно совпадающее с экспериментальным.

Приведенная на рис. 2.7 система энергетических уровней помогает наглядно представить спектральные серии Лаймана, Бальмера и др. как группы переходов между соответствующими уровнями. Эти переходы изображены на рисунке вертикальными стрелками.

Систему энергетических уровней атома принято называть и иначе — системой термов. Терм T — это величина, определяемая согласно (2.16) и (2.25) как

где R — постоянная Ридберга. В отличие от энергии En, терм — величина положительная, и чем ниже уровень, тем больше его значение. Терм имеет ту же размерность, что и частота , т. е. c–1. Соответствующая частота фотона, испущенного при переходе атома из состояния с квантовым числом n1 в состояние с квантовым числом n2, определяется формулой

Формулы (2.15) и (2.28) позволяют записать выражение для энергии связи (энергии ионизации) водородоподобной системы в основном состоянии в более удобном виде:

Пример. Найдем энергию связи электрона в основном состоянии водородоподобных ионов, в спектре испускания которых длина волны третьей линии серии Бальмера 3 108,5 нм.

Искомая энергия определяется формулой (2.31). В данном случае Z неизвестно. Для его нахождения воспользуемся тем, что частота третьей линии серии Бальмера

Частота 3 связана с длиной волны 3 формулой 3 2 c/ 3. Поэтому из (1) следует, что

Попутно из формулы (2) можно найти, что Z 2, т. е. мы имеем дело с ионом He+.

Магнитный момент атома водорода. Пусть электрон движется со скоростью v по орбите радиусом r (рис. 2.8). Через площадку, пересекающую орбиту электрона, перено-

сится ежесекундно заряд e , где e — заряд электрона, — число оборотов электрона вокруг ядра в секунду. Следовательно, движущийся по орби-

те электрон образует круговой ток I e . Поскольку заряд электрона отрицателен, направление движения электрона противоположно направлению тока.

Магнитный момент такого тока (в гауссовой системе) по определению равен IS/с, или

e r2/c. Учитывая, что 2 r v, перепишем предыдущее выражение в виде

erv . 2c

Остается учесть, что момент импульса электрона M rmv, и мы получим:

где знак минус указывает, что направления обоих моментов, m и M, взаимно противоположны.

Вектор M называют орбитальным моментом электрона. Он образует с направлением движения электрона правовинтовую систему (см. рис. 2.8).

Отношение магнитного момента частицы к ее механическому моменту называют гиромагнитным отношением. Для электро-

M2mc

Воспользовавшись боровским правилом квантования момента импульса, т. е. формулой (2.18), перепишем (2.33) в виде

Таким образом, при движении электрона по первой боровской орбите (n 1) его магнитный момент равен одному магнетону Бopa. В дальнейшем мы увидим, что это резко расходится с экспериментом, значит, полученный результат оказывается совершенно неверным. И тем не менее, мы привели формулы, связывающие магнитный момент с механическим, поскольку они послужат основой для получения правильных результатов (см. § 7.1).

Недостатки теории Бора. Теория Бора явилась крупным шагом в развитии теории атома, в понимании новых квантовых закономерностей, с которыми столкнулась физика при изучении явлений микромира. Эта теория отчетливо показала неприменимость законов классической физики для описания внутриатомных явлений.

Теория Бора стимулировала постановку многих экспериментов, принесших важные результаты. Даже в тех многочисленных случаях, когда теория не могла дать количественное объяснение явлений, два постулата Бора служили руководящей нитью при классификации и количественной интерпретации этих явлений.

Однако двух постулатов Бора недостаточно для построения полной теории. Они должны быть дополнены правилами квантования. Эти правила, достаточно искусственно введенные Бором для одноэлектронного атома, радикально проблемы не решили. Их не удалось распространить даже на простейший после водорода атом гелия, содержащий два электрона. Кроме того, теория Бора позволила вычислить только частоты спектральных линий, но не их интенсивность.

Основной же, принципиальный недостаток теории Бора — это ее непоследовательность: она не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой. Эта теория принимала существование стационарных состояний атома, что совершенно непонятно с точки зрения классической физики. И вместе с тем к движению электронов в стационарных состояниях она применяла законы классической механики, хотя и считала неприменимой классическую электродинамику (поскольку нет излучения).

Итак, планетарную модель атома нельзя считать серьезной теорией. Она просто неверна. Тот факт, что эта модель приводит к очень хорошим результатам в случае атома водорода (при расчете некоторых величин), по существу случайный. Этот успех явился мощным толчком к развитию квантовой теории атома. Сам Бор рассматривал свою теорию как промежуточный этап в поисках верной теория. Такой последовательной теорией явилась квантовая физика.

Задачи

2.1.Лобовое столкновение. Нa какое минимальное расстояние приблизится -частица с кинетической энергией K к первоначально покоившемуся ядру 7Li при лобовом столкновении?

Р е ш е н и е. Система -частица — ядро предполагается замкнутой, поэтому в процессе сближения будут сохраняться как ее им-

Здесь слева записана энергия -частицы вдали от ядра, а справа — при максимальном сближении с ядром.

