4. Численные методы позволяют получить таблицу приближенных значений искомой функции для ряда заранее выбранных значений ее аргумента.

На практике чаще всего применяются численные методы: они просты в использовании и не имеют ограничений.

Задача решения ОДУ 1-го порядка (задача Коши) формулируется следующим образом:

Найти y = y(x), удовлетворяющую уравнению y’ = f(x,y), для x [a,b] при заданном начальном условии y(a) = y0.

Рассмотрим численные методы решения этой задачи.

5.1. Метод Эйлера (Метод Рунге-Кутта 1-го порядка)

Заменим в уравнении y’ в точке xi её приближенной оценкой – отношением приращений (это следует из определения производной):

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода Эйлера (рис.3). В координатах (x, y) отобразим известные данные: отрезок [a, b] на оси Х и начальное условие y0 – точка А с координатами (a, y0). Отрезок [a, b] разобьем на n равных частей, получим узлы равномерной сетки a = x0, x1, x2, … , xn = b. Вычислим значения первой производной искомой функции в точке А, используя координату этой точки и исходное уравнение

y (x0) f (x0,y0) tgα0.

Полученное значение позволяет построить касательную к искомой функции в точке А. Эту касательную можно использовать для вычисления

24

приближенного значения искомой функции в новом узле х1 (кривую y(x) заменяем отрезком АВ на элементарном отрезке [x0, x1]).

1.На каждом шаге есть погрешностьД(на рисункеИэто отрезок BD). Погрешность тем больше, чем большеАшаг.

2.Ошибка может накапливаться. Для практического выборабh с целью обеспечения заданной точностишенной ифункциирешения

5.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2-го порядка)

Для повышения точности формула Эйлера применяется дважды на каждом элементарном отрезке: сначала для вычисления значения функции в

середине отрезка y, затем это значение используется для вычисления тангенса угла наклона касательной к графику искомой функции в середине отрезка.

25

5.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

На практике наибольшее распространение получил метод Рунге-Кутта 4-го порядка, в котором усреднение проводится по трём точкам, формула Эйлера на каждом отрезке используется 4 раза: в начале отрезка, дважды в его середине и в конце отрезка.

Расчетные формулы метода для решения обыкновенного дифференциального уравнения имеют вид

27

6.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД РУНГЕ-КУТТА 4-го ПОРЯДКА ДЛЯ СИСТЕМЫ ОДУ 1-го ПОРЯДКА

Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка:

28

7.ОПТИМИЗАЦИЯ В СТРУКТУРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ САПР

Впроцессе проектирования решаются задачи структурного и параметрического синтеза объекта проектирования. Если в результате анализа обнаруживается, что проектное решение в некотором смысле является неудовлетворительным, то существует возможность улучшить его, возвратившись к решению задач структурного и параметрического синтеза. Анализ, таким образом, позволяет получить информацию, необходимую для выполнения процедур синтеза в итерационном процессе проектирования [1].

Проектирование начинают со структурного синтеза, результатом которого являются принципиальные решения, например облик летательного аппа-

рата. Далее выполняют процедуры параметрического синтеза, т.е. тем или иным образом определяют параметры элементовИпроектируемого объекта, их геометрические размеры, материал и т.д. Как правило, после завершения процедур структурного и параметрическогоДсинтеза принятые проектные решения не признаются окончательными, но делается попытка улучшить их

путем структурной и (или) параметрической оптимизации. Ставится задача поиска такой структуры и (или) значенийАпараметров объекта проектирования, которые доставляют экстремальные значения одному или нескольким критериям оптимальности объектаб[1, 2].

Число оптимизируемых параметров может меняться в широких пределах. Следует избегать большогоичисла этих параметров (более нескольких десятков), поскольку это, во-первых, делает задачу оптимизации сложной и ресурсоемкой, а Сво-вторых, затрудняет анализ результатов оптимизации. Оптимизируемые параметры могут меняться непрерывно или дискретно. Как правило, первая ситуация имеет место при параметрической оптимизации, а вторая − при структурной [1, 2].

Задача оптимизации состоит из следующих компонентов:

−Критерий оптимальности (целевая функция).

−Множество допустимых решений.

Критерий оптимальности (целевая функция) – это числовая функция одного или нескольких переменных проектирования, которая позволяет сравнивать множество альтернативных решений и выбирать наилучшее.

Множество допустимых решений (множество допустимых значений параметров) – это область, определяемая всеми возможными значениями параметров проектирования. Как правило, определяется линейными и (или) нелинейными равенствами и(или) неравенствами. Если целевая функция содержит один проектный параметр, то рассматривается задача одномерной оптимизации. Если целевая функция содержит более одного проектного параметра, то рассматривается задача многомерной оптимизации. Если задача

29

оптимизации содержит более одной целевой функции, то называется многокритериальной. Задача оптимизации может представлять собой как задачу минимизации, так и задачу максимизации критериев оптимальности.

Виды задач оптимизации:

1. Задача безусловной оптимизации

F(X ) opt(min, max)

X D;

n

D R ,

где F(X) – целевая функция; Х – вектор внутренних (проект) параметров; D

– область допустимых значений; Rn – n-мерное пространство действитель-

Задачу условной оптимизации также называют задачей математического

Z n n мерное пространство целых чисел.

− Задача нелинейного программирования.

Целевая функция F(X ) и ограничения

(X ) 0, ψ(X) 0 нелинейные функции.

30