- •Мiнiстерство освiти і науки україни національний технічний університет
- •Стержньових систем методом сил”
- •Енергетичні методи визначення переміщень в стержньових системах
- •Інтеграл Максвелла – Мора
- •Обчислення інтегралів Мора способом перемноження епюр (способом Верещагіна).
- •Перемноження епюр за правилами трапецій і Сімпсона – Карнаухова.
- •Приклади визначення переміщень.
- •Статично невизначувані системи
- •Основні поняття та визначення
- •Метод сил
- •Канонічні рівняння методу сил
- •Використання властивостей симетрії при виборі основної статично визначуваної системи
- •Перевірка правильності розрахунків
- •Приклади розкриття статичної невизначуваності
- •Розрахунково – проектувальне завдання
- •Задача 1. Визначення внутрішніх зусиль у статично невизначуваних балках
- •Чисельні дані до задачі №1.
- •Задача 2. Визначення внутрішніх зусиль у статично невизначуваних рамах
- •Чисельні дані до задачі №2
- •Задача 3. Визначення внутрішніх зусиль в статично невизначуваних плоскопросторових рамах та визначення розмірів поперечного перерізу
- •Чисельні дані до задачі 3
- •Типи перерізів до задачі 3
- •Контрольна задача № 4. (Для самостійної роботи)
- •Контрольна задача № 5. (Для самостійної роботи)
- •Чисельні дані для контрольних задач №4, №5
- •Зразок виконання розрахунку статично невизначуваної балки
- •Зразок виконання розрахунку статично невизначуваної рами
- •Зразок виконання розрахунку статично навизначуваної плоскопросторової рами
Енергетичні методи визначення переміщень в стержньових системах
Інтеграл Максвелла – Мора
Розглянемо довільну плоску стержньову систему (балку, раму, ферму), навантажену заданими зовнішніми силами (рис. 1а).
Зусилля в довільному перерізі системи позначимо через . Визначимо переміщення (узагальнене)будь-якої точки системи в напряміm-m. Введемо допоміжний стан (рис. 1б), що є заданою системою, навантаженою лише однією одиничною силою (узагальненою) , прикладеною в тій самій точці і в напрямі шуканого переміщення. Зусилля в довільному перерізі допоміжного стану, спричинені дією одиничної сили, позначимо.
|
Застосуємо початок можливих переміщень для допоміжного стану, ввівши як можливі дійсні переміщення заданої системи [1]:
(1.1)
де – кількість ділянок розрахункової схеми,k – коефіцієнт форми перерізу.
Вираз (1.1) є загальною формулою для пружного переміщення плоскої стержньової системи.
Якщо виходити з виразу початку можливих переміщень [1], то у загальному випадку просторової стержньової системи при довільному навантаженні загальна формула для визначення пружного переміщення містить шість додатків і її можна записати і вигляді:
(1.2)
Індекси “x”, “y” в формулі (1.2) позначають головні осі перерізу ділянки стержня, індекс “к” – крутний момент. Зазначимо, що наведені формули можна застосовувати і для криволінійних стержнів малої кривизни.
Формули (1.1) та (1.2) вперше були виведені Максвеллом (для поздовжніх переміщень) і Мором. Визначення переміщень за цими формулами часто називають методом Максвелла – Мора. Зазначимо, що метод Максвелла – Мора – це найзагальніший метод визначення переміщень стержньових систем.
Здебільшого при визначенні переміщень у балках, рамах та криволінійних брусах можна знехтувати впливом поздовжніх деформацій і деформацій зсуву, враховуючи лише переміщення, спричинені згинанням і крученням. При цьому для балок та плоских рам впливом поперечних та поздовжніх сил, як правило, нехтують і враховують лише згинальні моменти . Однак, визначаючи переміщення в балках, для яких відношення висоти перерізу до довжини прольотупоперечні сили враховувати обов’язково. При визначенні переміщень в рамах з великими зазначеними відношеннямипохибка, спричинена неврахуванням інтегралів поздовжніх та поперечних сил, також може стати істотною. Слід мати на увазі, що в реальних балочних та рамних конструкціях величина відношення, як правило, менше за. Тому при обчисленні переміщень у загальній формулі Максвелла – Мора цілком допустимо зберегти інтеграл, що враховує лише згинальні моменти [1].
Тоді формула (1.1) для плоскої системі набирає вигляду
, (1.3)
і називається інтегралом Мора.
При просторовому навантажуванні, згідно з формулою (1.2),
(1.4)
При визначенні переміщень вузлів шарнірних ферм, що складаються з прямих стержнів, які працюють лише на розтягання – стискання у формулі Мора зберігається тільки один додаток:
(1.5)
Ця формула має назву формули Максвелла.
Можна запропонувати таку послідовність визначення переміщень за допомогою інтеграла Максвелла – Мора:
Будують допоміжну систему, яку навантажують одиничним навантаженням у точці, де треба визначити переміщення і в напрямку, в якому треба визначити переміщення. Визначаючи лінійні переміщення, у заданому напрямі прикладають одиничну силу, визначаючи кутові переміщення, - одиничний момент.
Для кожної ділянки системи записують вирази силових факторів у довільному перерізі заданої і допоміжноїсистем.
Обчислюють інтеграли Максвелла - Мора (по ділянках в межах всієї системи). Як вже зазначалося, при розрахунку плоских балок, рам і арок виходять з формули (1.3), просторових систем – (1.4), ферм – (1.5).
Якщо обчислене переміщення позитивне, то це означає, що його напрям збувається з вибраним напрямом одиничної сили. Негативний знак свідчить про те, що дійсний напрям переміщення, що визначається, протилежний напряму одиничної сили.