Из формул (1) и (2) приходим к квадратному уравнению относительно rмин:

где учтено, что согласно (2.1) qq0/2bK tg( /2). В окончательном виде (4) запишем так:

2.3.Формула Резерфорда. Узкий пучок протонов, скорость которых v 6 106 м/с, падает нормально на серебряную (Z 47) фольгу толщиной d 1,0 мкм. Найти вероятность рассеяния протонов в заднюю полусферу ( > 90!). Плотность серебра ( 10,5 г/см3.

Р е ш е н и е. Искомая вероятность P равна относительному числу протонов, рассеянных в заднюю полусферу:

где правая часть этой формулы записана согласно (2.9), причем

# — эффективное сечение, соответствующее рассеянию под углами > 90!. Это сечение # b02, где b0 — прицельный параметр, при котором 0 90!. Ясно, что все протоны с прицельным параметром, меньшим b0, рассеятся под углами > 0.

Используя формулу (2.1), получим:

на единицу поверхности фольги n n0d, где n0 — концентрация ядер (их число в единице объема). После подстановки полученных выражений в (1) находим, что

P n0dZe2/mv2 0,006.

Здесь n0 NA (d/M, NA — постоянная Авогадро, М — молярная масса серебра.

2.4.Узкий пучок -частиц с кинетической энергией K 0,60 МэВ падает на золотую фольгу, содержащую n 1,1 · 1019 ядер/см2.

Найти относительное число -частиц, рассеивающихся под углами < 0, где 0 20!.

Р е ш е н и е. Непосредственно использовать формулу Резерфорда для этого интервала углов мы не можем, поскольку для углов, меньших порядка 3! она, как было сказано ранее, несправедлива. Поэтому искомую величину представим так:

N

N

1 – n ( 0) 1 – n b02, (1)

где b0 — прицельный параметр, соответствующий углу рассеяния0. Величину b0 находим с помощью формулы (2.1):

Подстановка (2) в (1) дает

2.5. Классическое время жизни атома. Оценить промежуток времени

), за который электрон, движущийся вокруг ядра атома водорода (протона) по окружности радиуса r0 0,53 · 10–8 см, упал бы на ядро из-за потери энергии на излучение.

Р е ш е н и е. Для простоты будем считать, что в любой момент падения на ядро электрон движется равномерно по окружности. Тогда, согласно 2-му закону Ньютона, mv2/r e2/r2, откуда кинетическая энергия

и полная энергия электрона в поле ядра

В соответствии с классической электродинамикой, потеря энергии заряженной частицы на излучение в единицу времени опреде-

2.6.Квантование. Частица массы m движется по круговой орбите в центрально-симметричном поле, где ее потенциальная энергия зависит от расстояния r до центра поля как U kr2/2, k — постоянная. Найти с помощью боровского условия квантования возможные радиусы орбит и значения полной энергии частицы в данном поле.

где cправа написана проекция силы на нормаль n к траектории. Согласно правилу квантования (2.18) имеем:

Из этих двух уравнений находим возможные значения r:

Возможные значения полной энергии

где приняты во внимание формулы (2) и (3).

2.7.Атом водорода. Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Найти:

а) скорость отдачи, которую получил атом;

б) отношение кинетической энергии атома отдачи к энергии испущенного фотона.

Р е ш е н и е. а) В этом процессе атом приобрел импульс p, равный импульсу вылетевшего из него фотона:

Кроме того, энергия возбуждения E* атома распределилась между энергией фотона и кинетической энергией атома, испытавшего отдачу:

E* h p2/2m,

где E* hR (1 – 1/22) (3/4) hR.

Из этих трех формул находим

m v 2 mcv 3 R 0,

24

откуда следует, что скорость отдачи атома

v 3 R 3,27 м/с, 4 mc

здесь m — масса атома.

б) Искомое отношение с учетом (*) равно

т. е. оказывается величиной чрезвычайно малой, и поэтому энергией отдачи атома, как правило, пренебрегают.

2.8.Водородоподобная система. При каком наименьшем значении приращения внутренней энергии иона Не+, находящегося в основном состоянии, он смог бы испустить фотон, соответствующий головной линии серии Бальмера?

Р е ш е н и е. Из рис. 2.7 следует, что для этого ион необходимо возбудить на уровень с n 3. Именно в этом случае может быть испущен указанный фотон (при переходе с n 3 на n 2).

2.9. У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана 59,3 нм?

Р е ш е н и е. Запишем выражение для частот этих линий. Согласно (2.26) и (2.27) имеем:

Это двукратно ионизированный атом лития, Li++.

2.10.Энергия связи электрона в атоме Не равна E0 24,6 эВ. Найти минимальную энергию, необходимую для последовательного удаления обоих электронов из этого атома.

Р е ш е н и е. На первый взгляд кажется, что это 2Е0. Но это не так. После удаления первого электрона оставшийся оказывается в кулоновском поле ядра, а значит его энергия связи станет больше, и потребуется большая энергия для удаления второго электрона. Таким образом, искомая энергия

Eмин E0 hRZ2 24,6 54,5 79 эВ.

Здесь величина hRZ2 — это энергия связи электрона в основном состоянии иона He+.