Переводим шифр частот в числа, сумма которых должна быть равна объему данной выборки,

т. е. В резуль­тате получается интервальный вариационный ряд.

Срединные значения классов, приведенные в табл. 7, полу­чены прибавлением к нижним границам классов ½ классово­го интервала — величины, равной, т. е., по формуле (3),и т. д. Таким образом, интервальный вариационный ряд превращен в ряд безынтервальный.

Пример 3. В результате учета яйценоскости 80 кур, содер­жащихся на птицеферме, было установлено, что

признак варь­ирует от 208 до 250 яиц, полученных от несушки за 1 год. Оп­ределяем классовый интервал:

Так как классовый интервал не равен единице, результаты на­блюдений нужно распределять в интервальный вариационный ряд, несмотря на то что признак варьирует дискретно. Уста­навливаем нижнюю границу первого класса:205.

Намечаем классовые интервалы:, Уменьшаем верхние границы классов на единицу:

Дальнейшие действия, относя­щиеся к построению вариационного ряда, понятны из предыду­щих примеров.

Графики вариационных рядов. Для того чтобы более на­глядно представить закономерность варьирования количествен­ных признаков, вариационные ряды принято изображать в ви­де графиков. Так, при построении графика безынтервального ва­риационного ряда по оси абсцисс откладывают срединные зна­чения классов, по оси ординат — частоты. Высота перпендику­ляров, восставляемых по оси абсцисс, соответствует частотам классов. Соединяя вершины перпендикуляров прямыми линия­ми, получают геометрическую фигуру в виде многоугольника, называемую полигоном распределения частот. Линия, соеди­няющая вершины перпендикуляров, называется вариационной кривой или кривой распределения частот вариационного ряда (рис. 1).

При построении графика интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладывают границы классовых интервалов, по оси ординат — частоты интервалов. В результате получается

Рис. 1. Полигон распределения

чис­ленности поросят в 64 опоросах

свиноматок

Рис. 2. Гистограмма распреде­ления кальция (мг%) в сыво­ротке крови обезьян

гистограмма распределения кальция в сыворотке крови обезьян. Если из середин верхних сторон прямоугольни­ков гистограммы опустить перпендикуляры на ось абсцисс, гистограмма превращается в полигон распределения, а линия, соединяющая середины верхних сторон прямоугольников гисто­граммы, будет представлять собой вариационную кривую.

Если по оси абсцисс откладывать значения классов, а по оси ординат — накопленные частоты с последующим соединени­ем точек прямыми линиями, получается график, называемый кумулятой. На рис. 3 изображенакумулята распределения кальция в сыворотке крови обезьян. В отличие от вариацион­ной кривой, имеющей куполообразную форму, кумулята имеет вид S-образной кривой. Накопленные частоты находят последо­вательным суммированием, или кумуляцией (от лат. cumulatio — увеличение, скопление) частот в направлении от первого класса до конца вариационного ряда. В данном случае частоты ряда распределения кальция в сыворотке крови обезьян куму­лированы следующим образом:

Откладывая по оси абсцисс частоты, а по оси ординат — значения классов с последующим соединением геометрических точек прямыми линиями, как это показано на рис. 4, получают линейный график, называемый огивой.

По сравнению с эмпирическими вариационными кривыми, которые выглядят обычно в виде ломаных линий, кумулята и огива имеют более обтекаемую форму. Эта особенность позво­ляет в ряде случаев отдавать предпочтение этим графикам пе­ред эмпирической вариационной кривой.

Рис. 3. Кумулята распределения каль­ция (мг%)

в сыворотке крови обезь­ян

Рис. 4. Огива распределения кальция (мг %)

в сыворотке крови обезьян

Центральная точка кумуляты совпадает с центром распределения совокупности, что дает возможность использовать ее при определении, например, средних доз биологически активных веществ, вызывающих эф­фект у 50% подопытных индивидов. Огива позволяет сравни­вать друг с другом одновременно несколько эмпирических рас­пределений неравного объема.

Следует заметить, что неумелое построение графиков при­водит к тому, что последние получаются либо в виде островер­шинных геометрических фигур с узким основанием, либо плос­ковершинными, чрезмерно растянутыми по оси абсцисс. В обо­их случаях графики оказываются плохо обозримыми, нечетко отображающими закономерность варьирования.

Тема № 2.Показатели вариации.

Цель– изучить показатели вариации.

