![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 3. Неопределенный интеграл
- •§ 1. Первообразная функция, неопределенный интеграл, его основные свойства
- •§ 2. Интегрирование методом замены переменной и по частям
- •§ 3. Интегрирование рациональных функций
- •§ 4. Интегрирование иррациональных функций
- •§ 5. Интегрирование тригонометрических функций
§ 4. Интегрирование иррациональных функций
В предыдущем параграфе мы установили,
что интеграл от любой рациональной
функции выражается через элементарные
функции. Поэтому в дальнейшем при
вычислении интегралов от функций других
классов мы будем разыскивать такие
подстановки
,
которые данное подынтегральное выражение
преобразуют в рациональное относительно
новой переменнойt.
Такой прием называетсярационализацией
подынтегрального выражения. Вычислив
интеграл от полученной рациональной
функции и выполнив обратную подстановку,
получим выражение первоначального
интеграла через элементарные функции.
1. Интегрирование выражений вида
.
В дальнейшем условимся буквой R
обозначать рациональную функцию
своих аргументов. Например,– рациональная функция отх иу.
Подставив в
вместоувыражение
,
получим иррациональную функцию отх.
Интеграл от нее имеет вид
.
Этот интеграл сводится к интегралу от
рациональной функции с помощью подстановки
.
Если под знаком интеграла содержатся
корни с разными показателями, но с одним
и тем же дробно-линейным относительно
хвыражением, то сначала следует
привести их к одному показателю, а затем
применить указанную выше подстановку.
Именно,,
гдеm – общий
знаменатель дробей
.
2. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
Дифференциал вида
,
гдеа иb– любые
постоянные, а показателиm,n иp
– рациональные числа, называетсябиномиальным дифференциалом.
Русский математик П.Л. Чебышев (1821-1894) в
1853 году доказал, что интеграл от
биномиального дифференциала вычисляется
в элементарных функциях только в
следующих трех случаях:
а) когдаp – целое число;
б) когда– целое число;
в) когда– целое число.
Если ни одно из этих условий не выполняется, то интеграл не вычисляется в элементарных функциях.
Случай а) является частным случаем
предыдущего пункта. Если– общий знаменатель дробейm
иn, то рационализация
подынтегрального выражения достигается
с помощью подстановки
.
В случае б) нужно сделать замену,
гдеs – знаменатель
дробиp.
В случае в) применяется подстановка,
гдеs – знаменатель
дробиp.
3. Интегрирование функций вида
Подстановки Эйлера.
Интеграл вида
рационализируется с помощью одной из
трех подстановок Эйлера (1707-1783).
1 – я подстановка Эйлера. Если,
то полагаем
.
2 – я подстановка Эйлера. Если,
то полагаем
.
3 – я подстановка Эйлера. Если
квадратный трехчленимеет различные действительные корни
и
,
то, считая
,
получаем
.
Поэтому
=
,
то есть получен интеграл, рассмотренный
в 1-ом пункте. Подстановка
– 3-я подстановка Эйлера.
Примеры. Вычислим интегралы: 1);
2)
;
3)
.
Решение. 1) Имеем интеграл, рассмотренный
в 3-ем пункте. Поскольку,
делаем 2-ю подстановку Эйлера:
,
,
.
Поэтому
.
2) Преобразуем подынтегральное выражение:
– биномиальный дифференциал с
,
то естьp – не
целое,
– не целое,
– целое, поэтому делаем 3-ю подстановку
Чебышева:
и
=
.
3) Подкоренные выражения одинаковы,
поэтому можно применить подстановку,
рассмотренную в 1-ом пункте. Поскольку
общий знаменатель дробей
и
равен 6, делаем постановку
,
тогда
.
§ 5. Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим интегралы вида
,
гдеR, как и раньше,
рациональная функция своих аргументов
и
.
Такие интегралы всегда рационализируются
с помощью подстановки
,
которая называетсяуниверсальной
подстановкой. Действительно,
,
,
,
.
Поэтому
− интеграл от рациональной функции.
Следовательно, любой интеграл
рассматриваемого вида выражается через
элементарные функции.
Пример 1. Вычислим интеграл.
Решение. Имеем
.
Несмотря на то, что универсальная
подстановка дает возможность
проинтегрировать всякую функцию вида
,
на практике она часто приводит к слишком
громоздким вычислениям. Во многих
случаях проще использовать другие
подстановки. В частном случае,
если
,
то
,
если
,
то
,
если
,
то
или
.
Эти подстановки предпочтительнее универсальной подстановки, поскольку преобразования получаются менее громоздкими.
Для преобразования подынтегрального выражения часто применяются различные тригонометрические формулы. В первую очередь применяют формулы
,
.
Примеры. Вычислим интегралы: 2);
3)
.
Решение. 2) Преобразуем подынтегральное
выражение по одной из приведенных выше
формул. Получим=
.
3) Подынтегральная функция
,
поэтому нужно сделать подстановку
.
Имеем
=
.
Для вычисления последнего интеграла
подынтегральную функцию представим в
виде суммы простых дробей, воспользовавшись
методом неопределенных коэффициентов
(подынтегральная функция – правильная
рациональная дробь):
,
,
.
Значит,
=
=
.