![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных
- •§ 1. Определение производной. Ее механический и геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •§ 2. Дифференцируемые функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная сложной функции
- •§ 3. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •§ 4. Дифференциал функции, его вычисление
- •§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§ 7. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
§ 6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Познакомившись в предыдущих параграфах с техникой дифференцирования функций, займемся теперь изучением связи между свойствами производной и свойствами функции. При этом будут существенно использоваться несколько теорем, называемых основными теоремами дифференциального исчисления или основными теоремами о дифференцируемых функциях. Поэтому сначала докажем их.
Теорема
1 (Ферма). Пусть функция
определена на промежуткеХ
и во внутренней
точке
этого промежутка
принимает наибольшее или наименьшее
значение. Тогда, если в точке
существует конечная
производная, то она равна нулю, то есть
.
Доказательство.
Рассмотрим
случай, когда
–
наибольшее значение функции
на промежуткеХ.
Тогда
для всех
.
По определению
.
Если
справа, то
.
Если
слева, то
.
Таким образом, одновременно должно быть
и
,
что возможно только тогда, когда
.
Случай,
когда
–
наименьшее значение функции
на промежуткеХ,
рассматривается аналогично.
Т
Геометрический смысл теоремы Ферма
состоит в том, что в точке с абсциссой
Заметим, что в доказательстве теоремы
существенно использовался тот факт,
что точка
касательная к кривой
,
если она существует, параллельна осиОх.
–
внутренняя, поскольку рассматривались
точких и правее, и левее точки
.
у
О а
b х
Пьер
Ферма (1601-1665) занимался математикой на
досуге, работая в Тулузе (Франция)
юристом. Вместе с Паскалем является
основателем математической теории
вероятностей. Занимался также геометрией
и теорией чисел. Наиболее известна
«великая теорема Ферма», которая
утверждает, что уравнение
для
не имеет решений при натуральных
значениях
.
Доказана эта теорема только в 1994 году.
Следующая теорема принадлежит Мишелю Роллю (1652-1719), французскому математику.
Теорема 2 (Ролля). Пусть функцияопределена на отрезке
,
причем:
1)
непрерывна на
;
2) в интервале
существует конечная производная
;
3)
.
Тогда в интервале
найдется точкас такая, что
.
Доказательство. Посколькунепрерывна на отрезке
,
то по 2-ой теореме Вейерштрасса она
принимает на
свое наибольшее значениеМ и
наименьшее значениеm.
Возможны два случая:
1) М =m, т.е.для всех
.
Тогда
для всех
и в качествес можно взять любую
точку из
.
2)
.
Поскольку
,
то хотя бы одно из значенийМ илиm функция принимает
в интервале
,
т.е. в некоторой точке
.
Так как по условию
существует, то по теореме Ферма
.
Теорема доказана.
у
Геометрически теорема Ролля означает,
что если непрерывная кривая является
графиком дифференцируемой функции, то
между двумя точками кривой, имеющими
одинаковую ординату, всегда найдется
точка, в которой касательная параллельна
оси Ох.
О а
b х
Теорема3 (Лагранжа). Пусть функцияопределена на отрезке
,
причем:
1)
непрерывна на
;
2) в интервале
существует конечная производная
.
Тогда существует точка
,
такая, что
.
(6.1)
Доказательство.Рассмотрим навспомогательную функцию
.
Каждая из функций в правой части
непрерывна на
,
дифференцируема в
,
поэтому и
удовлетворяет этим же условиям. Кроме
того,
,
т.е.
.
Таким образом, функция
удовлетворяет условиям теоремы Роля,
поэтому по этой теореме найдется точка
такая, что
,
т.е.
,
откуда
.
Теорема доказана.
Формула (6.1) называется формулой Лагранжа. Ее часто используют в виде
.
(6.2)
Выясним геометрический смысл формулы Лагранжа.
у
Рассмотрим дугу АВ кривой
и секущуюАВ. Ясно, что
,
где
−
угол между секущейАВ и осьюОх.
Из геометрического смысла производной
следует, что
,
где
−
угол между касательной к кривой в точке
и осьюОх. Из формулы Лагранжа
следует, что
,
т.е. на дугеАВ есть точка, в которой
касательная параллельна секущейАВ.
В
f(b)-f(a)
A
О а b
x
Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) родился в Турине в итало-французской семье. В 19 лет стал профессором математики артиллерийской школы в Турине. В 1766 году был приглашен Фридрихом II в Берлин, написавшим в приглашении, что «необходимо, чтобы величайший геометр Европы проживал вблизи величайшего из королей». В 1786 году после смерти Фридриха II переехал в Париж. Занимался вариационным исчислением, алгеброй, теорией чисел, математическим анализом, небесной механикой.
Замечание.Теорема Ролля является
частным случаем теоремы Лагранжа., когда(секущая параллельна осиОх).
Рассмотрим теперь не весь отрезок
,
а его часть
,
где
.
Применим к отрезку
формулу Лагранжа:
,
где
.
Можно записать
,
где
.
(достаточно положить
).
Тогда получим формулу
,
называемуюформулой конечных
приращений.Эта формула устанавливает
точное выражение для приращения функции
при любом конечном значении приращения
,
в отличие от приближенной формулы
,
в этих формулах в разных точках вычисляются
значения производной.
Так как мы не знаем, чему равно с,
то и значение,
как правило, нам неизвестно. Тем не
менее, полученная формула находит
большое применение в теоретических
исследованиях.
Теорема 4 (Коши). Пусть на отрезкезаданы функции
и
,
причем:
1)
и
непрерывны на
;
2) в интервале
существуют производные
и
,
.
Тогда существует точка
такая, что
.
Эта формула называется формулой Коши.
Доказательство. Заметим сначала,
что формула имеет смысл. Действительно,по условию. Кроме того,
,
так как в противном случае было бы
и по теореме Роля нашлась бы точка в
интервале
,
в которой
обратилась бы в нуль, а это невозможно
по условию.
Рассмотрим вспомогательную функцию
.
Эта функция удовлетворяет условиям
теоремы Роля: непрерывна на
,
дифференцируема в
,
.
Поэтому найдется точка
такая, что
,
т.е.
,
откуда
.
Теорема доказана.
Замечания. 1) Теорема Лагранжа
является частным случаем теоремы Коши
при.
2) Теоремы Роля, Лагранжа и Коши называют теоремами о средних значениях, поскольку в них идет речь о значениях производных при средних значениях аргумента (а иb – крайние,с – среднее значения). При этом теорему Коши часто называют обобщенной теоремой о среднем значении.