Задачи.Размах вариации Дисперсия и ее свойства,. Среднее квадратическое отклонение. Поправка Шеппарда.Коэффициент вариации.Нормированное отклонение t. Структурные средние и способы их вычисления. Медиана (Me). Мода (Мо). Квантили.

Краткое содержание. Средние величины не являются универсальными характери­стиками варьирующих объектов. При одинаковых средних при­знаки могут отличаться по величине и характеру варьирования. Поэтому наряду со средними для характеристики варьирующих признаков используют и показатели вариации. Одним из таких показателей являются лимиты (от лат.—предел), обозна­чаемые символомВ биометрии под этим термином понима­ют значения минимальнойи максимальнойвариант совокупности.

Размах вариацииЭто показатель, представляющий собой разность между максимальной и минимальной вариантами со­вокупности, т. е.Чем сильнее варьирует признак, тем больше размах вариации, и, наоборот, чем слабее вариация признака, тем меньше будет размах вариации.

Лимиты и размах вариации — простые и наглядные характе­ристики варьирования, однако им присущи существенные недо­статки: при повторных измерениях одного и того же группового объекта они могут значительно изменяться; кроме того, они не отражают существенные черты варьирования, что можно пока­зать на следующем примере.

Возьмем два ряда распределения с одним и тем же весом входящих в их состав вариант, равным единице:

По числу вариант, лимитам и размаху вариации эти

ряды не отличаются друг от друга; их средние также равны между собой. Отличает их друг от друга характер варьирова­ния, но эта особенность никак не отражается на лимитах и раз­махе вариации.

Более удобной характеристикой вариации мог бы служить показатель, который строится на основании отклонений вариант от их средней, т. е.Сумма таких отклонений, взя­

тая без учета знаков и отнесенная к числу наблюдений п, назы­вается средним линейным отклонением. Так, если взять суммы отклонений вариант от их средней для первогои второгоприведенных здесь рядов, то полу­чаются следующие результаты:

Отсюда=100/9—11,1 и=48/9=5,3. Таким образом, в пер­вом случае варьирование сильнее, чем во втором.

Дисперсия и ее свойства,. Несмотря на явное преиму­щество среднего линейного отклонения перед лимитами и раз­махом вариации, этот показатель не получил широкого приме­нения в биометрии. Наиболее подходящим оказался показатель, построенный не на отклонениях вариант от их средних, а на квадратах этих отклонений, его называют дисперсией (от лат. dispersio — рассеяние¹) и выражают формулами

или

где— знак суммирования произведений отклонений ва­риантот их среднейна веса или частотыэтих отклоне­ний в пределах от первого до k-то класса; п — общее число на­блюдений. Индекс х у символа дисперсии обозначает, что этот показатель характеризует варьирование числовых значений признака вокруг их средней величины.

Ценность дисперсии заключается в том, что, являясь мерой варьирования числовых значений признака вокруг их средней арифметической, она измеряет и внутреннюю изменчивость зна­чений признака, зависящую от разностей между наблюдениями. Преимущество дисперсии перед другими показателями вариа­ции состоит также и в том, что она разлагается на составные компоненты, позволяя тем самым оценивать влияние различных факторов на величину учитываемого признака.

Вместе с тем установлено, что рассчитываемая по формуле (13) дисперсия оказывается смещенной по отношению к своему генеральному параметру на величину, равную п/(п—1). Чтобы получить несмещенную дисперсию, нужно в формулу (13) вве­сти в качестве множителя поправку на смещенность, называе­мую поправкой Бесселя. В результате формула (13) преобразу­ется следующим образом:

Разность п—1, обозначаемую в дальнейшем строчной буквой латинского алфавита k, называют числом степеней свободы,подкоторым понимают число свободно варьирующих единиц в со­ставе численно ограниченной статистической совокупности.

Так, если совокупность состоит из л-го числа членов и ха­рактеризуется средней величиной, то любой член этой сово­купности может иметь какое угодно значение, не изменяя при этом среднюю, кроме одной варианты, значение которой опре­деляется разностью между суммой значений всех остальных вариант и величиной, Следовательно, одна варианта числен­но ограниченной статистической совокупности не имеет свободы вариации. Отсюда число степеней свободы для такой совокуп­ности будет равно ее объему п без единицы, т. е. k—n—1. А при наличии не одного, а нескольких ограничений свободы ва­риации число степеней свободы вариации будет равно, где(греческая буква ню) обозначает число ограничений сво­боды вариации.

Дисперсия обладает рядом важных свойств, из которых не­обходимо отметить следующие.